Lý thuyết tính chất ba đường trung trực của tam giác

Tính chất ba đường trung trực của tam giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Kiến thức về ba đường trung trực giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng và từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

Tính chất ba đường trung trực bao gồm các định lý và hệ quả về vị trí tương đối, tính chất của điểm nằm trên đường trung trực và các tính chất khác của đường trung trực.

Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về tính chất ba đường trung trực của tam giác lớp 7.

Định nghĩa đường trung trực

Đường trung trực: là đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

– Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là tâm của tam giác. 

– Tâm của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Chứng minh tính chất ba đường trung trực của tam giác

Chứng minh ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm.

• Cách 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.
• Cách 2: Sử dụng định lý Talet.

Chứng minh tâm của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Có nhiều cách để chứng minh, bạn có thể sử dụng một trong các cách sau:

• Cách 1: Sử dụng tính chất đường trung tuyến.
• Cách 2: Sử dụng tính chất đường phân giác và định lý Pythagoras.

Ví dụ:

• Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Đường thẳng d vuông góc với BC tại M là đường trung trực của BC.
• Cho điểm O cách đều ba điểm A, B, C. O là tâm của tam giác ABC.

Các dạng bài tập và phương pháp giải về tính chất ba đường trung trực của tam giác

Dạng 1: Chứng minh điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng.

Ví dụ:Cho đoạn thẳng AB, điểm M nằm trên đường trung trực của AB. Chứng minh rằng MA = MB.

Cách giải:

• Cách 1:Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.
• Cách 2:Sử dụng định lý Talet.

Dạng 2: Chứng minh điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ:Cho điểm M cách đều hai điểm A và B. Chứng minh rằng M nằm trên đường trung trực của AB.

Cách giải:

• Cách 1:Sử dụng tính chất đường trung tuyến.
• Cách 2:Sử dụng tính chất đường phân giác và định lý Pythagoras.

Dạng 3: Vận dụng tính chất ba đường trung trực để giải bài toán.

Ví dụ:Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.

Cách giải:

• Sử dụng tính chất ba đường trung trực để chứng minh MN là đường trung trực của AC.
• Sử dụng tính chất đường trung trực để chứng minh NA = NB.

Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường trung trực của tam giác ABC đồng quy tại M.

Lời giải:

Cách 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.

Vì AM = BM (theo giả thiết) và d vuông góc với BC tại M nên MA = MB.

Xét hai tam giác MAI và MBI, ta có:

• AM = BM (cmt).
• Góc AMI = góc BMI (vì d vuông góc với BC).
• MI chung.

Do đó, hai tam giác MAI và MBI bằng nhau (c.g.c).

Suy ra:

Góc MAI = góc MBI.

Mà góc MAI + góc MBI = 180° (hai góc kề bù).

Do đó, góc MAI = góc MBI = 90°.

Vậy M nằm trên đường trung trực của AB.

Tương tự, ta có thể chứng minh M nằm trên đường trung trực của AC và BC.

Vậy ba đường trung trực của tam giác ABC đồng quy tại M.

Cách 2: Sử dụng định lý Talet.

Vì AM = BM (theo giả thiết) và d vuông góc với BC tại M nên MA = MB.

Xét hai tam giác CAB và CBA, ta có:

• AB chung.
• Góc CAB = góc CBA (vì AB là tia phân giác của góc ACB).
• CA/CB = MA/MB (cmt).

Do đó, hai tam giác CAB và CBA bằng nhau (c.g.c).

Suy ra:

CA = CB.

Áp dụng định lý Talet vào hai tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

• \(IA^2 + AM^2 = IM^2\).
• \(IB^2 + BM^2 = IM^2\)

Vì IA = IB (cmt) và AM = BM (cmt) nên \(IA^2 + AM^2 = IB^2 + BM^2\)

Suy ra:

\(IM^2 = IM^2\)

Điều này chỉ xảy ra khi IM = 0.

Vậy M nằm trên đường trung trực của AB.

Tương tự, ta có thể chứng minh M nằm trên đường trung trực của AC và BC.

Vậy ba đường trung trực của tam giác ABC đồng quy tại M.

Bài tập 2:Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng đường trung trực của BC đi qua A.

Lời giải:

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC.

Xét hai tam giác AMB và AMC, ta có:

• AM chung.
• BM = MC (cmt).
• Góc AMB = góc AMC (vì tam giác ABC cân tại A).

Do đó, hai tam giác AMB và AMC bằng nhau (c.g.c).

Suy ra:

Góc AMB = góc AMC.

Mà góc AMB + góc AMC = 180° (hai góc kề bù).

Do đó, góc AMB = góc AMC = 90°.

Vậy đường trung trực của BC đi qua A.

Bài tập 3:Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng đường trung trực của BC đi qua A.

Lời giải:

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC.

Xét hai tam giác AMB và AMC, ta có:

• AM chung.
• BM = MC (cmt).
• Góc AMB = góc AMC = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A).

Do đó, hai tam giác AMB và AMC bằng nhau (g.c.g).

Suy ra:

Góc AMB = góc AMC.

Mà góc AMB + góc AMC = 180° (hai góc kề bù).

Do đó, góc AMB = góc AMC = 90°.

Vậy đường trung trực của BC đi qua A.

Học sinh cần nắm vững các định nghĩa, định lý và hệ quả liên quan đến chủ đề này để có thể áp dụng vào giải bài tập một cách chính xác.