Định nghĩa và cách vẽ tia phân giác của góc

Tia phân giác của góc là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 6. Nắm vững kiến thức về tia phân giác giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến góc một cách hiệu quả.

Định nghĩa tia phân giác của một góc

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.

Cách vẽ tia phân giác

Cách 1: Dùng thước đo góc

Bước 1: Đánh dấu hai điểm M và N trên hai cạnh của góc sao cho MN > BC.

Bước 2: Vẽ cung tròn tâm M bán kính MN cắt hai cạnh của góc tại A và B.

Bước 3: Vẽ cung tròn tâm N bán kính MN cắt hai cạnh của góc tại C và D.

Bước 4: Nối A và C; B và D.

Giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là tia phân giác của góc.

Cách 2: Gấp giấy

Bước 1: Vẽ góc cần vẽ tia phân giác lên giấy.

Bước 2: Gấp đôi tờ giấy sao cho hai cạnh của góc trùng nhau.

Bước 3: Nếp gấp chính là tia phân giác của góc.

Tính chất tia phân giác của một góc

Mỗi góc (không phải góc bẹt) chỉ có một tia phân giác.

Tia phân giác của góc xOy cũng là tia phân giác của góc đối đỉnh với góc xOy.

Ví dụ:

Cho góc xOy = 60°, vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Ta có:

∠xOt = ∠yOt = \(\frac{60°}{2} = 30°\)

Cho hai góc kề nhau xOy và yOz, tia Om là tia phân giác của góc xOy, tia On là tia phân giác của góc yOz. Ta có:

∠xOm = ∠yOm = \(\frac{∠xOy}{2}\)

∠yOn = ∠zOn = \(\frac{∠yOz}{2}\)

Các dạng bài tập Tia phân giác của góc 

Dạng 1: Vẽ tia phân giác của một góc:

Ví dụ: Vẽ tia phân giác của góc xOy = 120°.

Cách giải:

Dùng thước đo góc hoặc thước kẻ và compa để vẽ tia phân giác của góc.

Vẽ hai tia Ox’ và Oy’ lần lượt là tia đối của tia Ox và Oy.

Góc xOy’ và góc yOx’ là hai góc đối đỉnh.

Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOy’.

Tia Ot cũng là tia phân giác của góc xOy.

Dạng 2: Chứng minh một tia là tia phân giác của một góc:

Ví dụ: Cho góc xOy = 80°, tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Chứng minh Oz là tia phân giác của góc xOy.

Cách giải:

Chứng minh tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy.

Chứng minh ∠xOz = ∠yOz.

Dạng 3: Tính số đo góc:

Ví dụ: Cho góc xOy = 120°, vẽ tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Tính số đo góc xOz và góc yOz.

Cách giải:

Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên ∠xOz = ∠yOz.

Áp dụng tính chất tổng ba góc trong một tam giác, ta có:

∠xOy = ∠xOz + ∠yOz

⇒ 120° = ∠xOz + ∠xOz

⇒ 2∠xOz = 120°

⇒ ∠xOz = ∠yOz = 120°/2 = 60°.

Dạng 4: Vẽ tia phân giác của hai góc kề bù:

Ví dụ: Vẽ hai góc kề bù xOy và yOz, biết ∠xOy = 130°. Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy và tia phân giác Om của góc yOz.

Cách giải:

Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOy.

Vẽ tia Om là tia đối của tia Ot.

Tia Om là tia phân giác của góc yOz.

Dạng 5: Bài toán thực tế:

Ví dụ: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 8m. Người ta muốn chia mảnh vườn thành hai phần bằng nhau bởi một đường rào. Hỏi đường rào cần dài bao nhiêu mét?

Cách giải:

Vẽ hình chữ nhật ABCD.

Vẽ tia phân giác Ot của góc BAD.

Tia Ot là đường rào chia mảnh vườn thành hai phần bằng nhau.

Tính độ dài đường rào:

OT = [late]{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 (m)[/latex].

Bài tập về Tia phân giác của góc 

Bài 1: Vẽ tia phân giác của góc xOy = 120°.

Lời giải:

Dùng thước đo góc hoặc thước kẻ và compa để vẽ tia phân giác của góc.

Vẽ hai tia Ox’ và Oy’ lần lượt là tia đối của tia Ox và Oy.

Góc xOy’ và góc yOx’ là hai góc đối đỉnh.

Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOy’.

Tia Ot cũng là tia phân giác của góc xOy.

Bài 2: Cho góc xOy = 80°, tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Chứng minh Oz là tia phân giác của góc xOy.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có: ∠xOz + ∠yOz = ∠xOy

Thay ∠xOy = 80° vào, ta có: ∠xOz + ∠yOz = 80°

Vì Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nên ∠xOz và ∠yOz là hai góc kề bù.

Do đó, ∠xOz = ∠yOz = [late]\frac{80°}{2} = 40°[/latex].

Vậy Oz là tia phân giác của góc xOy.

Cách 2:

Vẽ tia Om là tia đối của tia Oz.

Ta có: ∠xOm + ∠yOm = 180° (hai góc kề bù)

Thay ∠xOy = 80° vào, ta có: ∠xOm + ∠yOm = 180°

Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên ∠xOz = ∠yOz.

Do đó, ∠xOm = ∠yOz = 80°/2 = 40°.

Ta lại có: ∠xOz + ∠xOm = ∠xOy và ∠yOz + ∠yOm = ∠yOx

Thay ∠xOz = ∠yOz = 40° và ∠xOy = ∠yOx = 80° vào, ta có:

∠xOz + ∠xOm = ∠yOz + ∠yOm

⇒ 40° + ∠xOm = 40° + ∠yOm

⇒ ∠xOm = ∠yOm

Vậy Oz là tia phân giác của góc xOy.

Bài 3: Cho góc xOy = 120°, vẽ tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Tính số đo góc xOz và góc yOz.

Lời giải:

Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên ∠xOz = ∠yOz.

Áp dụng tính chất tổng ba góc trong một tam giác, ta có:

∠xOy = ∠xOz + ∠yOz

⇒ 120° = ∠xOz + ∠xOz

⇒ 2∠xOz = 120°

⇒ ∠xOz = ∠yOz = 120°/2 = 60°.

Bài 4: Vẽ hai góc kề bù xOy và yOz, biết ∠xOy = 130°. Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy và tia phân giác Om của góc yOz.

Lời giải:

Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOy.

Vẽ tia Om là tia đối của tia Ot.

Tia Om là tia phân giác của góc yOz.

Bài 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 8m. Người ta muốn chia mảnh vườn thành hai phần bằng nhau bởi một đường rào. Hỏi đường rào cần dài bao nhiêu mét?

Lời giải:

Vẽ hình chữ nhật ABCD.

Vẽ tia phân giác Ot của góc BAD.

Tia Ot là đường rào chia mảnh vườn thành hai phần bằng nhau.

Tính độ dài đường rào:

OT = AB/2 = 12/2 = 6 (m).

Vận dụng để giải bài tập

Bài 1: Vẽ tia phân giác của góc AOB, biết ∠AOB = 140°.

Bài 2: Cho góc xOy = 100°, tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOz, vẽ tia On là tia phân giác của góc yOz. Tính số đo góc mOn.

Bài 3: Cho hai góc kề bù xOy và yOz, biết ∠xOy = 120°. Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOy, vẽ tia Om là tia phân giác của góc yOz. Chứng minh tia Ot vuông góc với tia Om.

Bài 4: Cho tam giác ABC, tia phân giác AD của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Vẽ tia DE song song với AB (E thuộc AC). Chứng minh tia DE là tia phân giác của góc C.

Bài 5: Cho tam giác ABC có ∠BAC = 120°, tia phân giác AD của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Vẽ tia DE vuông góc với AB (E thuộc AB), tia DF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, tia phân giác AD của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Chứng minh AD là đường trung trực của BC.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác AD của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Chứng minh AD < AB.

Bài 8: Cho tam giác ABC có ∠ABC = 60°, tia phân giác AD của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Chứng minh tam giác ABD là tam giác đều.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác AD của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC). Chứng minh BD = DE.

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, tia phân giác AD của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Kẻ DE vuông góc với AB (E thuộc AB), DF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình thoi.

Hy vọng những bài tập này giúp bạn ôn tập và củng cố kiến thức về Tia phân giác của góc!

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn