MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình . Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải chúng

I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG  ĐƯƠNG.
Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ .
*Loại thứ nhất , trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại
Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình    
Giải.
            Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có :  thay vào (1) ta được
            

(loại)

 

            
Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2;)
*Loại thứ hai , Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình     
Giải .
            Điều kiện : x≥1 ; y≥0
            PT (1)( từ điều kiện ta có x+y>0)
                       thay vào PT (2) ta được :
                        
*loại thứ ba , đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham số
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình    
Giải .
            Biến đổi PT (2) về dạng 
            Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có   từ đó ta được nghiệm 
            Thay (3) vào (1) ta được : 
            Thay (4) vào (1) ta được : 
            Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , (;0)
II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng  này là phát hiện ẩn phụ có ngay trong  từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình   
Giải .
            Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên    HPT
            Đặt  giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ 
            Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình   
Giải .           Điều kiện : x +y ≠0
            HPT  
Đặt   ta được hệ 
Giải hệ ta được a=2 , b=1 (  do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ  
III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng  f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải  đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm  f  đơn điệu
* Loại thứ  nhất , một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu
Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình   
Giải .
            Từ PT (2) ta có 
            Xét hàm số    có   do đó f(t) nghịch biến trên
khoảng (-1;1) hay   PT (1) thay vào PT (2) ta được PT  : 
Đặt a=x4 ≥0  và giải phương trình ta được    
*loại thứ hai , là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2)
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình   
Giải .
            Đặt   ta được hệ  
Trừ vế với vế 2 PT ta được :   (3)
Xét hàm số  
Vì   do đó hàm số f(t) đồng biến trên R
Nên PT (3) thay vào PT (1) ta được   (4)
Theo nhận xét trên thì  nên PT (4)  ( lấy ln hai vế )
Xét hàm số  
hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0
Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là  :  x=y=1
IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Với phương pháp này,  cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình   
Giải.
            Cộng vế với vế hai PT ta được  (1)
            Ta có : 
            Tương tự  mà theo bất đẳng thức Côsi     nên  VT(1)≤VP(1)
            Dấu bằng xảy ra khi thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1)
Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình   
Giải.
            HPT 
            Nếu  x>2 từ (1) suy ra y-2<0 diều này mâu thuẫn với PT(2) có (x-2) và (y-2) cùng dấu
Tương tự với x<2 ta cũng suy ra điều vô lí . Vậy nghiệm của hệ là x=y=2
Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ .Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau