PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
     Phương trình mũ và phương trình logarit là một phần quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12. Đây là một phần hay và tương đối khó, trong cấu trúc của đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng một vài năm gần đây loại toán này thường rất hay xuất hiện. Để giải phương trình mũ và logarit có rất nhiều phương pháp, tuy nhiên trong phạm vi nhỏ của bài viết này tác giả chỉ đề cập đến phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu  của hàm số mũ và hàm số logarit.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ.
1, Hàm số  đồng biến khi  và nghịch biến khi , tức là:
* Nếu  thì .
* Nếu  thì .
.
2, Hàm số  đồng biến khi  và nghịch biến khi , tức là:
* Nếu  thì .
* Nếu  thì .
.
II. Các ví du minh hoạ.
Thí dụ 1. Giải phương trình 
Lời giải. Chia hai vế của phương trình cho  ta được: 
Xét hàm số  có .
Mặt khác Vậy phương trình có nghiệm . Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Thật vậy, do  là hàm số nghịch biến trên  nên .
Thí dụ 2. Giải phương trình 
Lời giải. Ta có với   
                             với 
                             với 
Phương trình đã cho trở thành 
Xét hàm số 
  
Nhận xét rằng  là nghiệm của phương trình. Do vế trái là một hàm số nghịch biến, vế phải luôn bằng 1, suy ra  là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thí dụ 3. Giải phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
Nhận thấy rằng 
Đưa phương trình đã cho về dạng
 
Xét hàm số  có   suy ra  là hàm số luôn đồng biến. Mặt khác từ phương trình ta có
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Thí dụ 4. Giải phương trình 
Lời giải. Đưa phương trình về dạng
 
và đặt  khi đó ta được phương trình 
xét hàm số  có  suy ra  là hàm số đồng biến trên , từ phương trình ta có  và phương trình ban đầu tương đương với  
Xét hàm số  có 
Lại có   và 
Suy ra bảng biến thiên của hàm số  là
x
                                    0                           1                                  
                                                        
                                                                   
g’(x)
–                       0                             +
g(x)
                                                                                                                   
                                          0                                          0
                                                      g()
 )
Căn cứ vào  bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình  chỉ có nhiều nhất là hai nghiệm. Mặt khác , vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  hoặc .
Thí dụ 5. Giải phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
Phương trình đã cho tương đương  
Xét hàm số  với  có 
Vậy  là hàm số đồng biến, mặt khác  nên  là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thí dụ 6. Giải phương trình 
Lời giải. Đưa phương trình về dạng
Đặt  ta được phương trình
 
Xét hàm số  ta có  suy ra f(x) là hàm số đồng biến, từ tính đơn điệu của f(x) suy ra 
Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn bài toán, vậy phương trình có hai nghiệm  hoặc  .
Thí dụ 7. Giải phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
Ta đưa phương trình về dạng 
Dễ dàng nhận thấy  và do x>0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có  hay .
Dấu bằng xảy ra khi  
Vậy phương trình có một nghiệm .
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau