Định lý 1: Nếu hàm số liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến trên K) thì phương trình  có nhiều nhất 1 nghiệm trên K
Tức là: Phương trình hoặc là vô nghiệm hoặc là có một nghiệm duy nhất trên K

Để giải phương trình dạng này ta thực hiện:
+ Chứng minh f(x) là hàm số đơn điệu để suy ra phương trình  có nhiều nhất 1 nghiệm
+ Nhẩm 1 nghiệm của phương trình và suy ra nghiệm đó là nghiệm duy nhất
Định lý 2: Nếu hàm số liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến trên K) thì phương trình  với mọi u, v thuộc K
Chẳng hạn: Giải phương trình   
Nếu ta đặt  và  (hàm số đặc trưng) thì:
* Phương trình có dạng 
*  là hàm số đồng biến
Nên   
Định lý 3: Nếu hàm số  luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số  luôn nghịch biến (hay đồng biến) và liên tục trên D thì phương trình  có không quá một nghiệm trên D
Tức là: Phương trình hoặc là vô nghiệm hoặc là có một nghiệm duy nhất trên K
Để giải phương trình dạng này ta thực hiện:
+ Chứng minh f(x) là hàm số đồng biến trên D và g(x) là hàm số nghịch biến trên D (hay ngược lại) để suy ra phương trình f(x) = g(x) có không quá một nghiệm
+ Nhẩm 1 nghiệm của phương trình và suy ra nghiệm đó là nghiệm duy nhất
Định lý 4: Nếu  là hàm đơn điệu trên (a; b) thì phương trình  có nhiều nhất 2 nghiệm trên
(a; b)
BT1: Giải phương trình 
Giải
Nhận xét: Nếu dùng phương pháp nâng lũy thừa để khử căn bậc 3 và bậc 2 thì sẽ rất phức tạp. Chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình là hàm số đồng biến nên có thể thực hiện theo cách sau:
Điều kiện: 
Xét hàm số  trên 
+ f(x) liên tục trên                                                                                         (1)
+ Hàm số  đồng biến trên                                                              (2)
(1) (2) suy ra phương trình có không quá một nghiệm                                               (3)
Mặt khác ta có x = 3 là một nghiệm của phương trình                                               (4)
Từ (3)(4) ta có x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

BT2: Giải phương trình 

Nhận xét:

+  Việc nâng lũy thừa để bỏ căn thì khó có thể thực hiện được đối với bài tập này.

 + Chuyển vế sau đó xét hàm số là vế trái của phương trình thì ta lại không chứng minh được hàm số đó đơn điệu

+ Biến đổi . Rõ ràng nếu xét hàm số đặc trưng là  thì . Công việc còn lại là chứng minh hàm số f(t) đơn điệu

Ta có lời giải như sau:

Xét hàm số  ta có 

 f(t) là hàm số đồng biến trên các khoảng , , 

Vậy: 

BT3: Giải phương trình 

Biến đổi phương trình thành  với 

Ta có:  nên f(t) là hàm số đồng biến trên R

Vậy: 

BT4: Giải phương trình 

Biến đổi phương trình thành 

 với  là hàm số đồng biến trên R

Vậy: 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình
                      HD: Sử dụng định lý 1
       HD: Sử dụng định lý 1
                      ĐS: x = 1 (Sử dụng định lý 1)
                              ĐS: x = 1 (Sử dụng định lý 1)
                         ĐS: x = -1 (Sử dụng định lý 1)
                 HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là 
                    HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là 
                            HD: Sử dụng định lý 1
                            HD: Sử dụng định lý 1
                HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là 
           HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là 
        HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là 
   HD: Sử dụng định lý 2. Phương trình có dạng                                   với hàm đặc trưng 
      HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trung là 
       HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là 
Đánh giá bài viết