Tổng hợp lý thuyết và công thức tính diện tích hình ngũ giác

Diện tích hình ngũ giác là một khái niệm quan trọng trong toán học. Bài viết này sẽ giới thiệu các công thức tính diện tích hình ngũ giác đều và không đều, cũng như các ví dụ minh họa.

Khái niệm hình ngũ giác

Hình ngũ giác là đa giác có năm cạnh. Hình ngũ giác có thể là ngũ giác đều hoặc ngũ giác không đều.

Ngũ giác đều là ngũ giác có năm cạnh bằng nhau và năm góc bằng nhau.

Ngũ giác không đều là ngũ giác có ít nhất một cặp cạnh không bằng nhau hoặc ít nhất một cặp góc không bằng nhau.

Công thức tính diện tích hình ngũ giác

Dưới đây là tổng hợp công thức tính diện tích hình ngũ giác đều và diện tích hình ngũ giác không đều

Công thức tính diện tích hình ngũ giác đều

Công thức:

Diện tích hình ngũ giác đều = \( \frac{{a^2 \times \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}}{4} \)

Trong đó:

• a là độ dài cạnh của hình ngũ giác đều
• √ là ký hiệu căn bậc hai

Cách tính:

1. Chia hình ngũ giác đều thành 5 tam giác đều bằng nhau.
2. Tính diện tích một tam giác đều.
3. Nhân diện tích một tam giác đều với 5 để tính diện tích hình ngũ giác đều.

Ví dụ:

Cho hình ngũ giác đều ABCDE có cạnh AB = 5 cm. Tính diện tích hình ngũ giác đều ABCDE.

Giải:

Diện tích hình ngũ giác đều ABCDE =\( \frac{{5^2 \times \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}}{4} = 57.25 \, \text{cm}^2 \)

Ngũ giác không đều

Công thức:

Diện tích hình ngũ giác không đều = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) d \(\times\) h

Trong đó:

• d là đường chéo của hình ngũ giác không đều
• h là khoảng cách từ một đỉnh của hình ngũ giác đến đường chéo

Cách tính:

1. Nối hai đỉnh bất kỳ của hình ngũ giác không đều để tạo thành đường chéo.
2. Tính khoảng cách từ một đỉnh của hình ngũ giác đến đường chéo.
3. Áp dụng công thức trên để tính diện tích hình ngũ giác không đều.

Ví dụ:

Cho hình ngũ giác không đều ABCDE có đường chéo AC = 10 cm và khoảng cách từ đỉnh B đến đường chéo AC là 5 cm. Tính diện tích hình ngũ giác không đều ABCDE.

Giải:

Diện tích hình ngũ giác không đều ABCDE = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 10 \(\times\) 5 = 25 \(cm^2\)

Bài tập tính diện tích hình ngũ giác

Bài 1:Cho hình ngũ giác đều ABCDE có cạnh AB = 4 cm. Tính diện tích hình ngũ giác đều ABCDE.

Bài 2:Cho hình ngũ giác không đều ABCDE có đường chéo AC = 8 cm và khoảng cách từ đỉnh B đến đường chéo AC là 3 cm. Tính diện tích hình ngũ giác không đều ABCDE.

Bài 3:Cho hình ngũ giác ABCDE, biết AB = 5 cm, BC = 6 cm, CD = 7 cm, DE = 8 cm, EA = 9 cm. Tính diện tích hình ngũ giác ABCDE.

Bài 4:Cho hình ngũ giác đều MNPQR có cạnh MN = 10 cm. Một đường thẳng đi qua hai đỉnh M và Q chia hình ngũ giác đều thành hai phần, trong đó một phần là hình tam giác có diện tích 30 \(cm^2\). Tính diện tích hình ngũ giác đều MNPQR.

Bài 5:Cho hình ngũ giác ABCDE, biết AB = 4 cm, BC = 5 cm, CD = 6 cm, DE = 7 cm, EA = 8 cm. Nối các điểm A và C, B và D. Tính diện tích hình tứ giác ACDB.

Hướng dẫn giải bài tập

Bài 1:

Diện tích hình ngũ giác đều ABCDE = \( \frac{{a^2 \times \sqrt{{25 + 10\sqrt{5}}}}}{{4}} = \frac{{4^2 \times \sqrt{{25 + 10\sqrt{5}}}}}{{4}} = 32\sqrt{{25 + 10\sqrt{5}}} \, \text{cm}^2 \)

Bài 2:

Diện tích hình ngũ giác không đều ABCDE = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) d \(\times\) h = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 8 \(\times\) 3 = 12 \(cm^2\)

Bài 3:

Hình ngũ giác ABCDE có thể chia thành 5 tam giác:

• ∆ABE
• ∆ABC
• ∆BCD
• ∆CDE
• ∆DEA

Diện tích hình ngũ giác ABCDE = Diện tích ∆ABE + Diện tích ∆ABC + Diện tích ∆BCD + Diện tích ∆CDE + Diện tích ∆DEA

Diện tích ∆ABE = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) BE

Diện tích ∆ABC = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) BC

Diện tích ∆BCD = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) BC \(\times\) CD

Diện tích ∆CDE = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) CD \(\times\) DE

Diện tích ∆DEA = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) DE \(\times\) EA

Tuy nhiên, để tính diện tích từng tam giác, ta cần biết thêm thông tin về các góc hoặc các cạnh của hình ngũ giác ABCDE. Do đề bài không cho dữ liệu đầy đủ, nên không thể tính được diện tích hình ngũ giác ABCDE.

Bài 4:

Diện tích hình ngũ giác đều MNPQR = \( \frac{{a^2 \times \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}}{4} \)

Diện tích hình tam giác MQR = 30 \(cm^2\)

Diện tích phần còn lại của hình ngũ giác đều MNPQR = Diện tích hình ngũ giác đều MNPQR – Diện tích hình tam giác MQR

Diện tích phần còn lại của hình ngũ giác đều MNPQR =\( \frac{{a^2 \times \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}}{4} – 30 \)\(cm^2\)

Vì phần còn lại của hình ngũ giác đều MNPQR là hình tam giác đều, nên ta có:

Diện tích phần còn lại của hình ngũ giác đều MNPQR = \( \frac{{a^2 \times \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}}{4} – 30 \)

Suy ra:

\(\frac{a^2 \times \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{4} – 30 = \frac{a^2 \times \sqrt{3}}{4}\)

\(a^2 \times \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} – 120 = a^2 \times \sqrt{3}\)

\(a^2 \times \left(\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} – \sqrt{3}\right) = 120\)

\(a^2 \approx 48.48\)

\(a \approx 7 \, \text{cm}\)

Diện tích hình ngũ giác đều MNPQR ≈\( \frac{{a^2 \times \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}}{4} \approx 203.12 \, \text{cm}^2 \)

Bài 5:

Hình tứ giác ACDB có thể chia thành 2 tam giác:

• ∆ABC
• ∆ACD

Diện tích hình tứ giác ACDB = Diện tích ∆ABC + Diện tích ∆ACD

Diện tích ∆ABC = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) BC

Diện tích ∆ACD = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AC \(\times\) CD

Tuy nhiên, để tính diện tích từng tam giác, ta cần biết thêm thông tin về các góc hoặc các cạnh của hình tứ giác ACDB. Do đề bài không cho dữ liệu đầy đủ, nên không thể tính được diện tích hình tứ giác ACDB.

Diện tích hình ngũ giác là một khái niệm quan trọng trong toán học. Bài viết này đã giới thiệu các công thức tính diện tích hình ngũ giác đều và không đều, cũng như các ví dụ minh họa.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn