Đạo hàm cấp hai - Khái niệm, ý nghĩa và công thức tính

Đạo hàm cấp hai là một khái niệm quan trọng trong chương trình Giải tích 11, đóng vai trò nền tảng cho nhiều chủ đề khác như điểm uốn, ứng dụng trong vật lý và kinh tế. Bên cạnh đó, bài viết cũng sẽ cung cấp cho bạn các ví dụ minh họa cụ thể để giúp bạn dễ dàng hiểu và áp dụng.

Định nghĩa đạo hàm cấp 2

• Đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) tại điểm x0​ là đạo hàm của đạo hàm cấp một của hàm số f(x) tại điểm x0​, ký hiệu là f′′(x0​) hoặc y′′.
• Nếu f′(x) có đạo hàm thì đạo hàm của f′(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x).

Đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của đạo hàm cấp một, trong khi đạo hàm cấp một xét sự thay đổi của hàm số gốc với các điểm thuộc hàm số đó thì đạo hàm cấp hai xét sự thay đổi của đường tiếp tuyến tạo ra bởi đạo hàm cấp một. Do đó, mục đích của hai loại đạo hàm này là khác nhau:

Đối với đạo hàm cấp một: kết quả của đạo hàm cấp 1 tại một điểm x có giá trị dương nói lên rằng hàm số gốc tỉ lệ thuận với điểm x, tức x tăng thì hàm số gốc tăng và ngược lại, nếu kết quả có giá trị âm thì nói lên rằng hàm số gốc tỉ lệ nghịch với điểm x, tức là x tăng hàm số gốc sẽ giảm và ngược lại… tóm lại là hướng của đường tiếp tuyến trên hàm số gốc.

Đối với đạo hàm cấp hai: kết quả của đạo hàm cấp 2 tại một điểm x là dương cho chúng ta biết độ dốc của đường tiếp tuyến đang tăng và ngược lại, giá trị âm cho biết độ dốc đường tiếp tuyến đang giảm – tóm lại là giá trị của đường tiếp tuyến đang tăng hay giảm.

Công thức tính đạo hàm cấp 2

Ý nghĩa toán học của đạo hàm cấp hai

Tính biến thiên

• Đạo hàm cấp hai cho biết tốc độ biến thiên của tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.
• Cụ thể:
  • Nếu f′′(x0​)>0 thì hàm số f(x) lồi lên tại điểm x0​.
  • Nếu f′′(x0​)<0 thì hàm số f(x) lõm xuống tại điểm x0​.
  • Nếu f′′(x0​)=0 thì cần xét thêm các điều kiện khác để xác định tính biến thiên của hàm số tại điểm x0​.

Điểm uốn

• Điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) là điểm mà tại đó đường cong đổi từ lồi sang lõm và ngược lại.
• Đạo hàm cấp hai giúp ta tìm được các điểm uốn của đồ thị hàm số.

Ứng dụng trong kinh tế

• Trong kinh tế, đạo hàm cấp hai được sử dụng để tính tốc độ tăng trưởng của một nền kinh tế.
• Tốc độ tăng trưởng của GDP tại thời điểm t được tính bằng công thức:

g′(t)=f(t)f′′(t)​

• Trong đó
  • g′(t) là tốc độ tăng trưởng của GDP tại thời điểm t.
  • f(t) là GDP của nền kinh tế tại thời điểm t.

Ví dụ

• Cho hàm số \(f(x)=x^3−3x^2+2x−1\)
• Đạo hàm cấp hai của f(x) là \(f′′(x)=6(x−1)\).
• Dựa vào đạo hàm cấp hai, ta có thể kết luận:
  • Hàm số f(x) lồi lên khi x>1.
  • Hàm số f(x) lõm xuống khi x<1.
  • Điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) là điểm (1,−2).

Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết cho bài đạo hàm cấp hai

Bài tập 1: Cho hàm số \(f(x)=x3−2×2+x−1\).

a) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x).

b) Xác định các khoảng mà đồ thị hàm số f(x) lồi lên, lõm xuống.

c) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số f(x).

Lời giải:

a) Đạo hàm cấp một của hàm số f(x) là \(f′(x)=3×2−4x+1\).

Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) là \(f′′(x)=6x−4\).

b)Xét bất phương trình \(f′′(x)>0⇔6x−4>0⇔x>32\)​.

Vậy đồ thị hàm số f(x) lồi lên trên khoảng (32​,+∞).

Xét bất phương trình f′′(x)<0⇔6x−4<0⇔x<32​.

Vậy đồ thị hàm số f(x) lõm xuống trên khoảng (−∞,32​).

c) Điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) là điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình f′′(x)=0.

Suy ra, hoành độ điểm uốn là x=32​.

Tọa độ điểm uốn là (32​,f(32​))=(32​,−275​).

Bài tập 2: Một vật chuyển động với vận tốc v(t)=t3−3t2+2t+1 m/s.

a) Tính gia tốc của vật tại thời điểm t=2 giây.

b) Xác định các khoảng thời gian mà vật chuyển động nhanh dần, chậm dần.

Lời giải:

a) Gia tốc của vật tại thời điểm t được tính bằng công thức a(t)=v′′(t).

Ta có: v′′(t)=6t−6.

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t=2 giây là a(2)=6⋅2−6=6 m/s$^2$.

b)

Xét bất phương trình \(v′′(t)>0⇔6t−6>0⇔t>1\).

Vậy vật chuyển động nhanh dần trên khoảng (1,+∞).

Xét bất phương trình \(v′′(t)<0⇔6t−6<0⇔t<1\).

Vậy vật chuyển động chậm dần trên khoảng (−∞,1).

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ về đạo hàm cấp hai. Bên cạnh bài viết này, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu và bài giảng khác để củng cố kiến thức. Chúc bạn học tập hiệu quả và đạt được kết quả cao trong học tập!