CHỨNG MINH CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
21)
.

22)
.

23)

24)

25)

26)

27)
.

28)
.

29)
.

CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO X
30)
a.

31)
b.

32)
c.

33)
d.

34)

35)

VẤN ĐỀ 2 : CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT (Cung liên kết).
STT
|
Hai cung
|
Gọi là hai cung
|
Công thức
|
Cách nhớ
|
1
|
|
Đối nhau
|
|
Cos đối
|
2
|
|
Bù nhau
|
|
Sin bù
|
3
|
|
Phụ nhau
|
|
Phụ chéo
|
4
|
|
Sai kém 
|
|
Sai  tan, cot
|
5
|
|
Sai kém 
|
|
2 cung sai kém  thì sin ( cung lớn) = cos ( cung nhỏ)
|
|
Hệ quả : A , B , C là 3 góc trong 1 tam giác
a.
Ta có : A + B + C =

|
 (phụ)
|
|
|
Chứng minh rằng:
36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

Tính giá trị biểu thức :
43)

44)

45)

46)

47)

Đơn giản biểu thức sau :
48)

49)

50)

VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC CỘNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Hệ quả : Biến đổi biểu thức  về dạng tích số
i. Giả sử  ( và a và b không đồng thời triệt tiêu)
Ta có :
Áp dụng kết quả trên ta có :
|
Rút gọn các biểu thức sau :
51)

52)

53)

54)

55)

56)

57)

58)

59)

Chứng minh rằng :
60)

61)

62)

63)

64) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
65)

66)

67)

Các bài toán liên quan đến tam giác :
68) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC (không vuông) ta đều có :
69)

70) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có :
71)

72) Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
73)
và xác định hình tính của tam giác ABC trong trường hợp này.
74)

75)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và trực tâm H chia đường cao

theo tỉ số

.Tính

theo m và chứng minh rằng :

76)
Cho tam giác ABC thỏa
mãn : 
. CMR tam giác ABC cân.
Các bài toán liên quan khác
77)
Cho x và y là hai số thay đổi và là nghiệm đúng của phương
trình 
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phương trình

78)
Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa mãn
và 
. CMR :

79)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

biết x và y là hai số thay đổi thỏa mãn :

80)
Cho hai số x và y thay đổi sao
cho 
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Công thức nhân đôi
Hệ quả
Đặt  , ta có :
Công thức nhân 3
|
81)
Tính

biết

82)
Tính

Tính giá trị biểu thức sau:
83)

84)

85)

86)

87)

88)

89)

Chứng minh rằng :
90)

91)

92)

93)

94)

95)

96)

97)

98)

99)

100)
Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng

, cạnh bên bằng b và cạnh đáy băng a. CMR

Tính giá trị biểu thức sau :
101)

nếu

102)

nếu

103)

nếu

VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
Biến đổi các biểu thức sau thành tổng :
104)

105)

106)

Chứng minh các đẳng thức sau:
107) 
108) 
109) 
110)
Cho tam giác ABC có

VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
111)

112)

113)

114)

Đơn giản các biểu thức sau:
115)

116)

Chứng minh rằng :
117) 
118) 
VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC TRONG TAM GIÁC
A, B , C là 3 góc trong 1 tam giác , ta có :  vậy :
 (bù)
|
 ( phụ)
|
|
|
Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta luôn có  hay 
Tổng quát :  ta luôn có 
Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY
 hay 
Định lí hàm số sin
Định lí hàm số cosin
|
Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
119)

120)

121)

A , B , C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh rằng :
122)

123)

124)

125)

126)

127)

128)

129)

130)
Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có

thì tam giác ABC là 1 tam giác cân.
131)
Cho tam giác
ABC , đặt

. Chứng minh rằng tam giác ABC
nhọn 
.
132)
Hãy nhận dạng tam giác ABC
biết : 
.
133)
Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc thỏa mãn hệ
thức : 
Chứng minh tam giác ABC cân.
134)
Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn hệ
thức : 
. Tính các góc A,
B , C.
135)
Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và chỉ
khi : 
.
136)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC
có : 
(trong đó p là nửa chu vi. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác). Thì tam giác ABC là tam giác đều.
137)
Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều
kiện : 
. Thì tam giác ABC là tam giác đều.
VẤN ĐỀ 8 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phương trình
|
Lời giải  
|
|
|
|
|
|
|
|
Giải các phương trình sau :
138)

139)

140)

141)

142)

143)

144)

145)

146)

147)

148)

149)

150)

151)

152)

153)

154)

155)

156)

157)

158)

159)

160)

161)

162)

163)

164)

165)

166)

167)

168)

169)

170)

171)

172)

173)

174)

175)

176)

177)

178)

179)

180)

181)

182)

183)

184)

185)

186)

187)

188)

189)

190)

191)

192)

193)

194)

195)

196)

197)

Tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau:
198)
trong khoảng 
199)
trong khoảng 
200)
trong khoảng 
201)
trong đoạn 
202)
trong khoảng 
203)
trong khoảng 
204)
trong khoảng 
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH:
205)

206)

207)
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 1 và
chỉ 1
nghiệm

208)
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình
sau có nghiệm 

209)
Tìm tất cả giá trị của m để phương
trình sau có nghiệm
LOẠI 2
Loại 2 : PHƯƠNG TRÌNH 
Cách giải :
 (điều kiện để phương trình có nghiệm  )
|
Giải các phương trình sau :
210)

211)

212)

213)

214)

215)

216)

217)

218)

219)

220)

221)

222)

223)

224)

225)

226)

227)

228)

229)

230)

231)

232)

233)

234)
Tìm các
giá trị của
để phương trình :
có nghiệm 
235)
Tìm các giá trị của

để phương trình :

236)

trong khoảng

Giải và biện luận phương trình theo tham số m :
237)
Cho
phương trình : 
.
Chứng minh
rằng phương trình trên luôn có nghiệm.
238)
Cho
phương trình :
.
Giải và biện luận phương trình theo tham số m.
239)
Tìm các
giá trị của
thỏa mãn phương trình
sau với mọi m:

240)
Tìm m để phương trình có nghiệm :

LOẠI 3
Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx :A(sinx+cosx)+Bsinxcosx+C=0 (1)
Đặt 
Thay vào phương trình (1), ta có : 
|
Giải các phương trình sau :
241)

242)

243)

244)

245)

246)

247)

248)

249)

250)

251)

252)

253)

254)

255)

256)

257)

258)
Cho
phương trình :

a)Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một
nghiệm trong khoảng 
b)
Xác định a để phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng

c)Xác định a để phương trình có 2 nghiệm trong khoảng

259)
Cho
phương trình :
. Xác định m để phương trình có nghiệm trong khoảng

LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Cách 1 :
Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay không ?
Bước 2 : chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình bậc hai có ẩn số phụ t = tanx.  .
Cách 2 :
Dùng công thức : 
Để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x (Acos2x + Bsin2x = C).
|
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU :
260)

261)

262)

263)

264)

265)

266)

267)

268)

269)

270)

271)

272)

273)

274)

275)

276)

277)
Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm
của phương trình :
. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
VẤN ĐỀ 9 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
278)
Cho phương trình
lượng giác :

279)
Giải
phương trình với 
280)
Tìm m để phương
trình có nghiệm 
281)
Cho phương
trình lượng giác :
. Xác định a để phương trình có nghiệm.
282)
Cho
phương trình : 
. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
283)
Cho
phương trình :

a) Giải phương trình khi a = 1.
b)
Tìm a để phương trình có ít nhất 1
nghiệm 
.
284)
Cho
phương trình :

a) Giải phương trình với k = 2.
b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát.
285)
Cho
phương trình : 
. Xác định a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong
khoảng 
.
286) Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện :
VẤN ĐỀ 10 – MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
287)
Giải phương trình :

288)
Giải
phương trình :

289)
Giải
phương trình : 
.
290)
Giải phương trình :

291)
Giải phương trình :
.
292)
Giải phương trình :
.
293)
Chứng minh rằng phương trình
sau vô nghiệm :
.
294)
Giải phương trình :
.
295)
Giải phương trình :

296)
Giải phương trình :
.
297)
Giải phương trình :

VẤN ĐỀ 11 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
298)
Giải
hệ phương trình :

299)
Giải
hệ phương trình :

300)
Giải
hệ phương trình :

301)
Giải
hệ phương trình :

302)
Giải
hệ phương trình :

303) Giải hệ khi m = 0.
304) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm.
305)
Tìm m để hệ phương trình
sau có nghiệm :

306)
Giải
hệ phương trình :

307)
Giải
hệ phương trình :

308)
Giải
hệ phương trình :

309)
Tìm m để hệ phương trình

có nghiệm.
310)
Tìm m để hệ
phương trình :
có nghiệm. Tìm nghiệm đó.
311)
Giải và biện luận phương trình
:
.
VẤN ĐỀ 12 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giải các bất phương trình lượng giác sau:
312)

313)

314)

315)

316)

317)

318)

319)

320)

321)

322)

323)

324)

325)

326)
Xác định
sao cho phương trình
sau có nghiệm :

327)
Tìm các giá trị của a để phương trình
sau vô nghiệm :

328)
Giải
bất phương trình :
.
329)
Giải
bất phương trình :
.
330)
Giải
bất phương trình :

331)
Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm
đúng với mọi x:
