I. Số phức – các công
thức cơ bản
:
1)      Định nghĩa và các
phép tính cơ bản
:
·    
Số
ảo i là số thoả: .
·    
Số
phức z có dạng:  trong đó a
được gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo.

Cho 2 số phức
 . Khi đó:
·    
·    
·    
.
·    
(Các phép toán với số
phức vẫn thực hiện y như với số
thực, chỉ cần nhớ thêm ).
·    
Với
số phức  thì đại lượng
gọi là môđun của số phức z. Ký hiệu .  Ý nghĩa
của  sẽ được
làm rõ trong các phần tiếp theo.
·    
Số
phức  gọi là số
phức liên hợp của z và được ký hiệu . Ta có: .
2)      Công thức De – Moivre:
Có thể nói công thức
De – Moivre là một trong những công thức thú vị và là
nền tảng cho một loạt công thức quan trọng
khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số
phức, công thức Euler. Chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu
chuỗi công thức kỳ diệu này .
Trước hết ta có:
Công thức 1:
Thật vậy:
Nếu  thì hoàn toàn
chẳng có gì mới cả, nhưng ở đây  nên ta sẽ thu được:
Bây giờ nếu áp
dụng công thức 1 cho trường hợp đặc
biệt y=x thì ta sẽ được:
tiếp tục là:
Bằng phép quy nạp ta
sẽ thu được công thức 2.
Công thức 2 (Công
thức De – Moivre):
Từ những phép tính
không mấy phức tạp ta đã thu được 1 công
thức rất hay
J.
Bây giờ
ta sẽ tìm hiểu các ứng dụng của công thức
này.
II.    Các ứng dụng
của công thức De – Moivre:
1)      Tính – rút gọn các
tổng lượng giác
:
Các bạn học lượng
giác chắc đã từng phải rút gọn các tổng sau:
Dùng công thức De – Moivre
ta có thể tính khá dễ dàng A, B và hơn nữa là tính đồng
thời cả A, B. Thật vậy:
Ta áp dụng công thức
nhân 2 để rút gọn VP:
So sánh phần thực và phần ảo 2
vế ta thu được kết quả :
Vậy ta đã rút
gọn được các tổng A, B. Tuy nhiên có 1 lưu ý
nhỏ là với  thì dễ dàng tính
trực tiếp A, B mà không cần dùng đến công
thức De – Moivre (và thật sự không thể dùng công
thức De – Moivre, vì sao?).
Ngoài ra các bạn cũng
có thể rút gọn phân số
bằng công thức De – Moivre,
phần này dành cho các bạn xem như bài tập .
2)      Luỹ thừa – Khai
căn số phức
:
·        
Luỹ
thừa:
VD: tính .
Ta có:
nên
Như vậy để
áp dụng công thức De – Moivre cho luỹ thừa số
phức, ta chỉ cần chuyển 1 số phức bất
kỳ thành dạng lượng giác, và điều này luôn có
thể làm được! Thật vậy, với số
phức ta có:
 
với  và góc  được
gọi là argument của z, ký hiệu là .
Ngược với phép
luỹ thừa ta có phép khai căn.
·        
Khai
căn 1 số phức: Giả sử t là căn
bậc n của số phức
Ta có :
Do đó:
(Tại sao ta
chỉ lấy  ?)
Vậy 1 số
phức có đúng n căn bậc n.
Về các căn
bậc n của số 1 có nhiều điều khá thú
vị, ở đây xin nêu 1 phối hợp giữa chúng
với định lý Viet để tính tổng, cụ
thể ta sẽ tính tổng sau đây:
Trước hết
ta có nhận xét hữu ích sau:
Nhận xét:
Nếu t là căn
bậc n của 1 và  thì t là nghiệm
của phương trình
.
Thật vậy:
Với 2n căn
bậc 2n+1 của số 1 là:
ta
có thể áp dụng nhận xét trên và suy ra 2n số phức
này là 2n nghiệm phân biệt (?) của phương trình :
do
đó theo định lý Viet thì:
đồng
nhất phần thực 2 vế ta được:
Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về ý
nghĩa hình học của số phức và của công
thức De – Moivre.
III. Ý nghĩa hình học
của số phức:
Trước hết ta có
thể coi 1 số phức như là 1 điểm  hay
.
Nếu ta xem mỗi
số thực k như là một ‘lệnh’, tức là  là ‘lệnh’
biến vectơ  thành 1 vectơ
mới cùng phương với  và có độ
dài gấp  lần độ
dài của , thì ta sẽ thấy là các số thực chưa
đủ để biểu diễn hết các
‘lệnh’(tức các phép biến hình), vì các số thực
chỉ ứng với các ‘lệnh‘ (PBH) cùng phương, còn
các ‘lệnh’  khác như phép
quay, phép đồng dạng, phép đối xứng thì sao?
Rõ ràng là để biểu diễn các PBH này ta cần thêm
những số mới, nằm ngoài tập số thực,
và câu trả lời thật bất ngờ, các số
phức chính là biểu diễn của phép quay, phép đồng
dạng
.
Thật vậy ta xét
lại phép nhân 1 vectơ  trong mặt
phẳng phức với số phức . Ta có:
nếu các bạn nhớ
lại công thức toạ độ của phép quay (mà tôi đã
có dịp trình bày) thì đây chính là phép quay với góc .
Vậy số phức  có thể đồng
nhất với phép quay góc . Đặc biệt số ảo i chính là phép
quay góc  vì: . Với cách nhìn mới này thì đẳng
thức  trở nên hoàn
toàn hợp lý, vì chính là  thực
hiện liên tiếp 2 phép quay góc 
 nên kết
quả sẽ là phép quay góc 1800, tức là bằng
–1.
Và cũng với cách
giải thích này công thức 1 (hay công thức De –
Moivre
) cũng có ý nghĩa hh rất rõ ràng đó là: tích
của 2 phép quay góc x và góc y chính là phép quay với
góc x+y.
Tổng quát
thì số phức  sẽ biểu
diễn 1 phép đồng dạng gồm phép quay với góc  và phép vị
tự với tỉ lệ r. Cm chi tiết của điều
này dành cho các bạn.
Sau đây xin chuyển
sang 1 công thức kỳ diệu khác mang tên nhà toán học đại Euler, công thức này sẽ
cho ta thấy hoá ra các hàm lượng giác và hàm mũ có ‘bà
con’ rất gần với nhau.
IV. Công thức Euler:
Tại sao
Euler lại có thể nghĩ ra 1 công thức táo bạo như
thế?
Điều
này có thể lý giải nhờ vào sự tương tự
giữa công thức De – Moivre với tính chất của hàm . Ta nhớ lại hàm  có tính chất sau
đây:
.
Và nếu ta xét hàm  thì do công thức
De – Moivre hàm  cũng có tính
chất y như hàm , i.e: .
Điểm
giống nhau cơ bản này có lẽ là cơ sở để
Euler đề ra công thức tuyệt vời của mình.
Dĩ nhiên để cm
chặt chẽ công thức này còn phải dùng đến
công cụ khá mạnh đó là khai triển Taylor của các hàm . Ở đây chúng ta chấp nhận các công
thức khai triển này, cụ thể ta có:
Áp dụng
các công thức khai triển này ta sẽ cm được
công thức Euler, chi tiết dành cho các bạn.
Cuối cùng
xin nêu ra cách giải bằng số phức của một
bài toán hình học khá thú vị trên Berkeley Math Circle (BMC).
V.    Một bài toán hình thú
vị trên BMC:
Bài toán: Cho đa giác đều
n-cạnh  nội tiếp
trong đường tròn  và 1 điểm M
di động trên đường tròn này. Đặt
.
Với những giá
trị nào của số tự nhiên k thì  không phụ
thuộc vị trí của M trên đường tròn ?
Nếu ta tấn công ngay
lập tức bài toán tổng quát này thì sẽ gặp khó
khăn, do đó ta hãy giải bài toán với những giá
trị cụ thể của n. Đầu tiên với giá
trị nhỏ nhất n=3 ta có:
Bài toán 1: cho tam giác
đều ABC nội tiếp đường tròn và điểm M di động trên
đường tròn này. Tìm các giá trị tự nhiên của
k sao cho tổng
không phụ thuộc vị
trí của M.
Phân tích:
·        

ràng k=1 không thoả (?).
·        
k=2
thoả. Có thể cm tổng  không phụ
thuộc M bằng cách dùng công thức tâm tỉ cự.
Với  việc tính tổng
 trở nên khá
phức tạp, nhất là với k lẻ thì ta không còn dùng
được công cụ vectơ (có thể các bạn tìm
được ra cách lý luận để xử lý riêng
trường hợp k lẻ) để tính tổng này.
Còn với k chẵn thì
khi k=4 ta cần tính tổng:
.
thể tính theo bằng cách dùng hằng đẳng thức
tuy nhiên tính toán cũng khá dài và do đó cách này cũng không
thể mở rộng cho các số mũ k lớn hơn.
Để giải
quyết những khó khăn nói trên, tôi đã nghĩ
đến việc chuyển sang dùng định lý hàm sin và
thật bất ngờ cách này đã cho tôi lời giải
cho trường hợp k chẵn và 1 số gợi ý
cho trường hợp k lẻ. Cụ thể như
sau:
Đặt . Do tính đối xứng nên ta có thể
giả sử , khi đó dùng định lý hàm sin ta tính được:
Không mất tính tổng
quát ta có thể cho R=1. Khi đó
bài toán trở thành:
Tìm các giá trị của k
sao cho tổng
không phụ thuộc .
Để cho tiện tôi
cũng ký hiệu  . Ta nhận thấy
xét 3 góc . Dễ kiểm chứng , do đó:
Suy ra 3 số đều là nghiệm của phương
trình
Từ đây ta có thể
dùng định lý Viet cho phương trình bậc 3 và được:
Khi đã biết các
biểu thức đối xứng cơ bản này thì ta có
thể tính được mọi tổng:
nhờ vào công thức truy
hồi  và 3 tổng
đầu tiên  .
Tuy nhiên chú ý rằng
đây chưa phải là các tổng mà ta cần tính . Do đó chỉ với những k chẵn thì , còn k lẻ thì .
Ta xét 1 số
trường hợp :
·        
k=4:
·        
k=3:
với .
Rõ ràng  phụ thuộc
vào góc .
Tuy nhiên cách giải này khi
mở rộng lên trường hợp n-giác đều thì
sẽ bị 1 số khó khăn việc tính các  sẽ trở nên
phức tạp và do đó tính  càng phức
tạp hơn. Do đó ta lại phải tìm 1 hướng
khác.
Một suy nghĩ khá
tự nhiên khi gặp các lũy thừa bậc cao của
các hàm lượng giác là tìm cách hạ bậc chúng (vd:  ).

đây ta có thể “hạ bậc” 1 lũy thừa bất
kỳ nhờ vào sự trợ giúp của số phức.
Từ ý tưởng này
tôi đã tìm được lời giải hoàn chỉnh cho
trường hợp k
chẵn, k=2l. Xin
nêu lên các ý chính của bài toán tổng quát cho n-giác
đều.
Trước hết
cũng đặt  và dùng
định lý hàm sin ta được:
Do đó tổng cần tính trở thành:
Như vậy ta chỉ
cần tính tổng
Dùng công thức nhân 2 ta
có:
Sở dĩ ta đưa
về các góc  là vì chúng có
mối “liên quan” đến các căn bậc n của
đơn vị mà ta sẽ thấy ngay sau đây. Dùng công
thức Euler và nhận xét về tính chất của các
căn bậc n của đơn vị ta có thể cm
được bổ đề quan trọng sau:
Bổ đề:
Với số tự nhiên m và góc  bất kỳ,
đặt
Khi
đó:
·        
nếu
 không là bội
số của n thì tổng  sẽ không
phụ thuộc . Chính xác hơn .
·        
Nếu m là bội số
của n thì .
Đến đây
chắc các bạn đã nhận ra được
điều cần làm, đó là liên kết tổng  với các tổng . Thật vậy dùng công thức khai triển
nhị thức cho từng số hạng của tổng ta được:
Suy ra:
Đến đây ta
chỉ cần “hạ bậc” các số hạng  là liên kết
được tổng
với tổng . Việc “hạ bậc” này được
thực hiện bằng quy nạp và dựa vào công thức
biểu diễn theo .
Tóm lại quy trình
giải bài toán tổng quát là như sau:
1.      Tìm công thức “hạ
bậc hoàn toàn” cho .
2.      Thế công thức
“hạ bậc” vào để tính các tổng (*).
3.      Cuối cùng thế
kết quả vào công thức (**) để tính
.
Ví dụ với m=4 ta có
công thức hạ bậc , thế vào ta được:
Trong đó
 khi
4 không là bội của n.
khi 2 không là bội của n.
Do đó:
.
Tương tự
với m=2:
Và với m=3:
Thế vào công thức (*)
tính được:
Tổng quát với các
số mũ m<n thì các tổng  đều là
hằng số và khi các tổng này không còn là hằng số nữa,
do đó , còn  phụ thuộc
góc , .
Như
vậy vấn đề duy nhất còn lại là cm bổ
đề.

Xin nhường để các bạn suy
nghĩ xem như 1 bài tập.
Đánh giá bài viết