Hướng dẫn giải Bài § 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện, Chương I. Khối đa diện, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 25 26 sgk Hình học 12 gồm có tổng hợp công thức, triết lý, chiêu thức giải bài tập hình học có trong SGK để giúp những em học viên học tốt môn toán lớp 12 .

Lý thuyết

1. Tính chất của thể tích khối đa diện

Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau .
Nếu USD 1 USD khối đa diện được phân loại thành những khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của những khối đa diện nhỏ .

Khối lập phương có cạnh bằng $1$ thì có thể tích bằng $1$.

2. Thể tích khối hộp chữ nhật

Giả sử có USD 1 USD khối hộp chữ nhật với USD 3 USD kích cỡ USD a, b, c USD đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là : \ ( V = a. b. c \ ) .

3. Thể tích khối chóp

– Thể tích của 1 khối chóp bắng một phần ba tích số của dưới mặt đáy và chiều cao khối chóp đó :
\ ( V = \ frac { 1 } { 3 } S_ { đáy }. h. \ )

\ ( V_ { S.ABCD } = \ frac { 1 } { 3 } S_ { ABC }. SH \ )
– Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác :
Cho hình chóp \ ( S.ABC \ ). Trên ba tia \ ( SA, SB, SC \ ) lần lượt lấy ba điểm \ ( A ’, B ’, C ’ \ ). khi đó :

\ ( { { { V_ { { S_ { A’B ’ C ’ } } } } } \ over { { V_ { { S_ { ABC } } } } } } = { { SA ’ } \ over { SA } }. { { SB ’ } \ over { SB } }. { { SC ’ } \ over { SC } } \ )

4. Thể tích khối lăng trụ

Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích quy hoạnh dưới mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó :
– \ ( V = S_ { day }. h. \ )

\ ( V_ { ABC.A ’ B’C ’ } = S_ { ABC }. C’H \ )
Dưới đây là phần Hướng dẫn vấn đáp những câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động giải trí của học viên trên lớp sgk Hình học 12 .

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 22 sgk Hình học 12

Có thể chia USD ( H_1 ) USD thành bao nhiêu khối lập phương bằng USD ( H_0 ) USD ?

Trả lời:

Có thể chia USD ( H_1 ) USD thành USD 5 USD khối lập phương USD ( H_0 ) USD

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 22 sgk Hình học 12

Có thể chia USD ( H_2 ) USD thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng USD ( H_1 ) USD ?

Trả lời:

Có thể chia USD ( H_2 ) USD thành USD 4 USD khối hộp chữ nhật USD ( H_1 ) USD

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 22 sgk Hình học 12

Có thể chia USD ( H ) USD thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng USD ( H_2 ) USD ?

Trả lời:

Có thể chia USD ( H ) USD thành USD 3 USD khối hộp chữ nhật USD ( H_2 ) USD

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 24 sgk Hình học 12

Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập ( h. 1.27 ) được thiết kế xây dựng vào lúc 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có độ cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m. Hãy tính thể tích của nó .

Trả lời:

Kim tự tháp là khối chóp tứ giác đều nên đáy là hình tam giác đều có cạnh 230 m
Đường cao của dưới mặt đáy là :
\ ( \ sqrt { { { 230 } ^ 2 } – { { ( { { 230 } \ over 2 } ) } ^ 2 } } = 230 { { \ sqrt 3 } \ over 2 } ( m ) \ )
Diện tích đáy là :
\ ( { 1 \ over 2 }. 230 { { \ sqrt 3 } \ over 2 }. 230 = 52900 { { \ sqrt 3 } \ over 4 } ( { m ^ 2 } ) \ )
Thể tích kim tự tháp là :
\ ( { 1 \ over 3 } 52900 { { \ sqrt 3 } \ over 4 }. 147 \ approx 1122412,225 \, ( { m ^ 2 } ) \ )
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 25 26 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé !

Bài tập

Giaibaisgk. com trình làng với những bạn vừa đủ chiêu thức giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết cụ thể bài 1 2 3 4 5 6 trang 25 26 sgk Hình học 12 của Bài § 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện trong Chương I. Khối đa diện cho những bạn tìm hiểu thêm. Nội dung chi tiết cụ thể bài giải từng bài tập những bạn xem dưới đây :
Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 25 26 sgk Hình học 12

1. Giải bài 1 trang 25 sgk Hình học 12

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \ ( a \ ) .

Bài giải:

Cho tứ diện đều \ ( ABCD \ ). Hạ \ ( AH \ bot \ left ( { BCD } \ right ) \ )
Dễ dàng chứng tỏ được \ ( { \ Delta _v } AHB = { \ Delta _v } AHC = { \ Delta _v } AHD \, \, \ left ( { ch – cgv } \ right ) \ Rightarrow HB = HC = HD, \ ) do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \ ( BCD \ ) .
Do \ ( BCD \ ) là tam giác đều nên \ ( H \ ) là trọng tâm của tam giác \ ( BCD \ ) .
Do đó \ ( bh = { 2 \ over 3 }. { { \ sqrt 3 } \ over 2 } a = { { \ sqrt 3 } \ over 3 } a \ )
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \ ( ABH \ ) ta có : \ ( A { H ^ 2 } = A { B ^ 2 } – B { H ^ 2 } = { a ^ 2 } – \ frac { { { a ^ 2 } } } { 3 } = \ frac { { 2 { a ^ 2 } } } { 3 } \ Rightarrow AH = \ frac { { a \ sqrt 6 } } { 3 } \ ) .
Do tam giác \ ( BCD \ ) đều cạnh \ ( a \ ) nên : \ ( { S_ { BCD } } = \ frac { { { a ^ 2 } \ sqrt 3 } } { 4 } \ )
Vậy \ ( { V_ { ABCD } } = \ frac { 1 } { 3 } AH. { S_ { BCD } } = \ frac { 1 } { 3 }. \ frac { { a \ sqrt 6 } } { 3 }. \ frac { { { a ^ 2 } \ sqrt 3 } } { 4 } = \ frac { { { a ^ 3 } \ sqrt 3 } } { { 12 } }. \ )

2. Giải bài 2 trang 25 sgk Hình học 12

Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \ ( a \ ) .

Bài giải:

Ta có :
\ ( { V_ { ABCDEF } } = { V_ { ABCDE } } + { V_ { FBCDE } } = 2 { V_ { ABCDE } } = 2. \ frac { 1 } { 2 } { S_ { BCDE } }. AO \ )

Với O là tâm hình vuông BCDE.

Vì AO vuông góc với mặt phẳng BCDO nên theo định lý Pi-ta-go ta có :
\ ( AO = \ sqrt { A { B ^ 2 } – B { O ^ 2 } } = \ sqrt { { a ^ 2 } – { { \ left ( { \ frac { { a \ sqrt 2 } } { 2 } } \ right ) } ^ 2 } } = \ frac { a } { { \ sqrt 2 } } \ )
Vì BCDE là hình vuông vắn cạnh a nên : \ ( { S_ { BCDE } } = { a ^ 2 }. \ )
Do đó : \ ( { V_ { ABCDEF } } = \ frac { 2 } { 3 } { a ^ 2 }. \ frac { a } { { \ sqrt 2 } } = \ frac { { { a ^ 3 } \ sqrt 3 } } { 3 }. \ )

3. Giải bài 3 trang 25 sgk Hình học 12

Cho hình hộp USD ABCD.A ’ B’C ’ D ’ USD. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện USD ACB’D ’ USD .

Bài giải:

Gọi thể tích khối hộp ABCD.A ’ B’C ’ D ’ là V
Ta có : \ ( { V_ { B ’. ABC } } = \ frac { 1 } { 3 } { V_ { ABC.A ’ B’C ’ } } = \ frac { 1 } { 6 } V. \ )
\ ( { V_ { A.B ’ D’A ’ } } = \ frac { 1 } { 3 } { V_ { ABD.A ’ B’D ’ } } = \ frac { 1 } { 6 } V. \ )
\ ( { V_ { D ’. ACD } } = \ frac { 1 } { 3 } { V_ { ACD.A ’ C’D ’ } } = \ frac { 1 } { 6 } V. \ )
\ ( { V_ { C.B ’ D’C ’ } } = \ frac { 1 } { 3 } { V_ { BCD.B ’ C’D ’ } } = \ frac { 1 } { 6 } V. \ )
Mặt khác : \ ( { V_ { C.AD ’ B ’ } } = V – \ left ( { { V_ { B ’. ABC } } + { V_ { A.B ’ D’A ’ } } + { V_ { D ’. ACD } } + { V_ { C.B ’ C’D ’ } } } \ right ) = V – \ frac { 4 } { 6 } V = \ frac { 1 } { 3 } V. \ )
Do đó : \ ( \ frac { { { V_ { ABCD.A ’ B’C ’ D ’ } } } } { { { V_ { ACB’D ’ } } } } = 3. \ )

4. Giải bài 4 trang 25 sgk Hình học 12

Cho hình chóp \ ( S.ABC \ ). Trên những đoạn thẳng \ ( SA, SB, SC \ ) lần lượt lấy ba điểm \ ( A ’, B ’, C ’ \ ) khác với \ ( S \ ). Chứng minh rằng :
\ ( { { { V_ { S.A ’ B’C ’ } } } \ over { { V_ { S.ABC } } } } = { { SA ’ } \ over { SA } } \ cdot { { SB ’ } \ over { SB } } \ cdot { { SC ’ } \ over { SC } } \ )

Bài giải:

Gọi \ ( h \ ) và \ ( h ’ \ ) lần lượt là chiều cao hạ từ \ ( A, A ’ \ ) đến mặt phẳng \ ( ( SBC ) \ ) .
Gọi \ ( S_1 \ ) và \ ( S_2 \ ) theo thứ tự là diện tích quy hoạnh những tam giác \ ( SBC \ ) và \ ( SB’C ’ \ ) .
Khi đó ta có \ ( { { h ’ } \ over h } = { { SA ’ } \ over { SA } } \ )
và \ ( \ frac { { { S_ { SB’C ’ } } } } { { { S_ { SBC } } } } = \ frac { { \ frac { 1 } { 2 } SB ’. SC ’. \ sin \ widehat { BSC } } } { { \ frac { 1 } { 2 } SB.SC. \ sin \ widehat { BSC } } } = \ frac { { SB ’ } } { { SB } }. \ frac { { SC ’ } } { { SC } } \ ) .
Suy ra \ ( { { { V_ { S.A ’ B’C ’ } } } \ over { { V_ { S.ABC } } } } = { { { V_ { A ’. SB’C ’ } } } \ over { { V_ { A.SBC } } } } = { { { 1 \ over 3 } h ‘ { S_2 } } \ over { { 1 \ over 3 } h { S_1 } } } = { { SA ’ } \ over { SA } } \ cdot { { SB ’ } \ over { SB } } \ cdot { { SC ’ } \ over { SC } } \ )
Đó là điều phải chứng tỏ .

5. Giải bài 5 trang 26 sgk Hình học 12

Cho tam giác \ ( ABC \ ) vuông cân ở \ ( A \ ) và \ ( AB = a \ ). Trên đường thẳng qua \ ( C \ ) và vuông góc với mặt phẳng \ ( ( ABC ) \ ) lấy điểm \ ( D \ ) sao cho \ ( CD = a \ ). Mặt phẳng qua \ ( C \ ) vuông góc với \ ( BD \ ), cắt \ ( BD \ ) tại \ ( F \ ) và cắt \ ( AD \ ) tại \ ( E \ ). Tính thể tích khối tứ diện \ ( CDEF \ ) theo \ ( a \ ) .

Bài giải:

\ ( \ left. \ begin { matrix } BA \ perp CD và \ \ BA \ perp CA và \ end { matrix } \ right \ } \ ) \ ( \ Rightarrow BA \ bot ( ADC ) \ ) \ ( \ Rightarrow BA \ bot CE \ )
Mặt khác \ ( BD \ bot ( CEF ) \ Rightarrow BD \ bot CE \ ) .
Từ đó suy ra
\ ( CE \ bot ( ABD ) \ Rightarrow CE ⊥ EF, CE \ bot AD \ ) .
Vì tam giác \ ( ACD \ ) vuông cân, \ ( AC = CD = a \ ) nên \ ( CE = \ frac { AD } { 2 } = \ frac { a \ sqrt { 2 } } { 2 } \ )
Ta có \ ( BC = a \ sqrt { 2 } \ ), \ ( BD = \ sqrt { 2 a ^ { 2 } + a ^ { 2 } } = a \ sqrt { 3 } \ )
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \ ( BCD \ ) ta có : \ ( CF \ cdot BD = DC \ cdot BC \ ) nên \ ( CF = \ frac { a ^ { 2 } \ sqrt { 2 } } { a \ sqrt { 3 } } = a \ sqrt { \ frac { 2 } { 3 } } \ )
Từ đó suy ra :
\ ( EF = \ sqrt { CF ^ { 2 } – CE ^ { 2 } } = \ sqrt { \ frac { 2 } { 3 } a ^ { 2 } – \ frac { a ^ { 2 } } { 2 } } = \ frac { \ sqrt { 6 } } { 6 } a \ ) .
\ ( DF = \ sqrt { DC ^ { 2 } – CF ^ { 2 } } = \ sqrt { a ^ { 2 } – \ frac { 2 } { 3 } a ^ { 2 } } = \ frac { \ sqrt { 3 } } { 3 } a \ ) .
Từ đó suy ra \ ( S_ { \ Delta CEF } = \ frac { 1 } { 2 } FE \ cdot EC = \ frac { 1 } { 2 } \ frac { a \ sqrt { 6 } } { 6 } \ cdot \ frac { a \ sqrt { 2 } } { 2 } = \ frac { a ^ { 2 } \ sqrt { 3 } } { 12 } \ )
Vậy \ ( V_ { D.CEF } = \ frac { 1 } { 3 } S_ { \ Delta CEF } \ cdot DF = \ frac { 1 } { 3 } \ cdot \ frac { a ^ { 2 } \ sqrt { 3 } } { 12 } \ cdot \ frac { a \ sqrt { 3 } } { 3 } = \ frac { a ^ { 3 } } { 36 }. \ )

6. Giải bài 6 trang 26 sgk Hình học 12

Cho hai đường thẳng chéo nhau \ ( d \ ) và \ ( d ’ \ ). Đoạn thằng \ ( AB \ ) có độ dài \ ( a \ ) trượt trên \ ( d \ ), đoạn thẳng \ ( CD \ ) có độ dài \ ( b \ ) trượt trên \ ( d ’ \ ). Chứng minh rằng khối tứ diện \ ( ABCD \ ) có thể tích không đổi .

Bài giải:

Gọi khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d, d ’ và góc của d và d ’ là \ ( \ varphi. \ )
Trong mặt phẳng ( ABC ) dựng hình bình hành CBAA ’ .
Ta có AA ’ / / BC nên \ ( { V_ { ABCD } } = { V_ { A’BCD } } \ )
Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD \ ( \ left ( { M \ in AB, \, \, N \ in CD } \ right ) \ )
Vì BM / / CA ’ nên \ ( { V_ { BA’CD } } = { V_ { MA’CD } } \ )
Ta có \ ( MN \ bot AB \ ) nên \ ( MN \ bot CA ’, \ ) hơn nữa \ ( MN \ bot CD. \ )
Do đó \ ( MN \ bot ( CDA ’ ) \ )
Chú ý rằng : \ ( \ widehat { \ left ( { AB, CD } \ right ) } = \ widehat { \ left ( { AC ’, CD } \ right ) } = \ varphi \ )
Nên \ ( { V_ { M.A ’ CD } } = \ frac { 1 } { 3 }. { S_ { A’CD } }. MN = \ frac { 1 } { 3 }. \ frac { 1 } { 2 }. CA ’. CD. \ sin \ varphi. MN = \ frac { 1 } { 6 } a. b. h. \ sin \ varphi \ )
\ ( \ Rightarrow { V_ { ABCD } } = \ frac { 1 } { 6 } a. b. h. \ sin \ varphi. \ )

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm :
Chúc những bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 25 26 sgk Hình học 12 !
“ Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com “

Đánh giá bài viết