Lý thuyết tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau - Toán lớp 9

Trong hình học, việc nghiên cứu về tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau là một chủ đề quan trọng và thú vị. Hai đường tiếp tuyến có thể cắt nhau ở một điểm duy nhất hoặc không cắt nhau tạo thành một giao điểm ảo.

Sự hiểu biết về tính chất này không chỉ mở ra cánh cửa cho sự khám phá trong lĩnh vực hình học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực kỹ thuật và công nghệ. Hãy cùng khám phá chi tiết về tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau trong bài viết dưới đây.

Định nghĩa về hai tiếp tuyến cắt nhau

Hai tiếp tuyến cắt nhau là hai đường tiếp tuyến với hai đường tròn khác nhau và tạo thành một góc tại mỗi điểm tiếp xúc. Khi hai đường tròn giao nhau, chúng tạo ra bốn điểm tiếp xúc. Hai tiếp tuyến cắt nhau thường tạo thành một góc giữa chúng tại mỗi điểm tiếp xúc, và góc này thường bằng một nửa góc lớn của hai cung nối các điểm tiếp xúc với tâm của hai đường tròn.

Điều này cung cấp một hiểu biết cơ bản về mối quan hệ giữa hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hình học của các đường tròn.

Điều kiện:

• Hai đường thẳng phải là tiếp tuyến của cùng một đường tròn.
• Hai tiếp tuyến phải có điểm chung khác với tâm đường tròn.

Ví dụ:

• Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến MA và MB cắt nhau tại M.
• MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau.
• M là điểm cắt nhau của hai tiếp tuyến MA và MB.

Lưu ý:

• Hai tiếp tuyến cắt nhau có thể cắt nhau bên trong hoặc bên ngoài đường tròn.
• Hai tiếp tuyến cắt nhau không bao giờ đi qua tâm đường tròn.

Định lí hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia được kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Giải thích:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm:

Giả sử hai tiếp tuyến MA và MB cắt nhau tại M. Ta có:

• OA = OB (bán kính)
• \(\angle MOA = \angle MOB\)= \(90^\circ\) (tính chất tiếp tuyến)

Xét hai tam giác AOM và BOM có:

\(OA = OB \quad (\text{cmt})\)
\(\angle MOA = \angle MOB \quad (\text{cmt})\)
\(OM \text{ là cạnh chung}\)
Vậy hai tam giác AOM và BOM bằng nhau (c.g.c)

Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng)

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến:

Ta có:

\(\angle AMB = \angle AOM + \angle BOM \quad (\text{góc kề bù})\) \(\text{Do hai tam giác } \triangle AOM \text{ và } \triangle BOM \text{ bằng nhau}\) \(\angle AOM = \angle BOM\)

Do đó,tia OM là tia phân giác của góc AMB.

Tia được kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm:

Ta có:

\(\angle AOB = \angle AOM + \angle MOB \quad (\text{góc kề bù})\) \(\text{Do hai tam giác } \triangle AOM \text{ và } \triangle BOM \text{ bằng nhau}\) \(\angle AOM = \angle BOM\) \(\text{Do đó, tia } OM \text{ là tia phân giác của } \angle AOB\)

Hệ quả:

• Hai tiếp tuyến của một đường tròn tại cùng một điểm bằng nhau.
• Góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại một điểm bằng \(90^\circ\).
• Góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm bằng \(90^\circ\).

Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là một đường tròn được vẽ sao cho tất cả các đỉnh của tam giác nằm trên đường tròn này. Trong một tam giác, nếu có một đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó, thì đường tròn đó được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác.

Điều kiện:

• Tam giác phải có ít nhất một góc không bằng \(180^\circ\).
• Ba đường phân giác trong của tam giác phải cắt nhau tại một điểm.

Tâm đường tròn nội tiếp:

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.

Bán kính đường tròn nội tiếp:

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác được tính theo công thức: \(r = \frac{S}{p}\)
      

với: r là bán kính đường tròn nội tiếp

       S là diện tích tam giác

       p là nửa chu vi tam giác

Tính chất:

• Đường tròn nội tiếp tam giác luôn nằm bên trong tam giác.
• Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với tất cả các cạnh của tam giác.
• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
• Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tỉ lệ với diện tích tam giác và tỉ lệ nghịch với nửa chu vi tam giác.

Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn bàng tiếp tam giác là một đường tròn được vẽ sao cho nó tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác từ bên trong. Điểm tiếp xúc của đường tròn với mỗi cạnh tam giác được gọi là điểm tiếp trên cạnh đó.

Tâm đường tròn bàng tiếp:

• Tâm đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh BC là giao điểm của đường phân giác trong của \(\angle B\) và đường phân giác ngoài của góc C.
• Tâm đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh AC là giao điểm của đường phân giác trong của \(\angle C\) và đường phân giác ngoài của góc B.
• Tâm đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh AB là giao điểm của đường phân giác trong của \(\angle A\) và đường phân giác ngoài của góc C.

Bán kính đường tròn bàng tiếp:

Bán kính đường tròn bàng tiếp được tính theo công thức:

\(r = \frac{s}{s – a}\)

với:

• r là bán kính đường tròn bàng tiếp
• s là nửa chu vi tam giác
• a là cạnh tương ứng với đường tròn bàng tiếp

Tính chất:

• Đường tròn bàng tiếp tam giác nằm bên ngoài tam giác.
• Đường tròn bàng tiếp tam giác tiếp xúc với một cạnh của tam giác và với phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
• Tâm đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh BC là giao điểm của đường phân giác trong của \(\angle B\) và đường phân giác ngoài của \(\angle C\).
• Bán kính đường tròn bàng tiếp tỉ lệ với nửa chu vi tam giác và tỉ lệ nghịch với cạnh tương ứng.

Các dạng bài toán thường gặp 

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác ABC.

Giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = 7.5 \, \text{cm}\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)} = 10\sqrt{3} \, \text{cm}^2
\)

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:\(r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{3}}{7.5} = \frac{4\sqrt{3}}{5} \, \text{cm}\)

Bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh BC là: r = \(\frac{s}{s – BC}\) = \(\frac{7.5}{7.5 – 6}\) = 15 cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Chứng minh rằng ba đường phân giác trong của tam giác ABC đồng quy.

Giải:

Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.

Ta có: AI là tia phân giác của \(\angle A\)

BI là tia phân giác của \(\angle B\)

CI là tia phân giác của \(\angle C\)

Do đó, AI, BI, CI là ba đường phân giác trong của tam giác ABC.

Theo định lý phân giác trong, ta có:

\(\frac{AI}{IB} = \frac{AC}{BC}\) \(\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC}\) \(\frac{CI}{IA} = \frac{BC}{AB}\)

Nhân vế theo vế ba đẳng thức trên, ta có:

\(\left( \frac{AI}{IB} \right) \left( \frac{BI}{IC} \right) \left( \frac{CI}{IA} \right) = \left( \frac{AC}{BC} \right) \left( \frac{AB}{AC} \right) \left( \frac{BC}{AB} \right)\)

Suy ra: \(\frac{AI}{IA} = 1\)

Vậy ba đường phân giác trong AI, BI, CI đồng quy tại điểm I.

Tóm lại tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau không chỉ là một đề tài hấp dẫn trong hình học mà còn mang lại những ứng dụng quan trọng trong thực tế. Việc hiểu biết sâu hơn về cách mà hai đường tiếp tuyến tương tác với nhau giúp chúng ta dễ dàng giải quyết các bài toán phức tạp và áp dụng kiến thức vào các lĩnh vực như thiết kế, xây dựng và công nghệ.

Đồng thời, việc khám phá và nghiên cứu về tính chất này cũng mở ra nhiều hướng đi mới trong nghiên cứu và phát triển trong tương lai.