Bài 1: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
                                                    
 Lời giải: Ta có (1)          .Bất phương trình này biểu diễn hình tròn tâm I(1;0) bán kính R= trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Phương trình (2) biểu diễn một đường thẳng . Để hệ có nghiệm duy nhất thì đường thẳng       tiếp xúc với đường tròn có phương trình: 

                                            

Bài 2:Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
              
                                                 
Lời giải : Hệ trên tương đương với
                               
Với m+1 0 hay   hệ vô nghiệm.
Với m+1 > 0 hay m>-1, BĐT(3) biểu diễn hình tròn tâm I(1;1),bán kính R= 
trên mặt phẳng tọc độ Oxy..
BPT(4) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x+y=1.Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng x+y=1 tiếp xúc với đường tròn
                                                
khi đó 
Bài 3: Tìm a để hệ sau có nghiệm:
                                                     
Lời giải: Nếu a  hệ vô nghiệm.
Nếu a> 0 thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mặt phẳng biểu diễn bởi 4x-3y+2 0 và đường tròn tâm 0 (0;0) bán kính R= .Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi           (với H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống đường thẳng 4x-3y+2= 0)
Bài 4: Cho hệ:                                        
                        
Xác định m để hệ nghiệm đúng với mọi x.
Lời giải: Tập hợp các điểm (x;y) thỏa mãn (5) là các điểm nằm trong và trên đường tròn            với tâm I(1;1) bán kính  .Tập hợp các điểm 9x;y) thỏa mãn (6) là các điểm nằm trên đường thẳng có phương trình : x-y+m=0.
Gỉa sử A sao cho  thì A(0;m);        sao cho thì B(2;2+m).
Đế hệ có nghiệm với mọi  thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn(I;R).Lúc đó
                                  
Bài 5: Cho hệ phương trình
                                  
Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải: Pt(7) .
 Vậy tập nghiệm của Pt(7)  là tọa độ những điểm nằm trên đường tròn tâm I bán kính R=           .Tập nghiệm của pt(8) là tọa độ những điểm nằm trên đường thẳng x+ay-a=0. Họ đường thẳng này luôn di qua điểm A(0;1) cố định.Ta có A nằm ngoài
 đường tròn (I;R), từ A dựng hai tiếp tuyến với đường tròn (I;R).
Phương trình tiếp tuyến đó là: x=0 và         cũng luôn đi qua A(0;1).
Để hệ có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng x+ay-a=0 phải cắt đường tròn (I;R) tại hai điểm phân biệt . Vậy đường thẳng x+ay-a=0 phải nằm giữa hai tiếp tuyến trên  Lúc đó 0 <a < .
Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
                            
Lời giải: Đặt  ,  khi đó phương trình chuyển thành hệ
                                                     
Để (1) có nghiệm thì (d) chạy từ (d1) đến (d2).
 + (d) trùng (d2) thì m=-1
 +(d) trùng (d1) thì d(O,(d))=  mà m>0 .
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì          .
  Từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán sau
 Bài 7: Tìm GTLN của hàm số:
    
                       
Lời giải: Đặt   và x+t-y=0
Vậy hệ sau có nghiệm
                                                     
                                                               
suy ra khoảng cách từ tâm đường tròn(1) đến đường thẳng (2) nhỏ hơn hoặc bằng bán kính
                                
Bài 8: Hãy biện luận số nghiệm của hệ sau theo m.
                                                     
 +  m=0 thì hệ vô nghiệm.
 +  m  ta có:
 Số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường tròn         và đường thẳng           
 có d(O,.
 Vậy ta có:
 + Nếu  hệ vô nghiệm.
 + Nếu  thì hệ có nghiệm duy nhất:
                                                           
 +Nếu  thì hệ có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
     
                                             
Lời giải
Đặt     điều kiện u,v 
Khi đó bất phương trình chuyển thành hệ:
                                                     
 + (1) là tập những điểm nằm phía trên (d): u+v=a
 + (2) là tập những điểm trên cung tròn như hình trên  (C) : u2+v2=2a
Do đó để (I) có nghiệm thì d(O,(d)) <R= 
Từ những ví dụ trên ta nhận thấy, nếu cho phương trình :F(x,m)=0(I)
 ta biến (I) về dạng :    
                                          hoặc h(x) =k(m)
Khi đó số nghiệm của (I) là số giao điểm của đồ thị hàm số f và g hoặc h va k.
 Trong những ví dụ trên ta đã xét f(x,y) =0 là phương trình của một đường tròn.Còn g(x,y,m)=0 là một đường thẳng.
 Tuy nhiên phương pháp hình học không phải là tối ưu cho mọi bài toán đại số, cho nên khi đứng trước bài toán cụ thể, chúng ta cần linh hoạt trong cách chọn hướng giải bài toán.Phương pháp hình học sử dụng được chỉ khi ta khéo léo chuyển ngôn ngữ của bài toán đại số sang ngôn ngữ hình học được.
 Thông qua ví dụ trên nhận thấy rằng : Khi sử dụng phương trình và tính chất của đường tròn (hình tròn) xét sự tương giao giữa các hình, ta đã đưa bài toán biện luận hệ, bài toán bất phương trình chứa tham số về một dạng toán đơn giản và quen thuộc hơn với học sinh.
 Sau đây là các bài tập tương tự để chúng ta luyện tập thêm cho học sinh , giúp cho các em thành thạo cách giải này.
 Bài 9: Tìm các số dương a để hệ sau có nghiệm
      
                                                     
Bài 10  Tìm a để mỗi hệ sau có nghiệm
 a,               b, 
Bài 11: Gỉa sử  và           là hai nghiệm của hệ
        
                                                      
 Chứng minh rằng
                                                
Bài 12: Tìm a để hệ  sau có nghiệm duy nhất