Đề thi thử vào 10 môn toán

Kỳ thi tuyển sinh vào 10 là một sự kiện quan trọng trong cuộc đời mỗi học sinh. Bài viết này, sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi thử vào 10 môn toán, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi sắp tới của mình.

Đề thi thử vào 10 môn toán trường THCS Minh Khai – Hà Nội

Giải chi tiết

Câu 1:

a, Rút gọn biểu thức B
\[ \begin{align*}
x – 1 &= (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1) \\
&= (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1) \\
&= x – 1
\end{align*} \]

b, Tính giá trị của biểu thức B
\[ \begin{align*}
B &= \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)^2} \\
&= \frac{2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + 1)^2} \\
&= \frac{2\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3} + 1 + 1)^2} \\
&= \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{4} \\
&= \frac{\sqrt{3} + 1}{2}
\end{align*} \]

Câu 2:

a, Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(Q(1; -2)\) khi và chỉ khi tọa độ của điểm \(Q\) thỏa mãn phương trình của đường thẳng.
Thay \(x = 1\) và \(y = -2\) vào phương trình của đường thẳng \(d\), ta được:
\[ -2 = -1 + 2m – 1 \]
\[ \Leftrightarrow 2m = 0 \]
\[ \Leftrightarrow m = 0 \]
Vậy \( m = 0 \).

b,
\[ \begin{cases}
y = -x + 2m – 1 \\
y = 2x – 3
\end{cases} \]
\[ \Rightarrow \begin{cases}
-x + 2m – 1 = 2x – 3 \\
y = 2x – 3
\end{cases} \]
\[ \Rightarrow \begin{cases}
-3x + 2m – 2 = 0 \\
y = 2x – 3
\end{cases} \]
Thay \( x = 2m – 2 \) vào phương trình \( y = 2x – 3 \) ta được:
\[ y = 2(2m – 2) – 3 \]
\[ y = 4m – 7 \]
Để điểm giao điểm nằm về phía bên trái trục tung thì \( x < 0 \). Thay \( x = 2m – 2 \) vào điều kiện \( x < 0 \) ta được:
\[ 2m – 2 < 0 \]
\[ \Leftrightarrow m < 1 \]
Vậy \( 0 < m < 1 \) để đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(d’\) cắt nhau tại một điểm nằm về phía bên trái trục tung.

Câu 3:

Cho hệ phương trình:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x + my = 3m \\
mx – y = m^2 – 2
\end{array}
\right.
\]
a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \), ta có hệ sau:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 3 \\
x – y = -1
\end{array}
\right.
\]
Cộng vế với vế của hai phương trình, ta được \( 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \).
Thay \( x = 1 \) vào một trong hai phương trình, ta được \( y = 2 \).
Vậy nghiệm của hệ là \( (x, y) = (1, 2) \).

b) Để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất \((x, y)\) thỏa mãn \( x^2 – 2x – y < 1 \), điều kiện là định thức của hệ không bằng 0:
\[
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & m \\
m & -1
\end{vmatrix}
= -1(1) – m(m) \neq 0
\]
Điều này xảy ra khi \( m \neq 1 \) và \( m \neq -1 \).

Câu 4:

a) GọiOlà tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC. VìDvàElà tiếp điểm củaABvới đường tròn ngoại tiếp nênODvà OElà các bán kính của đường tròn và do đóOD=OE. VìOBcũng là bán kính của đường tròn, suy raOcách đềuB,D, vàE, điều này chứng minhB,D,Ecùng thuộc đường tròn tâmO.

b) GọiFlà điểm chính giữa cung nhỏBCcủa đường tròn ngoại tiếp. Đường kínhCFtạo ra góc vuông tạiAtheo tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Tiếp tuyến tạiAcắt đường tròn tại PvàQ. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau,AP=AQ.

c) Vì AP=AQvàAOlà đường trung trực củaPQ, suy ra tam giácBOPcân tạiO. Do đó,∠BOPlà góc vuông vì nó chắn nửa đường tròn đường kínhBP.

d) AFcắtBCtạiMvà BDlà tiếp tuyến của đường tròn, suy raBDlà phân giác của gócABCdo đó BDcũng là phân giác của góc ABM. VìBDvàFMlà phân giác của cùng một góc, chúng trùng nhau, suy raBDđi qua trung điểmMcủaBC.

Câu 5:

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\[
\begin{align*}
(1^2 + 1^2 + 1^2) \left(\dfrac{3}{b + c – a} + \dfrac{4}{c + a – b} + \dfrac{5}{a + b – c}\right) &\ge (1 + 1 + 1)^2\\
\Leftrightarrow 3 \left(\dfrac{3}{b + c – a} + \dfrac{4}{c + a – b} + \dfrac{5}{a + b – c}\right) &\ge 9\\
\Leftrightarrow P &\ge 3
\end{align*}
\]
Dấu “=” xảy ra khi
\[
\frac{1}{b+c-a} = \frac{1}{c+a-b} = \frac{1}{a+b-c}
\]
Từ điều kiện
\[
\frac{1}{b+c-a} = \frac{1}{c+a-b}
\]
ta có:
\[ b + c – a = c + a – b \Leftrightarrow 2a = 2b \Leftrightarrow a = b. \]
Tương tự, từ điều kiện
\[
\frac{1}{b+c-a} = \frac{1}{a+b-c}
\]
ta có:
\[ a + b – c = b + c – a \Leftrightarrow 2c = 2a \Leftrightarrow c = a. \]
Do đó, a = b = c.
Bước 3: Thay a = b = c vào bất đẳng thức \(2c + b = abc\), ta được:
\[
2c + c = c^3 \Leftrightarrow c^3 – 3c = 0 \Leftrightarrow c(c – 1)(c + 1) = 0
\]
Vậy c = 0 hoặc c = 1 hoặc c = -1.
Bước 4: Trường hợp c = 0 không thoả mãn vì tam giác không thể có cạnh bằng 0.
Với c = 1, ta có a = b = 1.
Với c = -1, ta có a = b = -1.
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của P là \( P = 3 \) khi \( a = b = c = 1 \) hoặc \( a = b = c = -1 \).