Trong không gian, công thức mặt cầu và khối cầu là những hình học quan trọng với nhiều ứng dụng trong thực tế. Từ việc chế tạo các vật thể hình cầu như quả bóng, bóng đèn, đến việc tính toán thể tích của các vật thể hình cầu như Trái Đất, … mặt cầu và khối cầu luôn đóng vai trò quan trọng trong đời sống con người.”
Bài viết này sẽ đi sâu vào tìm hiểu về khái niệm, tính chất, phương trình và ứng dụng của mặt cầu và khối cầu.
Phương trình mặt cầu với tâm O(a; b; c) và bán kính R là:
\((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2\)
trong đó:
(a, b, c) là tọa độ của tâm O.
R là bán kính mặt cầu.
Diện tích mặt cầu \(S = 4πR^2\)
Thể tích khối cầu \(V = (4/3)πR^3\)
Ví dụ
Mặt cầu tâm O(1; 2; 3) và bán kính R = 5 có phương trình:
\((x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 25\)
Diện tích mặt cầu này là:
\(S = 4π * 5² = 100π\)
Thể tích khối cầu này là:
\(V = 4/3π * 5³ = 500π/3\)
Lưu ý
Phương trình mặt cầu có thể được viết dưới dạng khác, ví dụ:
\((x² + y² + z²) – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0\)
Công thức diện tích và thể tích mặt cầu chỉ áp dụng cho mặt cầu có bán kính dương.
Bài 1:Cho mặt cầu (S) tâm O(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
a) Viết phương trình mặt cầu (S).
b) Tìm tọa độ điểm M trên mặt cầu (S) sao cho OM vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
c) Tìm diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S).
Lời giải:
a) Phương trình mặt cầu (S):
\((x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 5²\)
b) Tìm tọa độ điểm M:
Gọi M(a; b; c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho OM vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
Ta có: \(OM = \sqrt{(a – 1)² + (b – 2)² + (c – 3)²} = 5\)
Do OM vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên OM vuông góc với Ox, Oy, Oz.
Do OM vuông góc với Ox, ta có: a – 1 = 0 => a = 1.
Do OM vuông góc với Oy, ta có: b – 2 = 0 => b = 2.
Do OM vuông góc với Oz, ta có: c – 3 = 0 => c = 3.
Vậy, tọa độ điểm M là M(1; 2; 3).
c) Diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu:
Diện tích mặt cầu (S):
\(S = 4πR² = 4π * 5² = 100π\)
Thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S):
\(V = 4/3πR³ = 4/3π * 5³ = 500\frac{5}{3}\)
Bài 2:Cho mặt cầu (S) có phương trình:
\((x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 16\)a) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
b) Tìm giao điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy).
c) Tính diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S).
Lời giải:
a) Tâm và bán kính:
Mặt cầu (S) có tâm O(2; -1; 3) và bán kính R = 4.
b) Giao điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy):
Thay z = 0 vào phương trình mặt cầu (S), ta được:
\((x – 2)² + (y + 1)² = 16\)Đây là phương trình của đường tròn tâm O(2; -1) bán kính R = 4.
Vậy, mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) tại hai điểm A(0; -2; 0) và B(4; -2; 0).
c) Diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu:
Diện tích mặt cầu (S):
\(S = 4πR² = 4π * 4² = 64π\)
Thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S):
\(V = \frac{4}{3}πR³ = \frac{4}{3}π * 4³ = 256\frac{π}{3}\)
Bài 1:Cho mặt cầu (S) tâm O(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
a) Tìm phương trình mặt cầu (S).
b) Tìm tọa độ điểm M trên mặt cầu (S) sao cho OM vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
c) Tìm diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S).
Bài 2:Cho mặt cầu (S) có phương trình:
\((x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 16\)
a) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
b) Tìm giao điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy).
c) Tính diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S).
Bài 3:Cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có phương trình:
(S1): \((x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 9\)
(S2): \((x + 2)² + (y – 1)² + (z + 4)² = 16\)
a) Tìm tâm và bán kính của mỗi mặt cầu.
b) Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu (S1) và (S2).
Bài 4:Cho mặt cầu (S) tâm O(a; b; c) và bán kính R.
a) Chứng minh rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho OM = 2R là một mặt cầu.
b) Tìm phương trình mặt cầu (S’) có tâm O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ và bán kính R’.
Mặt cầu và khối cầu là những hình học kỳ diệu với nhiều tính chất đặc biệt. Việc tìm hiểu về mặt cầu, khối cầu giúp chúng ta hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh và ứng dụng kiến thức vào thực tiễn.
Address: 148/9 Ung Văn Khiêm, Phường 25, Bình Thạnh, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam
Phone: 0988584696
E-Mail: contact@toanhoc.edu.vn