Định lý 1: Nếu hàm số

liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến trên K) thì phương trình

có nhiều nhất 1 nghiệm trên K
Tức là: Phương trình hoặc là vô nghiệm hoặc là có một nghiệm duy nhất trên K
Để giải phương trình dạng này ta thực hiện:
+ Chứng minh f(x) là hàm số đơn điệu để suy ra phương trình
có nhiều nhất 1 nghiệm
+ Nhẩm 1 nghiệm của phương trình và suy ra nghiệm đó là nghiệm duy nhất
Định lý 2: Nếu hàm số

liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến trên K) thì phương trình

với mọi u, v thuộc K
Chẳng hạn: Giải phương trình
Nếu ta đặt

và

(hàm số đặc trưng) thì:
* Phương trình có dạng

*

là hàm số đồng biến
Nên

Định lý 3: Nếu hàm số

luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số

luôn nghịch biến (hay đồng biến) và liên tục trên D thì phương trình

có không quá một nghiệm trên D
Tức là: Phương trình hoặc là vô nghiệm hoặc là có một nghiệm duy nhất trên K
Để giải phương trình dạng này ta thực hiện:
+ Chứng minh f(x) là hàm số đồng biến trên D và g(x) là hàm số nghịch biến trên D (hay ngược lại) để suy ra phương trình f(x) = g(x) có không quá một nghiệm
+ Nhẩm 1 nghiệm của phương trình và suy ra nghiệm đó là nghiệm duy nhất
Định lý 4: Nếu

là hàm đơn điệu trên (a; b) thì phương trình

có nhiều nhất 2 nghiệm trên
(a; b)
BT1: Giải phương trình

Giải
Nhận xét: Nếu dùng phương pháp nâng lũy thừa để khử căn bậc 3 và bậc 2 thì sẽ rất phức tạp. Chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình là hàm số đồng biến nên có thể thực hiện theo cách sau:
Điều kiện:

Xét hàm số

trên

+ f(x) liên tục trên

(1)
+ Hàm số

đồng biến trên

(2)
(1) (2) suy ra phương trình có không quá một nghiệm (3)
Mặt khác ta có x = 3 là một nghiệm của phương trình (4)
Từ (3)(4) ta có x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
BT2: Giải phương trình

Nhận xét:
+ Việc nâng lũy thừa để bỏ căn thì khó có thể thực hiện được đối với bài tập này.
+ Chuyển vế sau đó xét hàm số là vế trái của phương trình thì ta lại không chứng minh được hàm số đó đơn điệu
+ Biến đổi

. Rõ ràng nếu xét hàm số đặc trưng là

thì

. Công việc còn lại là chứng minh hàm số f(t) đơn điệu
Ta có lời giải như sau:
Xét hàm số

ta có


f(t) là hàm số đồng biến trên các khoảng

,

,

Vậy:

BT3: Giải phương trình

Biến đổi phương trình thành

với

Ta có:

nên f(t) là hàm số đồng biến trên R
Vậy:

BT4: Giải phương trình

Biến đổi phương trình thành


với

là hàm số đồng biến trên R
Vậy:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình
HD: Sử dụng định lý 1
HD: Sử dụng định lý 1
ĐS: x = 1 (Sử dụng định lý 1)
ĐS: x = 1 (Sử dụng định lý 1)
ĐS: x = -1 (Sử dụng định lý 1)
HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là

HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là

HD: Sử dụng định lý 1
HD: Sử dụng định lý 1
HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là

HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là

HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là

HD: Sử dụng định lý 2. Phương trình có dạng

với hàm đặc trưng

HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trung là

HD: Sử dụng định lý 2. Hàm đặc trưng là
