Công thức lượng giác là một hệ thống các công thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của các góc trong một tam giác vuông. Các công thức này được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến cạnh và góc của tam giác vuông, cũng như để giải các bài toán liên quan đến chuyển động tròn.
Công thức lượng giác cơ bản
Trong tam giác vuông
\(sin \alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}\)
\(cos \alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}\)
\(\tan \alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}\)
Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác
\(\tan \alpha = \dfrac{sin \alpha}{cos \alpha}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}\)
\(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\)
\(1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{cos^2 \alpha}\)
\(1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{sin^2 \alpha}\)
Công thức cộng và trừ
\(sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b\)
\(sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b\)
\(cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b\)
\(cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b\)
\(\tan (a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}\)
\(\tan (a – b) = \dfrac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b}\)
Công thức nhân đôi
\(sin 2a = 2 sin a cos a\)
\(cos 2a = cos^2 a – sin^2 a = 2 cos^2 a – 1 = 1 – 2 sin^2 a\)
\(\tan 2a = \dfrac{2 \tan a}{1 – \tan^2 a}\)
Công thức hạ bậc
\(sin a + sin b = 2 sin \dfrac{a + b}{2} cos \dfrac{a – b}{2}\)
\(sin a – sin b = 2 cos \dfrac{a + b}{2} sin \dfrac{a – b}{2}\)
\(cos a + cos b = 2 cos \dfrac{a + b}{2} cos \dfrac{a – b}{2}\)
\(cos a – cos b = -2 sin \dfrac{a + b}{2} sin \dfrac{a – b}{2}\)
Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
\(sin a cos b = \dfrac{1}{2} (sin (a + b) + sin (a – b))\)\(cos a cos b = \dfrac{1}{2} (cos (a + b) + cos (a – b))\)
\(sin a sin b = \dfrac{1}{2} (cos (a – b) – cos (a + b))\)
\(cos a – cos b = -2 sin \dfrac{a + b}{2} sin \dfrac{a – b}{2}\)
Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
\(sin x = a \quad \Rightarrow \quad x = (-1)^n \arcsin a + 2k \pi, n \in \mathbb{Z}\)\(cos x = a \quad \Rightarrow \quad x = \pm \arccos a + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\tan x = a \quad \Rightarrow \quad x = \arctan a + k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
Bài tập có lời giải về hàm số lượng giác
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 10cm, AC = 6cm. Tính sinB, cosB, tanB và cotB.
\(sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \)
\(cos B = \dfrac{AB}{BC} = \sqrt{1 – sin^2 B} = \sqrt{1 – \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5} \)
\(tan B = \dfrac{sin B}{cos B} = \dfrac{3}{4} \)
\(cot B = \dfrac{1}{\tan B} = \dfrac{4}{3}\)
Bài 2: Chứng minh đẳng thức:
\(\dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\tan^2 a + 1} = sin^2 a\)
Lời giải:
Biến đổi vế trái của đẳng thức, ta có:
\(\dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\tan^2 a + 1} = \dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\dfrac{sin^2 a}{cos^2 a} + 1} \)
\(= \dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\dfrac{sin^2 a}{cos^2 a} + \dfrac{cos^2 a}{cos^2 a}} \)
\(= \dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{cos^2 a}} \)
\(= cos^2 a\)
vì \(cos^2 a = 1 – sin^2 a = sin^2 a\)
Vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức:
\(\dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\tan^2 a + 1} = sin^2 a\)
Bài 3: Một chiếc diều bay cao 30m so với mặt đất, dây diều dài 50m. Tính góc tạo bởi dây diều và mặt đất.
Lời giải:
Gọi góc tạo bởi dây diều và mặt đất là α.
Xét tam giác vuông ABC với AC là chiều cao, BC là cạnh huyền và AB là cạnh huyền.
Áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(sin \alpha = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{30}{50} = \dfrac{3}{5}\)
\( \alpha = \arcsin \dfrac{3}{5} \approx 36,87^o\)
Công thức lượng giác là một công cụ quan trọng trong toán học và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật, thiên văn học, … Việc nắm vững các công thức lượng giác là rất quan trọng để học tốt toán học và các môn học khác.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
