Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, với sự xuất hiện của số i, một trong những ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, đã dẫn đến việc định nghĩa số phức dạng z= a + bi, trong đó a, b là các số thực.



“Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng” nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh , góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê, yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh. Đối tượng áp dụng: học sinh 12.


I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khái niệm số phức
Một số phức là một biểu thức dạng a+bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i2=-1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z=a+bi.
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z=a+bi
Tập hợp các số phức được ký hiệu là C.
Chú ý: Số phức z= a+ 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0i =a thuộc R C
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):
z= 0+ bi = bi (b); i= 0 + 1i= 1i
Số 0= 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Định nghĩa 2:
Hai số phức z= a+ bi (a, ), z’= a’+ b’i (a’,b’ ) gọi là bằng nhau nếu a=a’, b= b’ Khi đó ta viết z= z’.
2. Biểu diễn hình học số phức
Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số. Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z= a+ bi (a,b ) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a;b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn số phức là z= a+ bi. Ta còn viết M(a+bi) hay M(z).
Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức.
3. Phép cộng và phép trừ số phức
a) Tổng của hai số phức
Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức z= a+ bi, z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’ ) là số phức z+ z’ = a+ a’ + (b+b’)i
b) Tính chất của phép cộng số phức
Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng các số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép cộng các số thực.
  • Tính chất kết hợp: (z+ z’) + z”=z+ (z’+ z”) với mọi z, z’, z” 
  • Tính chất giao hoán: z+ z’=z’+z với mọi z,z’ 
  • Cộng với 0: z+ 0 = 0+ z = z với mọi z 
  • Với mỗi số phức z= a+ bi (a,b ) nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z+ (-z) = (-z) +z =0
Số -z được gọi là số đối của số phức z.
c) Phép trừ hai số phức
Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’, tức là z-z’=z+(-z’). Nếu z= a+ bi, z’=a’+b’i (a,b,a’,b’ ) thì z-z’ = a-a’ + (b-b’)i
4. Phép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
Định nghĩa 5: Tích của hai số phức z= a+ bi và z’= a’+ b’i (a,b,a’,b’ ) là số phức zz’= aa’ – bb’+(ab’+a’b)i
b) Tính chất của phép nhân số phức
  • Tính chất giao hoán: zz’=z’z với mọi z,z’ 
  • Tính chất kết hợp: (zz’)z”= z(z’z”) với mọi z,z’,z” 
  • Nhân với 1: 1.z = z.1 với mọi z 
  • Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
z(z’+z”) = zz’+zz” với mọi z,z’,z” 
5. Số phức liên hợp và môđun của số phức
a) Số phức liên hợp
Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của z= a+ bi (a, ) là a-bi và được ký hiệu bởi 
Như vậy: 
Rõ ràng: = z nên người ta còn nói  và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp). Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục Ox.
b) Mô đun của số phức
Định nghĩa 7: Mô đun của số phức z=a+bi (a, ) là số thực không âm  và được ký hiệu là 
Như vậy: Nếu z= a+bi (a, ) thì 
6. Phép chia cho số phức khác 0
Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số  Thương  của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là  Như vậy: Nếu  thì 
7. Căn bậc hai của số phức
Định nghĩa: Cho số phức w, mỗi số phức z thỏa mãn  được gọi là một căn bậc hai của w.
8. Phương trình bậc hai.
Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai  Trong đó A,B,C là những số phức, () đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau). Việc giải phương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực. Cụ thể là:
Xét biệt thức: 
          Nếu  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:  trong đó  là một căn bậc hai của 
          Nếu  thì phương trình (1) có nghiệm kép: 
9. Dạng lượng giác của số phức
Định nghĩa 1: Cho số phức . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgument của z
Định nghĩa 2: Dạng  trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức . Còn dạng z=a+ bi () được gọi là dạng đại số của số phức z.
10. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lý: Nếu thì
zz’= rr (Khi r>0)
11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng
a) Công thức Moavro
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra với mọi số nguyên dương n.
  khi r=1 ta có: 
b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.
Từ công thức Moavro dễ thấy số phức  trong đó r>0 có hai căn bậc hai là: và –
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC
1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức
Thí dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho  là một số thuần ảo.
Giải: Đặt z= x+ yi (x, ), khi đó:
u là số thuần ảo khi và chỉ khi 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính  trừ điểm (0;1).
Thí dụ 2 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình
3x-y-1=0.
Thí dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:\
            a) 
            b) 
            c) 
Giải:
a)      Đặt z= x+ yi (x,y )
Ta có: 
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính 
b)      Đặt z= x+ yi (x,y )
Ta có 
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x+ 8y= 25
c)      Đặt z=x+yi (x,y )
Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và elip (2) và tung độ các điểm nằm trên elio luôn thỏa mãn điều kiện . Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình 
Thí dụ 4 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức  biết rằng số phức z thỏa mãn 
Giải:
Gọi z=  a+ bi (a, b ), w= x+ yi (x, y )
Ta có
 
Từ đó  do (1)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn  có tâm I bán kính R=4.
Thí dụ 5Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho số  có acgumen bằng
Giải:
Gọi z= x+ yi (x,y )
ta có 
Vì số phức  có acgumen bằng  nên ta có:
Từ đó suy ra y>0 (1) và 
Từ (1) và (2) ta có tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm nằm trên trục thực.
Thí dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y 
Từ  ta có 
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R=2.
Thí dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y )
Ta có:
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình 
2. Tính mô đun của số phức
Thí dụ 8 Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn  và  Tính mô đun 
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y )
Suy ra 
Ta lại có: 
Suy ra 
Khi đó: 
Chú ý: Học sinh có thể đặt z1; z2 dạng đại số để tính.
Thí dụ 9 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình  Tính giá trị biểu thức 
Giải:
Ta có
Vậy 
Thí dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn Tính 
Giải:
Với  ta có 
Với  ta có 
Thí dụ 11 Cho số phức z thỏa mãn Tìm Mô dun của số phức 
Giải:
Ta có  
Do đó  Suy ra 
Vậy 
Thí dụ 12: Tính mô đun của số phức z biết rằng:
Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b)
Ta có
Suy ra mô đun: 
Thí dụ 13: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện: Tính  biết 
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y )
Đặt 
Từ 
Vậy 
Thí dụ 14: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y ) thì
Từ (1) ta có: 
Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i
Thí dụ 15Biết rằng số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải:
 Đặt z= x+ yi (x,y ) ta có
Ta có: 
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất  Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.
Thí dụ 16Biết rằng số phức z thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 
Giải:
Gọi z= x+ yi (x,y ) ta có
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính 
M là điểm biểu diễn của z thì  nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất,  lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất.
Tìm được Min  khi 
và Max  khi 
Thí dụ 17:Cho ba số phức  đều có mô dun bằng 1. Chứng minh rằng: 
Giải:
 Vì 
Nên 
Suy ra
Thí dụ 18Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãnthì 
Giải:
Đặt 
Ta có:
 
Ta được  vì >0 nên 
3. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước
Thí dụ 19: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện:
 và là một số thuần ảo.
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y )
Theo bài ra ta có
Số phức 
w là một số ảo khi và chỉ khi 
Vậy 
Thí dụ 20: Tìm tất cả các số phức z biết 
Giải:
 Gọi z= a+ bi (a,b ) ta có:
Vậy z=0; 
Thí dụ 21: Tìm số phức z biết 
Giải:
 Gọi z= a+ bi (a,b ) ta có: 
                                               
Vậy z= 2-i
Thí dụ 22: Tìm phần ảo của số phức z biết 
Giải:
 
Suy ra 
Phần ảo của số phức 
Thí dụ 23: Tìm số phức z thỏa mãn và z2 là số thuần ảo.
Giải:
 Gọi z= a+ bi (a,b ) Ta có  và 
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 
Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
Thí dụ 24: TÌm số phức z biết 
Giải:
 Gọi z= a+ bi (a,b ) và  ta có
Vậy  hoặc 
Thí dụ 25Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
Giải:
 
Suy ra 
Vậy số phức có phần thực là 2 và phần ảo là 2.
Thí dụ 26: Tìm số phức z thỏa mãn và  có một acgumen là 
Giải:
 
Giả sử 
Khi đó 
Theo giả thiết 
Suy ra 
Khi đó 
Vậy 
Thí dụ 27Tìm số phức z thỏa mãn và là số thực
Giải:
 Giả sử z= x+ yi (x,y )
Khi đó:
Từ (1) và (2) ta có x=1; y=0 hoặc x=-1; y=2
Vậy z=1; z=-1+ 2i
Thí dụ 28 Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau:
Giải:
Vậy phần thực là  và phần ảo là 
4. Giải phương trình trong tập hợp số phức
Thí dụ 29Giải phương trình  biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực.
Giải:
 Gọi nghiệm thực là z0 ta có:
Khi đó ta có phương trình 
Tìm được các nghiệm của phương trình là z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i
Thí dụ 30 Giải phương trình biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
Giải:
Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b
Thay vào phương trình ta được:
Phương trình có thể phân tích thành 
Các nghiệm của phương trình là z= -3i; 
Thí dụ 31: Giải phương trình trên tập hợp số phức: 
Giải:
Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2
Phương trình đã cho tương đương với 
Giải ra ta được bốn nghiệm: 
5. Dạng lượng giác của số phức
Thí dụ 32: Viết dưới dạng lượng giác của số phức z sao cho và một acgument của là 
Giải:
 thì
vì 
nên 
do đó 
vậy 
Thí dụ 33: Tìm số phức z sao cho  và z+1 có một acgument là 
Giải:
 
z+1 có một acgument là  tức là:
ta có:
Thí dụ 34: Cho số phức  Tìm moodun, acgument và viết z dưới dạng lượng giác.
Giải:
Ta có:
Gọi  là một acgument của z thì 
Suy ra 
Vì phần thực , phần ảo  nên ta chọn một acgument là 
Vậy 
Thí dụ 35: Tìm một acgument của số phức biết một acgument của z bằng 
Giải:
 z có một acgument bằng nên 
Do đó 
Khi  một acgument của là 
Khi  một acgument của là 
Khi thì =0 nên acgument không xác định.
Thí dụ 36: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết và i có một acgument là 
Giải:
 Đặt 
Khi đó
Theo giả thiết thì 
Khi đó:
Vậy 
III– ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN
1 .CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
Thí dụ37: Chứng minh rằng 
Giải:
Đặt 
Ta có:  hay 
Vì  nên =0 do  nên chia hai vế cho  ta được
Ta để ý rằng  từ đẳng thức trên ta có: 
Do x>0 nên 
Thí dụ 38: Chứng minh công thức:
Giải:
 Áp dụng công thwcsMoiver ta có:
Khai triển nhị thức:
Đồng nhất phần thực, phần ảo và rút gọn ta được (1)
Công thức (2) chứng minh tương tự.
Thí dụ 39: Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Giải:
 Các đẳng thức trên ngoài cách chứng minh bằng lượng giác (Nhân vế trái với ) còn có thể dùng số phức để giải.
a)      Đặt  hay 
Mặt khác
 
Vì  nên  và 
Suy ra
 
Do đó: 
b)      Xét phương trình  Dễ thấy các nghiệm của phương trình là các căn bậc 7 của số -1. Tập nghiệm của phương trình là:
Mặt khác:  
Nên tổng phần thực của nó bằng 0
Do đó:
Thí dụ 40: Cho a, b, c là các số thực sao cho:
 Chứng minh rằng: 
Giải:
 Đặt
Ta có x+ y + z=0
Do đó: xy + yz +zx=0
Suy ra:
Từ đó ta có:
Thí dụ 41: Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Giải:
 Đặt vế trái của (1) là S1, của (2) là S2
Xét khai triển:
Do
Khi đó 
và 
Từ (3) và (4) ta có:
Thí dụ 42: Chứng minh rằng:
Giải:
Đạo hàm hai vế theo x:
Cho x=i:
Thí dụ 43: Chứng minh rằng các bất đẳng thức:
a) 
b) 
Giải:
a)      Đặt
Ta có:
  Và 
Do  nên ta có điều phải chứng minh.
b)      Đặt
Làm tương tự như phần a) ta có điều phải chứng minh.
Thí dụ 44: Chứng minh rằng nếu thì 
Giải:
 Giả sử  thì 
Ta có: 
đpcm
vậy ta có điều phải chứng minh.
Thí dụ 45: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện CMR: 
Giải:
 Ta có với hai số phức  bất kỳ ta có :
Ta có : 
Đặt  ta có 
Vậy ta có điều phải chứng mình.
2. Tính tổng
Thí dụ 46: Tính tổng
Giải:
 Đặt 
Ta có: 
Do đó:
Mặt khác:
Vậy:
Thí dụ 47: Tính tổng (Với n= 4k+1)
a)
b) 
Giải:
Mặt khác: 
Từ đó:
 
Thí dụ 48: Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có 
Xét: 
Ta có:
Khi đó:
3. Số phức trong việc giải hệ phương trình, phương trình
Thí dụ 49: Giải hệ phương trình: 
Giải:
Điều kiện x>0, y>0
Đặt  hệ phương trình trở thành 
Do  là bình phương modul số phức z= u+ iv nên nhân phương trình thứ hai với i rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được phương trình :
Vì  nên phương trình (1) được viết dưới dạng 
Suy ra 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
Thí dụ 50: Giải hệ phương trình:
Giải :
Xét số phức
Ta tìm được 3 giá trị của z là :
 
Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x, y) là :
Thí dụ 51: Giải hệ phương trình
Giải :
Điều kiện 
Đặt 
Từ hệ phương trình ta có
Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) là (2, -3) và (5, 2)
Thí dụ 52: Giải hệ phương trình
Giải :
Điều kiện x> 0, y> 0
Đặt ta có hệ phương trình 
Đặt 
Từ hệ phương trình ta có
Do u, v > 0 nên 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là 
Thí dụ 53: Giải phương trình 
Giải :
 Phương trình này có thể giải bằng cách nhân hai vế với 2sinx Ngoài ra có thể áp dụng với số phức 
Ta có  và 
Phương trình có dạng :
Nếu  thì 
Nếu  thì 
Do  nên phương trình có nghiệm là
Đánh giá bài viết