PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
I.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1.     Phương pháp 1Đưa về cùng cơ số  : cho 
                         với 
                             
Tổng quát:            

Nếu a chứa biến : 
                   TH1 
                   TH2 phương trình nghiệm đúng mọi x làm cho biểu thức có nghĩa
Ví dụ1 : Giải các phương trình sau :
a) 22x – 4 =         b) 3x – 2 = 2               c) 0,125.42x – 3 = 
d)       e) 2x.5x – 1  .102 – x     f) 2x.3x – 1.5 x – 2 = 12
g)  = 1        h)  = 1     i) ()x – 2 = 1
j) = 1                                  k)       
2. Phương pháp 2Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Dạng 1:
LG: Đặt , ĐK 
PTTT 
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a) 2x – 4x –  1 = 1                b) 5x – 1 + 5 – x+3 = 26              c)92x – 32x – 6 = 0    
c)4x + 1 – 16x = 2log48      d)2x – 1 – 22 – x =                              e)3x + 1 + 32 – x = 28
f)  = 5                   g)8x + 18x = 2.27x                  h)
i)                                j)(7 + 4)x + 3(2 – )x + 2 = 0 k)                        l)
Dạng 2:
LG: Chia hai vế cho  ta được :
Đặt ,ĐK 
PTTT: 
Dạng 3:Phương trình chứa:thỏa mãn:
          Đặt 
                                         
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
 a) 3.4x +2.9x = 5.6x                           b)6.9x – 13.6x + 6.4x = 0   
 c)4.9x – 6x = 18.4x                             d) 5.36x = 3.16x + 2.81x          
e) 3.2 2lnx  + 4.6lnx – 4.3 2lnx = 0                                  f)3x + 1 + x – 2x + 1 = 0      
g)                            h)            
i)                          j) 5.32x – 1 – 7.3x – 1 +  = 0 
k) (3 + )x + 16(3 – )x = 2x + 3
3. Phương pháp logarit hóa:
          
          
                             Hoặc 
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
4. Phương pháp 3:  Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 …
Ví dụ : Giải  phương trình sau : 
 1)   8.3x + 3.2= 24 + 6x                                  
                             2)                  
                         3)   
                        4)     

4. Phương pháp 4:  Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng  minh nghiệm duy nhất   (thường là sử dụng công cụ  đạo hàm)
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau:
·        Tính chất 1: Nếu hàm số f đồng biến( hoặc NB ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho
      f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
·        Tính chất 2 : Nếu hàm f đồng biến trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm nghịch biến trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) .
 ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
·        Hàm số mũ cơ số a>1 đồng biến, 0<a<1 nghịch biến
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)  3x + 4x = 5x            2)  2x = 1+        3) 
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1Phương pháp 1:Đưa về cùng cơ số:
TH 1: thì     
                              , với 
TH 2:  thì
                              
Nếu b<0 bất phương trình đúng mọi x làm cho biểu thức có nghĩa
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
a)                b)             c) > 3– x)    
              e)  <
           g                       h) 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
                        1)                4) 
                         2)                               5)     
                         3)                   6)        
                         

      

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1.Phương pháp 1Phương pháp mũ hóa và Đưa về cùng cơ số  :
 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau :
1)                   2) 
3)       4) 
Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau :
1)            2) 
3)          
2. Phương pháp 2Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
 Đặt 
Ví dụ1 : Giải các phương trình sau :
1)                      2) 
3)                                    4) 
 Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau :
1)                                     2)      
3)                                    4) 
3.Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 …
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)  
2) 
3)     
4) 
4. Phương pháp 4:  Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
                                   nghiệm duy nhất.
                              (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
·        Hàm số logarit cơ số a>1 thì đồng biến, 0<a<1 thì nghịch biến
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)                              2) 
3)                 4)
         
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1Đưa về cùng cơ số  :
TH 1:       thì       
      
TH 2:  thì    
      
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau :
1)                       2) 
3)                 4) 
                                                                                             
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau :
1)                   2)                                       
3)                             4)                    
                
5) 
2. Phương pháp 2Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :
1)                           2)
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :
1)             2)   
  Bài tập Phương trình mũ
1) Giải các phương trình sau:
a)          b)            c) 9x – 2x + 1 =  2x + 2 – 32x – 1
d) = 36.32 – x
2) Giải các phương trình sau:
          1)                        4)            
          2)                         5)      
3)                6)    
7) 32x + 1 = 3x + 2 +          6)
9) (26 + 15)x + 2(7 + 4)x – 2(2 – )x = 1
3) Giải các phương trình sau
 a) 3.4x +2.9x = 5.6x            b)6.9x – 13.6x + 6.4x = 0     c)4.9x – 6x = 18.4x
          d) 5.36x = 3.16x + 2.81x           e) 3.2 2lnx  + 4.6lnx – 4.3 2lnx = 0
  f)3x + 1 + x – 2x + 1 = 0         g)   h)   
i)     j) 5.32x – 1 – 7.3x – 1 +  = 0 
k) (3 + )x + 16(3 – )x = 2x + 3
4) Giải các phương trình sau:
a)3x = 13 – 2x          b) 3x = – x + 11                c)4x – 3x = 1
       d)2x = 3x/2 + 1           e)2x = 3x – 5                     f)3x = 5x/2 + 4 
       g) 3x–1 =34 – 5x–1      h)52x = 32x + 2.5x + 2.3   i) 1 + 26x + 24x = 34x 
       h) (2 – )x + (2 + )x = 4x
5)Giải các phương trình sau:
        a) 3.4x + (3x – 10).2x  + 3 – x = 0     b) 9x + 2(x – 2).3x  + 2x – 5 = 0
 c) 25x – 2(3 –  x).5x + 2x – 7 = 0         d) x2 – (3 –2x )x + 2 – 2x +1 = 0
          e) 3.25x– 2 + (3x – 10).5x– 2  + 3 –  x  = 0    f) 2x–1 – = (x – 1)2  
 f) (4x – 1)2 + 2x + 1(4x – 1) = 8.4x
6) Tìm m để phương trình: m.2x + 2– x – 5 = 0 có 1 nghiệm duy nhất
7) Tìm m để phương trình 4x – m.2x+1 + 2m = 0 có 2 nghiệm x1,x2 
               thoả mãn  x+ x2 = 3
8)Tìm m để các phương trình sau có nghiệm :
       a) m.2x + (m + 2)2– x + m + 2 = 0           b) m.3x + m.3– x = 8 
       c) (m – 1)4x + 2(m – 3)2x + m + 3 = 0    d) (m – 4).9x – 2(m – 2).3x + m – 1 = 0
       e)                 f)
9) Tìm m để phương trình : (m + 3)4x + (2m – 1)2x + m + 1 = 0
       có 2 nghiệm trái dấu
10) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình sau được nghiệm
đúng  x £ 0 : m.2x+1 + (2m + 1)(3 – )x + (3 + )x <  0
Bài tập bất phương trình mũ
1)Giải các bất phương trình sau:
       a) £ 0             b)     c) 4x – 3.2x + 2 <0           
       d) ()x – 1 – ()x > 3                           e) 4x2 +  < 2. + 2x + 6
  f) 4x2 + x             g) > 0 
  l)  <                         m)  £ 1
  n) + 21+ x > 5     o)  £ 1
  p) ( )x – 1 – ( )x > 2log48
2) Cho bất phương trình : 4x – 1 – m(2+1) > 0
        a)Giải bất phương trình khi m = 16/9
        b)Xác định m để bất phương trình thoả mãn  x Î R
3)*.Tìm m để :
       a)m.4x + (m – 1)2x + 2 + m – 1 > 0   x     
       b)m.9x – (2m + 1)6x  – 4x < 0   Î [0;1]     
       c)4x – m2x + m + 3 < 0   có nghiệm     
       d) (m – 1).4x + 2(m – 3)2 + m + 3 < 0   có nghiệm
4)*.Cho 2 bất phương trình :
        > 12    (1)    và  2x2 + (m + 2)x + 2 – 3m <0    (2)
       Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2)
Bài tập phương trình logrit
*Các công thức logarit:
1)  loga1 = 0       logaa = 1      2)         3) logaab = b    4)     5)
6) Với A>0,B>0       loga(A.B) = logaA + logaB       loga(A/B) = logaA – logaB
7) công thức đổi cơ số : logab =    hay   logab = logac.logcb
1) Giải các phương trình sau:
a) log3= log3(x + 1)        b) lg(x2 – 6x + 7) = lg(x –3) 
c)  log2(x2 – x – 9) = log2(2x – 1)       d)   
e)                        f)log3(2x + 1)(x – 3) = 2  
g) log3(2x + 1) + log3(x – 3) = 2         h) log5(x2 – 11x + 43) = 2       
i) log5–x(x2 – 2x + 65) = 2                  j) log3[log2(log4x)] = 0        
k) log2{3 + log6[4 + log2 (2 + log3x)]} = 2
l)  log4{2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} =
m)
n) 8lgx – 3.4lgx – 6.2lgx + 8 = 0                   o) log2(25x+3 – 1) = 2 + log2(5x+3 + 1)
p) log3x + log9x + log27x = 11           q)   =         r)         s) log2x + 2log7x = 2 + log2x.log7x
t) log2(x – 1)2 +  = log2(3 – x)    u)  v)log2(3x – 1) + = 2 + log2(x + 1)
w) log27(x2 – 5x + 6)3 = log9(x – 3)2
2)Giải các phương trình sau:
a) log3x + log9x + log27x = 11
b)log8x + log64x =
c) log3x + log9x + log81x =
d) log2x + log4x = 
e) log5x + log25x = 
f) log4(x + 3) – log4(x – 1) = 2 – log48
g) lg(x + 10) + lg(2x – 1) – lg(21x – 20) = 1 – lg5
h) log5x = log5(x + 6) – log5(x + 2)
i) log4(log2x) + log2(log4x) = 2
j) log2x + log3x + log4x = log20x
3) Giải các phương trình sau:
a) (log2x)2 – 3log2x = log2x2 – 4
b)
c) 
d)
e) log2(2x + 1).log2(2x+1 + 2) = 6
4) Giải các phương trình sau:
a)               b)
b) 
c)                                    d) 
e)              f) 5lnx = 50 – xln5
g)                              h) log5x.log3x = log5x + log3x
5) Giải các phương trình sau :
a) logx[log4(2x + 6)] = 1                      b) logx[log9(2.3x + 3)] = 1
c)                    d) 
e)
f)                  g)
h)  
6) Giải các phương trình sau:
          a)    
           b)
          c)                                     d)     
          e)                             f)         
          g) 
Bài tập bất phương trình logrit
1)Giải các bất phương trình sau:
a)                 b)              c)  
d)           e)
f)                   g)  
 h) > 1   i) > 1           j) >   
 k)                     l) 
2)Cho phương trình :        
     a)Giải phương trình khi m = 2
      b)Tìm để phương trình có nghiệm xÎ
3)Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duynhất : 
a)   
b)    = 2
4)Tìm m để phương trình :  là
    hệ  quả của phương trình  :      
5) Xác định m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình :
    2log4(2x2 – x + 2m – 4m2) – log2(x2 + mx – 2m2) = 0        lớn hơn 1
6) Với giá trị nào của m thì bất phương trình   log2(x2 – 2x + m) < 3
Có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số
 y =  
 7) Tìm x để phương trình : 
       được thoả mãn với mọi a
8)Tìm y để bất phương trình sau đây được nghiệm đúng  x:
          (2 – log2)x2 – 2(1 + log2)x – 2(1 + log2) > 0
9)      a)Giải bất phương trình    > 3   (1)   a là tham số > 0; ¹ 1
          b)Tìm các giá trị của m sao cho mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của bất phương trình : 1 + log5(x2 + 1) – log5(x2 + 4x + m) > 0      (2)
10)Với giá trị nào của a thì bất phương trình
      log2a +1(2x – 1) + loga(x + 3) > 0 được thoả mãn đồng thời tại x = 1 và x = 4