Bài viết hướng dẫn tìm nguyên hàm bằng chiêu thức nguyên hàm từng phần, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 .

I. KIẾN THỨC VẬN DỤNG
1. Định lí: Nếu $u = u(x)$ và $v = v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\int u dv = uv – \int v du.$

2. Phương pháp chung sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần tìm $\int f (x)dx.$
+ Biến đổi $\int f (x)dx = \int p (x)q(x)dx$, $q(x)$ tìm nguyên hàm dễ hơn $p(x).$
+ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = p(x)}\\
{dv = q(x)dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = p'(x)dx}\\
{v = Q(x)}
\end{array}} \right.$ với $Q(x)$ là một nguyên hàm của $q(x).$
+ $\int f (x)dx$ $ = p(x)Q(x) – \int Q (x)p'(x)dx.$

3. Cách đặt $u$, $dv$ một số trường hợp hay gặp.
Trong bảng bưới đây ta có $p(x)$ là hàm đa thức.
Cách nhớ: Ưu tiên đặt $u$ theo câu: Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x + 1){e^x}.$
A. $\int {(2x + 1){e^x}dx} = (2x – 1){e^x} + C.$
B. $\int {(2x + 1){e^x}dx} = (2x + 3){e^x} + C.$
C. $\int {(2x + 1){e^x}dx} = (2x – 3){e^x} + C.$
D. $\int {(2x + 1){e^x}dx} = (2x + 1){e^x} + C.$

Lời giải:
Cách 1: Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2x + 1}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int {(2x + 1){e^x}dx} $ $ = (2x + 1){e^x} – \int 2 {e^x}dx.$
$ = (2x + 1){e^x} – 2{e^x} + C$ $ = (2x – 1){e^x} + C.$
Chọn đáp án A.
Cách 2: Sử dụng bảng: Ta theo dõi lại cách làm trên và bổ sung như sau:
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2x + 1}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int {(2x + 1){e^x}dx} $ $ = (2x + 1){e^x} – \int {2{e^x}dx} .$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 0dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int 2 {e^x}dx = 2{e^x} + C.$
$ \Rightarrow \int {(2x + 1){e^x}dx} $ $ = (2x + 1){e^x} – 2{e^x} + \int {0{e^x}dx} $  $ = (2x + 1){e^x} – 2{e^x} + C.$
Từ đó ta có thể trình bày nhanh theo bảng sau:

$ \Rightarrow \int {(2x + 1){e^x}dx} $ $ = (2x + 1){e^x} – 2{e^x}$ $ + \int {0{e^x}dx} $ $ = (2x + 1){e^x} – 2{e^x} + C.$
Chọn đáp án A.
Phân tích kết quả:
Cột trái lấy $u$ và đạo hàm đến khi bằng $0$ thì dừng lại.
Ta thấy kết quả bằng nhân chéo theo mũi tên lần 1 trừ nhân chéo theo mũi tên lần 2.
Tương tự nếu có nhiều mũi tên thì ta có kết quả tương tự: nhân chéo lần 1 trừ nhân chéo lần 2 cộng nhân chéo lần 3 trừ nhân chéo lần 4 ….

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^2}{e^{ – x}}.$
A. $\int {{x^2}} {e^{ – x}}dx = \left( {{x^2} + 2x + 2} \right){e^{ – x}} + C.$
B. $\int {{x^2}} {e^{ – x}}dx = \left( { – {x^2} + 2x – 2} \right){e^{ – x}} + C.$
C. $\int {{x^2}} {e^{ – x}}dx = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^{ – x}} + C.$
D. $\int {{x^2}} {e^{ – x}}dx = \left( { – {x^2} – 2x – 2} \right){e^{ – x}} + C.$

Lời giải:
Cách 1:
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2}}\\
{dv = {e^{ – x}}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\\
{v = – {e^{ – x}}}
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int {{x^2}} {e^{ – x}}dx = – {x^2}{e^{ – x}} + \int 2 x{e^{ – x}}dx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2x}\\
{dv = {e^{ – x}}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2dx}\\
{v = – {e^{ – x}}}
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int 2 x{e^{ – x}}dx$ $ = – 2x{e^{ – x}} + \int 2 {e^{ – x}}dx$ $ = – 2x{e^{ – x}} – 2{e^{ – x}} + C.$
$ \Rightarrow \int {{x^2}} {e^{ – x}}dx$ $ = – {x^2}{e^{ – x}} – 2x{e^{ – x}} – 2{e^{ – x}} + C$ $ = \left( { – {x^2} – 2x – 2} \right){e^{ – x}} + C.$
Chọn đáp án D.
Cách 2: Sử dụng bảng:

$ \Rightarrow \int {{x^2}} {e^{ – x}}dx$ $ = – {x^2}{e^{ – x}} – 2x{e^{ – x}} – 2{e^{ – x}} + C$ $ = \left( { – {x^2} – 2x – 2} \right){e^{ – x}} + C.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho $\int {(5x + 1){e^{ – x}}dx} $ $ = (mx + n){e^x} + C$ với $m$, $n$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = 3m + n.$
A. $S=-15.$
B. $S=21.$
C. $S=-21.$
D. $S=15.$

Lời giải:
Cách 1:
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 5x + 1}\\
{dv = {e^{ – x}}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 5dx}\\
{v = – {e^{ – x}}}
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int {(5x + 1){e^{ – x}}dx} $ $ = – (5x + 1){e^{ – x}} + \int {5{e^{ – x}}} .$
$ = – (5x + 1){e^{ – x}} – 5{e^{ – x}} + C$ $ = ( – 5x – 6){e^{ – x}} + C.$
$ \Rightarrow m = – 5$, $n = – 6$ $ \Rightarrow S = 3m + n = – 21.$
Chọn đáp án C.
Cách 2: Sử dụng bảng:

$ \Rightarrow \int {{x^2}} {e^{ – x}}dx$ $ = – (5x + 1){e^{ – x}} – 5{e^{ – x}} + C$ $ = ( – 5x – 6){e^{ – x}} + C.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Cho $\int {(3x + 2){e^{ – 2x}}dx} $ $ = (mx + n){e^x} + C$ với $m$, $n$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m – n.$
A. $S=-10.$
B. $S = \frac{1}{4}.$
C. $S = \frac{5}{4}.$
D. $S=10.$

Lời giải:
Sử dụng bảng:

$ \Rightarrow \int {(3x + 2){e^{ – 2x}}dx} $ $ = – \frac{1}{2}(3x + 2){e^{ – 2x}} – \frac{3}{4}{e^{ – 2x}} + C$ $ = \left( { – \frac{3}{2}x – \frac{7}{4}} \right){e^{ – 2x}} + C.$
$ \Rightarrow m = – \frac{3}{2}$, $n = – \frac{7}{4}$ $ \Rightarrow S = m – n = \frac{1}{4}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Cho $\int {\left( {{x^2} + x – 1} \right){e^x}dx} $ $ = \left( {m{x^2} + nx + p} \right){e^x} + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p.$
A. $S=2.$
B. $S=0.$
C. $S=-2.$
D. $S=3.$

Lời giải:
Sử dụng bảng:

$\int {\left( {{x^2} + x – 1} \right){e^x}dx} $ $ = \left( {{x^2} + x – 1} \right){e^x}$ $ – (2x + 1){e^x} + 2{e^x} + C$ $ = \left( {{x^2} – x} \right){e^x} + C.$
$ \Rightarrow m = 1$, $n = – 1$, $p = 0$ $ \Rightarrow S = m + n + p = 0.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 6: Cho $F(x) = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $xf(x).$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x){e^x}.$
A. $\int {f’} (x){e^x}dx = (2x – 1){e^x} + C.$
B. $\int {f’} (x){e^x}dx = (2x + 1){e^x} + C.$
C. $\int {f’} (x){e^x}dx = (2x – 3){e^x} + C.$
D. $\int {f’} (x){e^x}dx = (2x + 3){e^x} + C.$

Lời giải:
Ta có $F(x) = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3}$ $ \Rightarrow F'(x) = {x^3} + {x^2}.$
Theo đề bài suy ra $F'(x) = xf(x)$ $ \Rightarrow f(x) = {x^2} + x$ $ \Rightarrow f'(x) = 2x + 1.$
Suy ra $\int {f’} (x){e^x}dx = \int {(2x + 1){e^x}dx.} $
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2x + 1}\\
{dv = {e^x}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \int {f’} (x){e^x}dx$ $ = \int {(2x + 1){e^x}dx} $ $ = (2x + 1){e^x} – 2\int {{e^x}} dx$ $ = (2x + 1){e^x} – 2{e^x} + C.$
$ = (2x – 1){e^x} + C.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 7: Cho $F(x) = {x^3} + \frac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{{ – 1}}{{{x^2}}} + xf(x).$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x){e^{ – x}}.$
A. $\int f (x){e^{ – x}}dx = – 3x{e^{ – x}} + 3{e^{ – x}} + C.$
B. $\int f (x){e^{ – x}}dx = – 3x{e^{ – x}} – 3{e^{ – x}} + C.$
C. $\int f (x){e^{ – x}}dx = 3x{e^{ – x}} – 3{e^{ – x}} + C.$
D. $\int f (x){e^{ – x}}dx = 3x{e^{ – x}} + 3{e^{ – x}} + C.$

Lời giải:
Ta có $F(x) = {x^3} + \frac{1}{x}$ $ \Rightarrow F'(x) = 3{x^2} – \frac{1}{{{x^2}}}.$
Theo đề suy ra $F'(x) = – \frac{1}{{{x^2}}} + xf(x)$ $ \Rightarrow – \frac{1}{{{x^2}}} + 3{x^2} = – \frac{1}{{{x^2}}} + xf(x)$ $ \Rightarrow f(x) = 3x.$
Suy ra $\int f (x){e^{ – x}}dx = \int 3 x{e^{ – x}}dx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 3x}\\
{dv = {e^{ – x}}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 3dx}\\
{v = – {e^{ – x}}}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \int f (x){e^{ – x}}dx$ $ = \int 3 x{e^{ – x}}dx = – 3x{e^{ – x}} + 3\int {{e^{ – x}}} dx$ $ = – 3x{e^{ – x}} – 3{e^{ – x}} + C.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Cho $F(x) = (x – 1){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x){e^{2x}}.$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x){e^{2x}}.$
A. $\int {f’} (x){e^{2x}}dx = (x – 2){e^x} + C.$
B. $\int {f’} (x){e^{2x}}dx = \frac{{2 – x}}{2}{e^x} + C.$
C. $\int {f’} (x){e^{2x}}dx = (2 – x){e^x} + C.$
D. $\int {f’} (x){e^{2x}}dx = (4 – 2x){e^x} + C.$

Lời giải:
Ta có $F(x) = (x – 1){e^x}$ $ \Rightarrow F'(x) = x{e^x}.$
Theo đề suy ra $F'(x) = f(x){e^{2x}}$ $ \Rightarrow x{e^x} = f(x){e^{2x}}.$
$ \Rightarrow f(x) = x{e^{ – x}}$ $ \Rightarrow f'(x) = (1 – x){e^{ – x}}.$
$\int {f’} (x){e^{2x}}dx$ $ = \int {(1 – x){e^x}dx} .$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1 – x}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = – dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \int {f’} (x){e^{2x}}dx$ $ = (1 – x){e^x} + \int {{e^x}} dx$ $ = (1 – x){e^x} + {e^x} + C$ $ = (2 – x){e^x} + C.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 5)\sin x.$
A. $\int {(3x + 5)} \sin xdx$ $ = – (3x + 5)\cos x + 3\sin x + C.$
B. $\int {(3x + 5)} \sin xdx$ $ = (3x + 5)\cos x – 3\sin x + C.$
C. $\int {(3x + 5)} \sin xdx$ $ = – (3x + 5)\sin x + 3\cos x + C.$
D. $\int {(3x + 5)} \sin xdx$ $ = (3x + 5)\sin x – 3\cos x + C.$

Lời giải:
Cách 1:
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 3x + 5}\\
{dv = \sin xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 3dx}\\
{v = – \cos x}
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int {(3x + 5)} \sin xdx$ $ = – (3x + 5)\cos x – \int {( – 3\cos x)dx} .$
$ = – (3x + 5)\cos x + 3\sin x + C.$
Chọn đáp án A.
Cách 2: Sử dụng bảng:

$\int {(3x + 5)} \sin xdx$ $ = – (3x + 5)\cos x + 3\sin x + C.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 10: Cho $\int {(2x + 1)} \sin 3xdx$ $ = (mx + n)\cos 3x + p\sin 3x + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m – 2n + p.$
A. $S = \frac{2}{9}.$
B. $S = \frac{9}{2}.$
C. $S = \frac{{11}}{9}.$
D. $S = \frac{{11}}{2}.$

Lời giải:
Sử dụng bảng:

$ \Rightarrow \int {(2x + 1)} \sin 3xdx$ $ = – (2x + 1)\frac{1}{3}\cos 3x + \frac{2}{9}\sin 3x + C.$
$ = \left( { – \frac{2}{3}x – \frac{1}{3}} \right)\cos 3x + \frac{2}{9}\sin 3x + C.$
$ \Rightarrow m = – \frac{2}{3}$, $n = – \frac{1}{3}$, $p = \frac{2}{9}$ $ \Rightarrow S = m – 2n + p = \frac{2}{9}.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 11: Cho $\int {\left( {{x^2} – x + 2} \right)} \sin xdx$ $ = \left( {m{x^2} + nx + p} \right)\cos x$ $ + (qx + r)\sin x + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p + q + r.$
A. $S=0.$
B. $S=1.$
C. $S=2.$
D. $S=3.$

Lời giải:
Sử dụng bảng:

$\int {\left( {{x^2} – x + 2} \right)} \sin xdx$ $ = – \left( {{x^2} – x + 2} \right)\cos x$ $ + (2x – 1)\sin x$ $ + 2\cos x + C.$
$ = \left( { – {x^2} + x} \right)\cos x + (2x – 1)\sin x + C$ $ \Rightarrow m = – 1$, $n = 1$, $p = 0$, $q = 2$, $r = – 1.$
$ \Rightarrow S = m + n + p + q + r = 1.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 12: Cho $\int {(3x + 4)} \cos xdx$ $ = (mx + n)\sin x + p\cos x + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p.$
A. $S=8.$
B. $S=9.$
C. $S=10.$
D. $S=11.$

Lời giải:
Sử dụng bảng:

$\int {(3x + 4)} \cos xdx$ $ = (3x + 4)\sin x + 3\cos x + C$ $ \Rightarrow m = 3$, $n = 4$, $p = 3.$
$ \Rightarrow S = m + n + p = 10.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 13: Cho $\int {(3x + 2)} \cos 3xdx$ $ = (mx + n)\sin 3x + p\cos 3x + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m – n + p.$
A. $S=0.$
B. $S=1.$
C. $S=2.$
D. $S=3.$

Lời giải:
Sử dụng bảng:

$\int {(3x + 4)} \cos xdx$ $ = \frac{1}{3}(3x + 2)\sin 3x + \frac{1}{3}\cos 3x + C.$
$ = \left( {x + \frac{2}{3}} \right)\sin 3x + \frac{1}{3}\cos 3x + C.$
$ \Rightarrow m = 1$, $n = \frac{2}{3}$, $p = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow S = m + n + p = 2.$

Ví dụ 14: Cho $\int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right)} \cos 2xdx$ $ = \left( {m{x^2} + nx + p} \right)\sin 2x$ $ + (qx + r)\cos 2x + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m.n.p.q.r.$

Lời giải:
Sử dụng bảng:

$\int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right)} \cos 2xdx$ $ = \frac{1}{2}\left( {2{x^2} + x + 1} \right)\sin 2x$ $ + \frac{1}{4}(4x + 1)\cos 2x$ $ – \frac{1}{2}\sin 2x + C.$
$ = \left( {{x^2} + \frac{1}{2}x} \right)\sin 2x$ $ + \left( {x + \frac{1}{4}} \right)\cos 2x + C$ $ \Rightarrow m = 1$, $n = \frac{1}{2}$, $p = 0$, $q = 1$, $r = \frac{1}{4}.$
$ \Rightarrow S = m.n.p.q.r = 0.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 15: Cho $\int {(2x – 5)} {\cos ^2}xdx$ $ = \left( {m{x^2} + nx} \right)$ $ + (px + q)\sin 2x$ $ + r\cos 2x + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, $h$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p + q + r.$
A. $S = – \frac{5}{2}.$
B. $S = 0.$
C. $S = \frac{5}{4}.$
D. $S = \frac{5}{8}.$

Lời giải :

$\int {(2x – 5)} {\cos ^2}xdx$ $ = (2x – 5)\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x} \right)$ $ – 2\left( {\frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{8}\cos 2x} \right) + C.$
$ = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{5}{2}x} \right)$ $ + \left( {\frac{x}{2} – \frac{5}{4}} \right)\sin 2x$ $ + \frac{1}{4}\cos 2x + C.$
$ \Rightarrow m = \frac{1}{2}$, $n = – \frac{5}{2}$, $p = \frac{1}{2}$, $q = – \frac{5}{4}$, $r = \frac{1}{4}.$
$ \Rightarrow S = m + n + p + q + r = – \frac{5}{2}.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 16: Cho $\int 1 6x{\sin ^2}2xdx$ $ = m{x^2} + mx\sin 4x$ $ + p\cos 4x + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S= m.n.p.$
A. $S=-6.$
B. $S=4.$
C. $S=5.$
D. $S=8.$

Lời giải :

$\int 1 6x{\sin ^2}2xdx$ $ = 16x\left( {\frac{1}{2}x – \frac{1}{8}\sin 4x} \right)$ $ – 16\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{{32}}\cos 4x} \right) + C.$
$ = 4{x^2} – 2x\sin 4x – \frac{1}{2}\cos 4x + C$ $ \Rightarrow m = 4$, $n = – 2$, $p = – \frac{1}{2}.$
$ \Rightarrow S = m.n.p = 4.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 17: Cho $\int {\frac{{2x + 1}}{{{{\cos }^2}x}}} dx$ $ = (mx + n)\tan x$ $ + p\ln |\cos x| + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p.$
A. $S=2.$
B. $S=3.$
C. $S=4.$
D. $S=5.$

Lời giải :

$\int {\frac{{2x + 1}}{{{{\cos }^2}x}}dx} $ $ = (2x + 1)\tan x$ $ + 2\ln |\cos x| + C.$
$ \Rightarrow m = 2$, $n = 1$, $p = 2.$
$ \Rightarrow S = m + n + p = 5.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 18: Cho $\int {\frac{{9x + 2}}{{{{\sin }^2}3x}}dx} $ $ = (mx + n)\cot 3x$ $ + p\ln |\sin 3x| + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S= m.n.p.$
A. $S=0.$
B. $S=2.$
C. $S=4.$
D. $S=6.$

Lời giải :

$\int {\frac{{9x + 2}}{{{{\sin }^2}3x}}dx} $ $ = \left( { – 3x – \frac{2}{3}} \right)\cot 3x$ $ + \ln |\sin 3x| + C$ $ \Rightarrow m = – 3$, $n = – \frac{2}{3}$, $p = 1.$
$ \Rightarrow S = m.n.p = 2.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 19: Cho $\int {\sin } \sqrt x dx$ $ = m\sqrt x \cos \sqrt x + n\sin \sqrt x + C$ với $m$, $n$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm $M(m;n)$ là đỉnh của parabol nào sau đây?
A. $y = {x^2} + 4x + 6.$
B. $y = – {x^2} – 4x + 1.$
C. $y = {x^2} + 4x + 3.$
D. $y = 2{x^2} + 8x + 3.$

Lời giải:
Cách 1:
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2\sqrt x }\\
{dv = \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x dx = \sin \sqrt x d(\sqrt x )}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{{\sqrt x }}dx}\\
{v = – \cos \sqrt x }
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int {\sin } \sqrt x dx$ $ = \int 2 \sqrt x .\frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x dx$ $ = – 2\sqrt x \cos \sqrt x + \int {\frac{1}{{\sqrt x }}} \cos \sqrt x dx.$
$ = – 2\sqrt x \cos \sqrt x $ $ + 2\int {\cos } \sqrt x d(\sqrt x )$ $ = – 2\sqrt x \cos \sqrt x + 2\sin \sqrt x + C.$
$ \Rightarrow m = – 2$, $n = 2$ $ \Rightarrow M( – 2;2)$ là đỉnh của parabol $y = {x^2} + 4x + 6.$
Chọn đáp án A.
Cách 2: Sử dụng bảng:

$\int {\sin } \sqrt x dx$ $ = \int 2 \sqrt x .\frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x dx$ $ = – 2\sqrt x \cos \sqrt x + 2\sin \sqrt x + C.$
Chọn đáp án A.
Chú ý: Khi sử dụng bảng ta có thể dừng lại một bước nào đó chuyển một phần từ $u$ sang $dv$ hoặc ngược lại rồi làm tiếp.

Ví dụ 20: Cho $\int {\sqrt x } \sin \sqrt x dx$ $ = (mx + n)\cos \sqrt x $ $ + p\sqrt x \sin \sqrt x + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, điểm $M(m;n;p)$ thuộc mặt phẳng có phương trình nào sau đây?
A. $x + y – z + 2 = 0.$
B. $x – y – z – 2 = 0.$
C. $x + y = 0.$
D. $x + z = 0.$

Lời giải:
$\int {\sqrt x } \sin \sqrt x dx$ $ = \int 2 x\frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x dx.$

$\int {\sqrt x } \sin \sqrt x dx$ $ = – 2x\cos \sqrt x $ $ + 4\sqrt x \sin \sqrt x $ $ + 4\cos \sqrt x + C.$
$ = ( – 2x + 4)\cos \sqrt x + 4\sqrt x \sin \sqrt x + C$ $ \Rightarrow m = – 2$, $n = 4$, $p = 4.$
$ \Rightarrow M( – 2;4;4)$ thuộc mặt phẳng $x + y – z + 2 = 0.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 21: Cho $F(x) = 2x{e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số ${e^x}f(x).$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)\sin x.$
A. $\int f (x)\sin xdx$ $ = (2x + 2)\cos x – 2\sin x + C.$
B. $\int f (x)\sin xdx$ $ = (2x + 2)\cos x + 2\sin x + C.$
C. $\int f (x)\sin xdx$ $ = – (2x + 2)\cos x – 2\sin x + C.$
D. $\int f (x)\sin xdx$ $ = – (2x + 2)\cos x + 2\sin x + C.$

Lời giải:
Ta có $F(x) = 2x{e^x}$ $ \Rightarrow F'(x) = 2{e^x} + 2x{e^x}.$
Theo đề suy ra $F'(x) = {e^x}f(x)$ $ \Rightarrow f(x) = 2x + 2.$
Suy ra $\int f (x)\sin xdx$ $ = \int {(2x + 2)} \sin xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2x + 2}\\
{dv = \sin xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2dx}\\
{v = – \cos x}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \int f (x)\sin xdx$ $ = – (2x + 2)\cos x + 2\int {\cos xdx} $ $ = – (2x + 2)\cos x + 2\sin x + C.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 22: Cho $F(x) = \frac{1}{4}{x^4} – \frac{1}{3}{x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $xf(x).$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)\cos x.$
A. $\int {f’} (x)\cos xdx$ $ = (2x – 1)\sin x – 2\cos x + C.$
B. $\int {f’} (x)\cos xdx$ $ = (2x – 1)\sin x + 2\cos x + C.$
C. $\int {f’} (x)\cos xdx$ $ = (1 – 2x)\sin x + 2\cos x + C.$
D. $\int {f’} (x)\cos xdx$ $ = (1 – 2x)\sin x – 2\cos x + C.$

Lời giải:
Ta có $F(x) = \frac{1}{4}{x^4} – \frac{1}{3}{x^3}$ $ \Rightarrow F'(x) = {x^3} – {x^2}.$
Theo đề suy ra $F'(x) = xf(x)$ $ \Rightarrow f(x) = {x^2} – x$ $ \Rightarrow f'(x) = 2x – 1.$
Suy ra $\int {f’} (x)\cos xdx$ $ = \int {(2x – 1)} \cos xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2x – 1}\\
{dv = \cos xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2dx}\\
{v = \sin x}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \int {f’} (x)\cos xdx$ $ = (2x – 1)\sin x – 2\int {\sin xdx} $ $ = (2x – 1)\sin x + 2\cos x + C.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 23: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = \ln x$?
A. $\int {\ln xdx} = \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C.$
B. $\int {\ln xdx} = \frac{1}{x} + C.$
C. $\int {\ln xdx} = x\ln x – x + C.$
D. $\int {\ln xdx} = x\ln x + x + C.$

Lời giải:
Cách 1: Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = x}
\end{array}} \right..$
Khi đó $\int {\ln xdx} = x\ln x – \int d x$ $ = x\ln x – x + C.$
Chọn đáp án C.
Cách 2: Sử dụng bảng:

$\int {\ln xdx} = x\ln x – \int d x$ $ = x\ln x – x + C.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 24: Cho $\int {(4x + 2)} \ln xdx$ $ = \left( {m{x^2} + nx + p} \right)\ln x$ $ + q{x^2} + rx + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$, $r$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p + q + r.$
A. $S = 1.$
B. $S=2.$
C. $S=7.$
D. $S=6.$

Lời giải :

$\int {(4x + 2)} \ln xdx$ $ = \left( {2{x^2} + 2x} \right)\ln x$ $ – \left( {{x^2} + 2x} \right) + C.$
$ \Rightarrow m = 2$, $n = 2$, $p = 0$, $q = – 1$, $r = – 2$ $ \Rightarrow S = m + n + p + q + r = 1.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 25: Cho $\int x {\ln ^2}xdx$ $ = \frac{1}{m}{x^2}{\ln ^2}x + \frac{1}{n}{x^2}\ln x$ $ + \frac{1}{p}{x^2} + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S=m+n-p.$
A. $S=0.$
B. $S=-4.$
C. $S=8.$
D. $S=4.$

Lời giải :

$\int x {\ln ^2}xdx$ $ = \frac{{{x^2}}}{2}{\ln ^2}x – \frac{{{x^2}}}{2}\ln x + \frac{{{x^2}}}{4} + C$ $ \Rightarrow m = 2$, $n = – 2$, $p = 4.$
$ \Rightarrow S = m + n – p = – 4.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 26: Cho $\int {(6x + 1)} \ln (x + 1)dx$ $ = \left( {m{x^2} + nx} \right)\ln (x + 1)$ $ + p{x^2} + qx + r\ln (x + 1) + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$, $r$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p + q + r.$
A. $S = \frac{3}{2}.$
B. $S = – \frac{3}{2}.$
C. $S = \frac{1}{2}.$
D. $S = \frac{5}{2}.$

Lời giải :

$\int {(6x + 1)} \ln (x + 1)dx$ $ = \left( {3{x^2} + x} \right)\ln (x + 1)$ $ – \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x – 2\ln (x + 1) + C.$
$ \Rightarrow m = 3$, $n = 1$, $p = – \frac{3}{2}$, $q = 2$, $r = – 2$ $ \Rightarrow S = m + n + p + q + r = \frac{5}{2}.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 27: Cho $F(x) = \frac{1}{{2{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{{f(x)}}{x}.$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)\ln x.$
A. $\int {f’} (x)\ln xdx$ $ = – \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C.$
B. $\int {f’} (x)\ln xdx$ $ = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + C.$
C. $\int {f’} (x)\ln xdx$ $ = – \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C.$
D. $\int {f’} (x)\ln xdx$ $ = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + C.$

Lời giải:
Ta có $F(x) = \frac{1}{{2{x^2}}}$ $ \Rightarrow F'(x) = – \frac{1}{{{x^3}}}.$
Theo đề suy ra $F'(x) = \frac{{f(x)}}{x}$ $ \Rightarrow f(x) = – \frac{1}{{{x^2}}}.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = f'(x)dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = f(x) = – \frac{1}{{{x^2}}}}
\end{array}} \right..$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = f'(x)dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = f(x) = – \frac{1}{{{x^2}}}}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \int {f’} (x)\ln xdx$ $ = – \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} $ $ = – \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} – \frac{1}{{2{x^2}}} + C$ $ = – \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 28: Cho $\int {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} = \frac{a}{x}\ln x + \frac{b}{x} + C$ với $a$, $b$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm $M(a;b)$ nằm trên đồ thị hàm số nào sau đây?
A. $y=x.$
B. $y=2x+3.$
C. $y = {x^2}.$
D. $y=3x +1.$

Lời giải :

$\int {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} $ $ = – \frac{1}{x}\ln x – \frac{1}{x} + C$ $ \Rightarrow a = – 1$, $b = – 1.$
$ \Rightarrow M( – 1; – 1)$ thuộc đường thẳng $y = x.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 29: Cho $\int {\frac{{1 + {x^2}}}{{{x^3}}}} \ln xdx$ $ = \frac{1}{m}{\ln ^2}x + \frac{1}{n}.\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}$ $ + \frac{1}{p}.\frac{1}{{{x^2}}} + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $h$ từ điểm $M(m;n;p)$ đến gốc tọa độ.
A. $h = \sqrt 6 .$
B. $h=2.$
C. $h = 2\sqrt 6 .$
D. $h = 3\sqrt 6 .$

Lời giải:
Ta có $\int {\frac{{1 + {x^2}}}{{{x^3}}}} \ln xdx$ $ = \int {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}dx} + \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} .$
+ $\int {\frac{{\ln x}}{x}dx} $ $ = \int {\ln xd(\ln x)} = \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + {C_1}.$
+ Sử dụng bảng tính $\int {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}dx.} $

$ \Rightarrow \int {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}dx} $ $ = – \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}} – \frac{1}{{4{x^2}}} + {C_2}.$
$\int {\frac{{1 + x}}{{{x^2}}}} \ln xdx$ $ = \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} – \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}} – \frac{1}{{4{x^2}}} + C$ $ \Rightarrow m = 2$, $n = – 2$, $p = – 4.$
$ \Rightarrow M(2; – 2; – 4).$
$ \Rightarrow h = OM$ $ = \sqrt {{{(2 – 0)}^2} + {{( – 2 – 0)}^2} + {{( – 4 – 0)}^2}} $ $ = 2\sqrt 6 .$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 30: Cho $F(x) = – \frac{1}{{3{x^3}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{{f(x)}}{x}.$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)\ln x.$
A. $\int {f’} (x)\ln xdx = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{5{x^5}}} + C.$
B. $\int {f’} (x)\ln xdx = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} – \frac{1}{{5{x^5}}} + C.$
C. $\int {f’} (x)\ln xdx = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{3{x^3}}} + C.$
D. $\int {f’} (x)\ln xdx = – \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{3{x^3}}} + C.$

Lời giải:
Ta có $F(x) = – \frac{1}{{3{x^3}}}$ $ \Rightarrow F'(x) = \frac{{3{x^2}}}{{3{x^6}}} = \frac{1}{{{x^4}}}.$
Theo đề suy ra $F'(x) = \frac{{f(x)}}{x}$ $ \Rightarrow f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = f'(x)dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \int {f’} (x)\ln xdx$ $ = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} – \int {\frac{1}{{{x^4}}}dx} $ $ = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{3{x^3}}} + C.$
Chọn đáp án C.

Đánh giá bài viết