Hàm số lũy thừa: Khái niệm, tính chất, đồ thị và ứng dụng

Hàm số lũy thừa là một loại hàm số quan trọng được sử dụng rộng rãi trong toán học và khoa học. Bài viết này sẽ trình bày về khái niệm, tính chất, đồ thị và ứng dụng của hàm số lũy thừa.

Lý thuyết hàm số lũy thừa

Định nghĩa

– Cho hàm số y = x trong đó a ∈ R => được gọi là hàm số lũy thừa. a

– Tập xác định của hàm số lũy thừa:

• Nếu a nguyên dương: D = R
• Nếu a nguyên âm hoặc bằng 0: D = R \ {0}
• Nếu a không phải là số nguyên: D = (0; +∞)

Đạo hàm của hàm số lũy thừa

a. Đạo hàm với số mũ tổng quát

– Hàm số y = x có đạo hàm với mọi x € (0; +∞) và y’ = (x^a)’ = a.x^a-1

Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số y = u^a (x) cũng sẽ có đạo hàm trên J là:  y = [u^a (x)]^-1 = ax^a-1. (x). u’ (x)

b. Đạo hàm với số mũ nguyên dương

– Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương thì hàm số y = xa sẽ có tập xác định D = R và có đạo hàm trên toàn bộ trục số. Khi đó, công thức đạo hàm sẽ được mở rộng như sau:

Với mọi x ∈ R, (xa)’ = a.xa-1

• Với mọi x ∈ J,  [ua (x)] = a.ua-1 (x) u’ (x)

– Lưu ý: Trường hợp u = u (x) sẽ có đạo hàm trong khoảng J

c. Đạo hàm với số mũ nguyên âm

– Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm thì hàm số y = xa sẽ có tập xác định D = R \ {0}, có đạo hàm tại mọi x (x ≠ 0). Khi đó, công thức đạo hàm với số mũ nguyên âm sẽ mở rộng như sau:

• Với mọi x ≠ 0, (xa) = a.xa-1
• Với mọi x ∈ J, [ua (x)]’ = a.ua-1. (x). u’ (x)
• Lưu ý: Nếu u = u(x) ≠ 0 sẽ có đạo hàm trong khoảng J

Hướng dẫn giải các dạng bài hàm số lũy thừa

Dạng bài tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Để làm được dạng bài tập xác định của hàm số lũy thừa, các em cần thực hiện đủ 3 bước sau:

Bước 1: Xác định số mũ a của hàm số

Bước 2: Đưa ra điều kiện để hàm số xác định dựa vào tập xác định của hàm số:

+ Nếu a nguyên dương: D = R

+ Nếu a nguyên âm hoặc bằng 0: D = R \ {0}

+ Nếu a không phải là số nguyên: D = (0; +∞)

Bước 3: Thực hiện giải bất phương trình để tìm tập xác định của hàm số.

Dạng bài tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Với dạng bài tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, các em cũng thực hiện 3 bước để giải để:

Bước 1: Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của hàm số mà đề bài đưa ra

Bước 2: Tính đạo hàm của các hàm số thành phần dựa trên các công thức tính đạo hàm của hàm đa thức, hàm phân thức, hàm số lũy thừa…  

• ( u v )’ = u’ v’
• (uv)’ = u’v + uv’
• (u/v)’ =u’v – uv’/v^2

Bước 3: Tính toán và đưa ra kết quả

Dạng bài tìm tính chất số mũ trong hàm số lũy thừa dựa vào đồ thị để bài cho sẵn

Với dạng bài tập này, các em học sinh cần quan sát đồ thị hàm số, đưa ra được nhận xét về tính nghịch biến, đồng biến của đồ thị. Xác định các điểm đi qua để suy ra tính chất của số mũ trong hàm số lũy thừa.

Bài tập về hàm số lũy thừa lớp 12 có lời giải chi tiết

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y=(0,5)x

Lời giải:

• Tập xác định: D=R.
• Tính chất:
  • Đồng biến khi a>1 (mà 0,5<1 nên hàm số nghịch biến).
  • Nghịch biến khi 0<a<1.
  • Liên tục trên R.
  • Đồ thị đi qua điểm (1;1).
  • Đồ thị nằm phía dưới trục Ox.
• Vẽ đồ thị:

[Đồ thị hàm số y = (0,5)^x]

Bài 4: Ứng dụng hàm số lũy thừa vào giải bài toán thực tế.

Một công ty muốn đầu tư 100 triệu đồng vào hai dự án A và B. Lãi suất của dự án A là 8% một năm, lãi suất của dự án B là 10% một năm. Hỏi công ty nên đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi dự án để sau một năm thu được số tiền lãi là 12 triệu đồng?

Lời giải:

Gọi số tiền đầu tư vào dự án A là x (triệu đồng).

Số tiền đầu tư vào dự án B là 100−x (triệu đồng).

Số tiền lãi thu được từ dự án A sau một năm là 0,08x (triệu đồng).

Số tiền lãi thu được từ dự án B sau một năm là 0,1(100−x) (triệu đồng).

Tổng số tiền lãi thu được sau một năm là 0,08x+0,1(100−x) (triệu đồng).

Theo bài toán, ta có:

0,08x+0,1(100−x)=12

⇔0,02x=2

⇔x=100

Vậy công ty nên đầu tư 100 triệu đồng vào dự án A và 0 triệu đồng vào dự án B.

Hàm số lũy thừa là một công cụ hữu ích để giải quyết nhiều bài toán thực tế. Học sinh cần nắm vững kiến thức về hàm số lũy thừa để áp dụng vào giải bài tập và các ứng dụng thực tế.