Hàm số liên tục và những định lý cơ bản về hàm số này

Hàm số liên tục là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Khái niệm này đóng vai trò nền tảng cho nhiều khái niệm khác như đạo hàm, tích phân, giới hạn,

Định nghĩa hàm số liên tục

Hàm số liên tục là hàm số không có “khoảng trống” hay “gián đoạn” trong đồ thị của nó. Nói cách khác, khi giá trị đầu vào của hàm số thay đổi liên tục, giá trị đầu ra cũng thay đổi liên tục.

Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên tập K. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0​ thuộc K nếu:

Khi x tiến đến x0​, f(x) tiến đến f(x0​).

Ký hiệu:  \(\lim_{x \to x_0} f(x)= f(x_0)\)

Cách kiểm tra:

Để kiểm tra xem hàm số f(x) có liên tục tại điểm x0​ hay không, ta có thể sử dụng định nghĩa trên hoặc sử dụng các cách sau:

• Cách 1: Tính giá trị f(x0​). Sau đó, tính limx→x0​​f(x). Nếu hai giá trị này bằng nhau thì hàm số liên tục tại x0​.
• Cách 2: Xét hai trường hợp: x>x0​ và x<x0​.
  • Nếu \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} (-f(x)) = f(x_0)\) thì hàm số liên tục tại x0​.
  • Nếu\(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} (-f(x))\) thì hàm số không liên tục tại x0​.

Ví dụ:

• Hàm số f(x)=x2 liên tục tại mọi điểm x0​ thuộc R.
• Hàm số g(x)=x1​ liên tục tại mọi điểm x0​ thuộc R∖{0}.

Lưu ý: Hàm số liên tục tại một điểm không có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm. Ví dụ, hàm số f(x)=x1​ không liên tục tại x=0.

Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x thuộc (a,b).

Ký hiệu:

f(x)∈C(a,b)

Tính chất:

• Tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục trên (a,b) là hàm số liên tục trên (a,b) (với điều kiện mẫu số không bằng 0).
• Hàm số hợp của hai hàm số liên tục là hàm số liên tục.

Ví dụ:

• Hàm số f(x)=x2 liên tục trên R.
• Hàm số g(x)=x1​ liên tục trên R∖{0}.

Lưu ý: Hàm số liên tục trên một khoảng không có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm. Ví dụ, hàm số f(x)=x1​ không liên tục tại x=0.
Hàm số liên tục trên tập R

Định nghĩa:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên tập R nếu nó liên tục tại mọi điểm x thuộc R.

Ký hiệu:

\(f(x)∈C(R)\)

Tính chất:

• Tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục trên R là hàm số liên tục trên R (với điều kiện mẫu số không bằng 0).
• Hàm số hợp của hai hàm số liên tục là hàm số liên tục.

Ví dụ:

• Hàm số f(x)=x2 liên tục trên R.
• Hàm số g(x)=x1​ liên tục trên R \ {0}.

Lưu ý:

• Hàm số liên tục trên R không có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm. Ví dụ, hàm số f(x)=x1​ không liên tục tại x=0. 
• Có nhiều dạng bài tập về hàm số liên tục, bao gồm: 
  • Chứng minh hàm số liên tục trên R.
  • Tìm điểm gián đoạn của hàm số.
  • Áp dụng tính chất của hàm số liên tục để giải bài toán.
• Cần nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của hàm số liên tục để giải bài toán hiệu quả.
  

Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm một số ví dụ về hàm số liên tục trên R:

• Hàm số đa thức: \(f(x)=2×3+4×2−1\)
• Hàm số lượng giác: \(f(x)=sin(x)+cos(x)\)
• Hàm số mũ: \(f(x)=ex\)
• Hàm số logarit: \(f(x)=log(x)\)

Một số dạng bài tập thường gặp về hàm số liên tục trên R:

• Chứng minh hàm số \(f(x)=x−1×2−1\)​ liên tục trên R.
• Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x)=x2−41\)​.
• Sử dụng tính chất của hàm số liên tục để chứng minh rằng phương trình \(x2+2x−3=0\) có nghiệm thực.

Hàm số liên tục trên tập R

Định nghĩa:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên tập R nếu nó liên tục tại mọi điểm x thuộc R.

Ký hiệu:

\(f(x)∈C(R)\)

Tính chất:

• Tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục trên R là hàm số liên tục trên R (với điều kiện mẫu số không bằng 0).
• Hàm số hợp của hai hàm số liên tục là hàm số liên tục.

Ví dụ:

• Hàm số \(f(x)=x2\) liên tục trên R.
• Hàm số \(g(x)=x1\)​ liên tục trên R \ {0}.

Lưu ý: Hàm số liên tục trên R không có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm. Ví dụ, hàm số f(x)=x1​ không liên tục tại x=0.

Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

Để áp dụng giải các bài tập liên quan đến hàm số liên tục, ngoài định nghĩa các loại hàm số liên tục, học sinh cần nắm chắc 3 định lý cơ bản sau đây:

Định lý 1:

• Hàm số đa thức là loại hàm số liên tục trên tập R.
• Hàm số thương của 2 đa thức (phân thức hữu tỉ) và các hàm số lượng giác đều liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Định lý 2: Cho hàm số \(y = f(x) và y = g(x)\) là hai hàm số liên tục tại 20.

Ta có:

• \(y = f(x) + g(x). y=f(x)g(x), y = f(x).g(x)\) sẽ liên tục tại điểm 20.
• \(y= f(x)/ g(x)\) là hàm số liên tục tại Το khi g(x0) ≠ 0.

Định lý 3: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên [a,b] và thỏa mãn \(f(a). f(b) < 0\). Tồn tại ít nhất 1 điểm c thuộc đoạn (a;b) thỏa mãn f(c) = 0.

Định lý này thường dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên khoảng nhất định.

Định lý 3 còn có một dạng khác như sau:

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên [a,b] và thỏa mãn \(f(a) f(b) < 0\). Phương trình f(x) = 0 sẽ có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (a;b).

Hàm số liên tục được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học, bao gồm giải tích, đại số, hình học và vật lý. Ví dụ, hàm số liên tục được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng trong thế giới thực, ví dụ như chuyển động của vật thể, sự biến đổi của nhiệt độ