Trong chương trình Toán lớp 12, tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề quan trọng, được ứng dụng trong nhiều bài toán về giải bất phương trình, khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số, …
Bài giảng này sẽ giúp học sinh nắm vững khái niệm, định lý và phương pháp để xét tính đơn điệu của hàm số, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) xác định trên khoảng K được gọi là:
- Đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K mà x1 < x2 thì \(f(x1) < f(x2)\)
- Nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1,x2 ∈ K mà x1 < x2 thì\(f(x1) > f(x2)\)
Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Điều kiện cần
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu f(x) đồng biến trên K thì f′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
- Nếu f(x) nghịch biến trên K thì f′(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.
Điều kiện đủ
- Nếu f′(x) >0 với mọi x ∈ K thì f(x) đồng biến trên K.
- Nếu f′(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f(x) nghịch biến trên K.
Biểu thức liên quan
Hàm số đồng biến trên (a;b) nếu và chỉ nếu:
- f(a) < f(b) nếu f′(x) > 0 với mọi x ∈ (a;b).
- f(a) > f(b) nếu f′(x) < 0 với mọi x ∈ (a;b).
Hàm số đồng biến trên [a;b] nếu và chỉ nếu:
- f(a ≤ f(b) nếu f′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a;b).
- f(a) ≥ f(b) nếu f′(x) ≤ 0 với mọi x ∈ (a;b).
Ví dụ
- Hàm số f(x) = x2 đồng biến trên (0;+∞).
- Hàm số g(x) = −x2 nghịch biến trên R.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Tìm tập xác định
Để tìm tập xác định của hàm số y = f(x)là tập giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa ta có:
Nếu p(x) là đa thức thì:
Tính đạo hàm
Bảng công thức tính đạo hàm của hàm số cơ bản:
Lập bảng biến thiên
Giả sử ta có hàm số y = f(x) thì:
- f'(x) < 0 ở đâu thì hàm số sẽ nghịch biến ở đấy.
- f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số sẽ đồng biến ở đấy.
Quy tắc chúng sẽ là:
- Ta tính f (x), sau đó giải phương trình f (x) = 0 tìm nghiệm.
- Lập bảng xét dấu f (x).
- Sau đó dựa vào bảng xét dấu và kết luận
Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Đây là bước quan trọng, ở bước này các em sẽ kết luận được sự đồng biến nghịch biến của hàm số trên khoảng nào.
Phương pháp giải các bài tập về tính đơn điệu của hàm số
Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m
Hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định
Phương pháp:
- Đối với hàm đa thức bậc ba: \(y = f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d; (a ‡ 0)\)
Tính\(y = f (x) = ax^3 + bx^2 + cx\) , khi đó
- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R a >0 và
- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R → a <0 và
- Đối với hàm phân thức bậc nhất:
Tính
khi đó:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’ > 0 hay (ad-bc) > 0
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y ‘< 0 hay (ad-bc)<0
Ví dụ: Cho hàm số: \(f (x) = x^3- 3mx^2 + 3(2m – 1)x + 1\). Xác định m để hàm
số đồng biến trên tập xác định.
Lời giải:
- TXĐ: D = R
- Tính \(f’ (x) = 3x^2 – 6mx + 3(2m – 1)\)
Đặt g(x) = 3x – 6mx + 3(2m – 1) có a = 3; b = -6m; c= 3(2m-1);
Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:
a > 0 và
→a =3 > 0 và 9(m-1)2 0
→ m = 1
Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R
Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước
Bước 1. Xác định tập xác định:
- Tìm điều kiện để biểu thức của hàm số có nghĩa.
- Loại bỏ các giá trị làm cho biểu thức của hàm số không xác định.
Bước 2. Tính đạo hàm:
- Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản và các quy tắc đạo hàm.
- Chú ý đến các điểm mà đạo hàm không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên:
- Ghi các giá trị đặc biệt (tập xác định, điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định).
- Xét dấu đạo hàm trên từng khoảng của tập xác định.
- Kết luận tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng.
Bước 4. Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng cho trước:
- So sánh giá trị của f′(x) với 0 trên khoảng cho trước.
- Kết luận tính đơn điệu của hàm số trên khoảng cho trước.
Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x)
- f(x) cụ thể cho trước. VD \(x^2-4x\)
- f(x) có tham số dạng tách rời. VD \(x^3-m\)
Bước 1: Khảo sát và lập bảng biến thiên của f(x)
Bước 2: Dùng phép suy giảm biến thiên của hàm số f(x)
- Giữ nguyên phần nằm trên y = 0
- Lấy đối xứng qua y = 0 phần bên dưới
- Nhìn vào bảng biến thiên của f(x) suy ra đồng biến, nghịch biến
Bài tập tính đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số \(f(x)=x^3−3×2+2x−5\)
Giải:
Bước 1: Tập xác định: D=R.
Bước 2: \(f′(x)=3x^2−6x+2=3(x−1)2\)
Bước 3:
| Khoảng | f′(x) | Kết luận |
| (−∞;1) | f′(x)<0 | f(x) nghịch biến |
| (1;+∞) | f′(x)>0 | f(x) đồng biến |
Kết luận:
- Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (−∞;1).
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;+∞).
Bài 2. Tìm giá trị của m để hàm số g(x)=x2−2mx+m2−1 / x-m đồng biến trên khoảng (1;2).
Giải:
Bước 1: Tập xác định: D=R∖m.
Bước 2: g′(x)=2(x−m)/(x-m)^2= 2x-m
Bước 3:
| Khoảng | g′(x) | Kết luận |
| (−∞;m) | g′(x)<0 | g(x) nghịch biến |
| (m;+∞) | g′(x)>0 | g(x) đồng biến |
Bước 4:
- Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1;2) khi m>2.
Kết luận:
- Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1;2) khi m>2.
Bài 3. Giải bất phương trình \(f(x)=x^3−3x^2+2x−5>0\)
Giải:
Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số f(x):
| Khoảng | f′(x) | Kết luận |
| (−∞;1) | f′(x)<0 | f(x) nghịch biến |
| (1;+∞) | f′(x)>0 | f(x) đồng biến |
Bước 2:
- f(x) = 0 tại x=1.
- Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
- f(x)>0 khi x∈(−∞;1)∪(1;+∞).
- f(x)<0 khi x=1.
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình f(x)>0 là S=(−∞;1)∪(1;+∞).
Bài tập tham khảo
Qua bài giảng này, học sinh đã nắm vững khái niệm tính đơn điệu của hàm số, định lý về tính đơn điệu và phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số. Kiến thức này có thể được ứng dụng để giải các bài toán về giải bất phương trình, khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số, …