Phương trình lượng giác là một dạng thường gặp trong các đề thi đại học. Đó là một dạng toán mà không phải học sinh nào khi gặp phải cũng làm tốt được, đặc biệt những học sinh trung bình, yếu kém thì rất lúng túng và gặp khó khăn khi gặp dạng toán này. Trong quá trình giảng dạy, công tác tại trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm chúng tôi thấy cần thiết phải biên soạn chuyên đề “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản, các dạng bài tập thường gặp và nâng cao về phương trình lượng giác để làm tài liệu  cho giáo viên giảng dạy và cung cấp một lượng lớn bài tập cho học sinh  tự học.


A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
       
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

       a. Cung đối: 
          
       b. Cung bù:  
          
       c. Cung phụ: 
          
        d. Cung hơn kém 
           
    
    3. Công thức cộng
           
     
4. Công thức nhân đôi
            
   5. Công thức hạ bậc
      
  6. Công thức tính  theo 
        
  7. Công thức nhân ba
       
  8. Công thức biến đổi tổng thành tích
       
   9. Công thức biến đổi tích thành tổng
       
  10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
     ║
Chú ý:  
·              với  ứng với .
·               Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại: 
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình 
       Phương trình vô nghiệm
       
·                            
·                            
·                            
 Tổng quát: 
* Các trường hợp đặc biệt
 
    
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
                                           
Giải
          
2. Phương trình 
      Phương trình vô nghiệm
      
·                            
·                            
·                            
 Tổng quát: 
* Các trường hợp đặc biệt
               
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
                            ;       
Giải
 
 3. Phương trình 
          
    Tổng quát: 
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
                                              
Giải
  4. Phương trình 
           
    Tổng quát: 
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
                                            
Giải
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)             2)        
3)                     4)                           
5)                             6) 
7)                           8)                   
9)                      10)                 
11)            12) 
13)                14)            
15)                16)                    
17)                     18) 
19)            20)                  
21)                22)              
23)       24)               
25)      26) 
27)                 28) 
Bài 2: Tìm  sao cho:   .
Bài 3:  Tìm  sao cho:.
C. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG  GẶP
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
1.1. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng  trong đó a, b là các hằng số và t là một trong các hàm số lượng giác.
1.2. Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 
  Ví dụ 5: Giải các phương trình
Giải
 
1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ 6: Giải phương trình sau:                     
Giải
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
29)           30)   
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng , trong đó a, b, c là các hằng số  và t là một trong các hàm số lượng giác.
     
2.2. Phương pháp: Đặt  ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện  nếu đặt t bằng sin hoặc cos).
Ví dụ 7:
      a)        b) 
Giải
Đặt , điều kiện . Phương trình (1) trở thành:
Với t=1, ta được 
Đặt , điều kiện . Phương trình (2) trở thành:
Với  ta được 
2.3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
                               
Giải
*) Giải phương trình:
*) Giải phương trình: 
Vì  nên phương trình  vô nghiệm.
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là 
 Điều kiện: và 
 Khi đó: 
Đặt  ta giải phương trình bậc hai theo t:  …..
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
31)                      32)               
33)                            34)           
35)                              36) 
37)                 38)                  
39)            40) 
41);               42) 
43)      44) 
45);   46) 
Bài 47. Chứng minh rằng phương trình:  luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 48. Cho phương trình: 
a)Giải pt khi .
b)Tìm m để phương trình có nghiệm trên .
Bài 49 : Cho phương trình 
a)Giải phương trình khi m = 2.
b)Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng 
3. Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx
3.1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng 
3.2Phương pháp:
Cách 1:
   Kiểm tra có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
   chia cả hai vế cho đưa về phương trình bậc hai theo :
            
Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về phương trình bậc nhất đối với cos 2x và sin 2x
*Một số trường hợp đặc biệt là khi a = 0 hoặc c = 0 đưa phương trình về dạng tích
Ví dụ 9: Giải phương trình sau
   a) 3sin2x- sinxcosx+2cos2x cosx=2                         
    b)  4 sin2x+3sinxcosx-2cos2x=4
    c) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0                               
   d) 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ )cos2x-5-=0
Ví dụ 10: Giải phương trình sau
    a) sinx- 4sin3x+cosx=0 
    b)  (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0        
    c) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)        
Ví dụ 11Giải phương trình sau
  a) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0              b) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0
  c) 2 cos3x= sin3x                                   d) cos3x- sin3x= cosx+ sinx      
  e) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x                 f)  sin3(x-/4)=sinx                                                                                 
Bài tập đề nghị:
50)                  51) 
52)                  53) 
54)                             55) .
56)  4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2xcosx = 0    57) 
58)  cos3x – sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0   59) 
60)         
61)     
62)  
63)                  
64) 
4.  Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x  
4.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x  là phương trình có dạng  trong đó  và  
Ví dụ 12: Giải các phương trình sau: 
4.2. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho  ta được:
     
·               Nếu : Phương trình vô nghiệm.
·               Nếu  thì đặt 
       ( hoặc )
 Đưa phương trình về dạng: (hoặc  ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý:  Phương trình  trong đó  và  có nghiệm khi .
Ví dụ 13: Giải các phương trình sau:
 a)                             b) 
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
 65)                 66)               
67)       68)  
69)             70) 
71)           72) 
73)               74)                  
75)                76)                       
78)      79) 
80)            81)
 82) Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2  có 2 nghiệm.
 83) Tìm m để pt :  (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
 5. Phương trình đối xứng
 5.1 Phương trình đối xứng loại 1
Cách giải:     a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c        Đặt   t = sin x+cosx      
                             at + b=c bt2+2at-2c-b=0
 Ví dụ 14 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1.         2.        
3.               4.    
5.                            6. 
7.                8.   
9. 1+tanx=2sinx +                        10. sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx     
11. (1+sin x)(1+cosx)=2                       12. 1+sin2x+cos32 x=sin 4x  .
13. sinxcosx+=1                                
Bài tập đề nghị
 84.  
 85.       
86.              
87.      
88.        
89. 
Bài 90 Cho phương trình . Xác định m để phương trình có nghiệm.
5.2 Phương trình đối xứng loại 2
Cách giải:
         a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c        Đặt   t= sin x- cosx      
            at + b=c bt-2at+2c-b=0.
Ví dụ 15 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1. 1- sin3x+cos3x= sin2x                                        2.   3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2
3.                  4. 
5. 
5.3 Phương trình đối  xứng với tanx và cotx
Cách giải: đặt t = tanx +cotx   điều kiện  . Đưa về phương trình chỉ có ẩn t.
Bài tập đề nghị
91.   
92.                            
93. 
94. 
95. Cho phương trình .
 Xác định m để phương trình có nghiệm.
            
D. PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO CÁC DẠNG.
1. Sử dụng công thức hạ bậc
cos2x=   ;  sin2x= 
 cos3x=   ;  sin3x=        
Bài tập  
1. cos4x-5sin4x=1                                     
2. 4sin3x-1=3-cos3x                                                                             
3.sin22x+ sin24x= sin26x                         
4. sin2x= cos22x+ cos23x                                          
5.  
6.  4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 cos4x=3
7. 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x
8. cos4xsinx- sin22x=4sin2()-    với    <3                
9.  2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0          
10.  sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x                                   
11.  8cos3(x+)=cos3x
12.cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x    
13.    =1                                  
14.   cos7x+ sin22x= cos22x- cosx                     
 15.   sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2     
 16. 3cos4x-2 cos23x=1
2 . Sử dụng các hằng đẳng thức
Bài tập. Giải các ph­ương trình sau
1) sin4+cos4=1-2sinx                        2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x   
3) cos3x+ sin3x= cos2x                            4)      
5) cos6x-sin6x=cos22x                           6) sin4x+cos4x=
7)  cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x)                8) cos3x+sin3x=cosx-sinx 
9) cos6x+sin6x=cos4x                              11) cos8x+sin8x= 
 10)  sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x
 12) (sinx+3)sin4-(sinx+3) sin2+1=0     
3.Giải phương trình lượng giác đưa về dạng tích
Bài tập. Giải  các ph­ương trình sau:
1) cos2x- cos8x+ cos4x=1                     
2)sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3)sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2
4) sinx+2cosx-2+sinx=0
5) 3sinx+2cosx=2+3tanx                      
6) sin2x+cos2x+cosx=0  
7)  2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4         
8)    
9) 2cos2x-8cosx+7=                     
10) cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+cosx 
11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 
12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0           13) sinx(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3
14) 2sin3x-=2cos3x+              15) cos3x+cos2x+2sinx-2=0 
16)cos2x-2cos3x+sinx=0                        17) tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-)=0
18)sin2x=1+cosx+cos2x                   19) 1+cot2x=
20) 2tanx+cot2x=2sin2x+              21) cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0   
22) 1+tanx=sinx+cosx                             23)  (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx 
24) 2=             25) 2tanx+cotx=      
26)   cotx-tanx=cosx+sinx                       27)  9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 
4. Sử dụng công thức nhân đôi.
   *  cos2x= cos2x- sin2x  =2cos2x-1=1-2sin2x
    sin2x=2sinxcosx
     tan2x=
    * sinx =  ; cosx=    tanx= (tan  =t)
 Bài tập. Giải các phương trình sau:
1) sin3xcosx=+ cos3xsinx                               2)  cosxcos2xcos4xcos8x=
3) tanx+2cot2x=sin2x                                       4) sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x        
5) sin4x=tanx                                                     6)  sin2x+2tanx=3            
7) sin2x+cos2x+tanx=2                                     8) cotx=tanx+2cot2x                                         9) tan2x+sin2x=cotx                                      10)    (1+sinx)2= cosx 
5. Giải ph­­­ương trình LG bằng cách thực hiện phép biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
 Bài tập. Giải các phương trình sau:
1) sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x                            2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 
3) thỏa mãn    
4) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0                     5) sin5x+ sinx+2sin2x=1                                 6)        7) tanx+ tan2x= tan3x                                    8) 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x
6. Giải PT LG bằng phương pháp đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B
Bài tập. Giải ph­­­­ương trình
1/ sin()=sin()                  2/ sin()=sin2x sin()   
 3/+2=3                           4/ cosx-2sin()=3
5/  cos()=sin(4x+3)                   6/ 3cot2x+2sin2x=(2+3)cosx 
7/2cot2x++5tanx+5cotx+4=0        8/ cos2x+=cosx+  
9/sinx- cos2x++2=5            
   
7. Giải ph­­­ương trình LG bằng cách thực hiện các phép biến đổi phức tạp
  Bài tập. Giải các ph­­­­ương trình
1/   2/ cos=1 3/+2sinx=0                         4/ 3cotx- tanx(3-8cos2x)=0   
5/                
6/ sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx=
7/tan2xtan23 xtan24x= tan2x-tan23 x+tan4x              
8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x)                          
10/     
11/cos2-1=tan2    
12/   
8. Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực
8.1.Phương pháp tổng bình phương.
      Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại
bằng không và áp dụng tính chất:

Ví dụ 1. Giải phương trình:
GIẢI
ĐS  
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 (1)
GIẢI
Ta có (1)   
                        
Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
GIẢI
Ta có:  
 (1)
Vì 
Và 
Do đó (1) 
                        
                        
ĐS  hay  
8.2. Phương pháp đối lập
Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại AR:  và  thì khi đó:
Nếu ta chỉ có  và  thì kết luận phương trình vô nghiệm.
Ví dụ1 . Giải phương trình: 
GIẢI
Vì  nên 
mà 
Do  và  nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
 (1)
GIẢI
(1) 
      (2)
Ta thấy 
Mà 
Do đó (2)
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:
·                    
·                    
Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:
8.3. Phương pháp đoán nhận nghiệm và chứng minh tính duy nhất của nghiệm
     Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:
·                    Dùng tính chất đại số
·                    Áp dụng tính đơn điệu của hàm số
    Phương trình  có 1 nghiệm  và hàm  đơn điệu trong  thì  có nghiệm duy nhất là .
     Phương trình  có 1 nghiệm  tăng (giảm) trong  giảm (tăng) trong  thì phương trình  có nghiệm  là duy nhất.
Ví dụ 1 : Giải phương trình:
                          với 
GIẢI
 Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm .
Đặt  là biểu thức của hàm số có đạo hàm  (vì )
 Hàm  luôn đơn điệu tăng trong 
  có 1 nghiệm duy nhất trong 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất .
Ví dụ 2 . Giải phương trình:
 với 
Giải
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm 
Đặt  liên tục trên 
Có đạo hàm: 
 do  
 đơn điệu tăng trên 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
8.4 Sử dụng các bất đẳng thức
Ví dụ 1 : Giải phương trình:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 (1)
GIẢI
Điều kiện: 
Khi đó (1) 
Vì 
Do đó  và  
Dấu bằng xảy ra 
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)                2)   với 
3)                 4) 
Bài 2: Giải phương trình:
1)                               2) cos3x+=2(1+sin22x)              
3) 2cosx+sin10x=3+2sinxcos28x  
4) cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2        5) 8cos4xcos22x++1=0
6)                                      7) 1 – =cosx                                                                      8) ( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x                       9)
E- CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)      (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 
2)      tan2x – tanxtan3x = 2
3)       = 1 – 2cosx
4)      cos3xtan5x = sin7x
5)      tanx + cotx = 4
6)       + 2cosx = 0
7)      2tanx + cotx = 
8)      tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9)      2sin3x(1 – 4sin2x) = 1
10)    
11)    cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 
12)    cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
13)    sin2xcosx =  + cos3xsinx
14)    sin6x + cos6x = cos4x
15)    sin4x + cos4x = cot(x + )cot( – x)
16)    
17)    sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
18)    2sin3x –  = 2cos3x + 
19)    cos3xcos3x + sin3xsin3x = 
20)    (tanx + cotx)
21)    1 + tanx = 2sinx
22)    cosx – sinx = cos3x
23)    
24)    (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 1
25)    2sin(3x + ) = 
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)  sin4 + cos4 = 
2)  4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2xcosx = 0
3)  cos3x – sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0
4)  
5)  sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3
6) cos6x + sin6x = 
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1)                    2)  
3)           4)  sin4x = tanx
5)  cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0                            6)  sin3x + 2cos2x – 2 = 0
7)  cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =   8)  2 + cos2x + 5sinx = 0
9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)                 10)  4cos3x + 3sin2x = 8cosx
Bài 4. Giải phương trình lượng giác
1)  cosx + sinx = 3 –           
2)  3sin3x – cos9x = 1 + 4sin33x
3)  cos7xcos5x – sin2x = 1 – sin7xsin5x                  
4)  4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
5)  4(sin4x + cos4x) + sin4x = 2            
6) 4sin3x – 1 = 3sinx – cos3x
7) sin2x + cos2x =                                 
8) 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
9)  cos2x – sin2x = 1 + sin2x
Bài 5. Giải các phương trình
1)   sin3x – sin2x = 2sinxcos2x
2)   sin22x + cos28x = cos10x
3)   (2sinx + 1)(2sin2x – 1) = 3 – 4cos2x
4)   cosxcoscos – sinxsinsin = 
5)   tanx + tan2x – tan3x = 0
6)   cos3x + sin3x = sinx – cosx
7)   (cosx – sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8)   (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x
9)   2cos3x + cos2x + sinx = 0
10)  sin3x – sinx = sin2x
11)  
12)  sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0
13)  cos4 – sin4 = sin2x
14)  3 – 4cos2x = sinx(2sinx + 1)
15)  2sin3x + cos2x = sinx
16) sin2x + sin22x + sin23x = 
17)  cos3x + sin3x = sinx – cosx
18)  sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
19)  sin2x = cos22x + cos23x
20)  sin23x – sin22x – sin2x = 0
21)  1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0
22)  2sin3x – sinx = 2cos3x – cosx + cos2x
23)  2sin3x – cos2x + cosx = 0
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
25)  2cos2x = (cosx – sinx)
26)  4cos3x + 3sin2x = 8cosx
27)  sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1)   = cos2x + sin2x                          với  0 < x < 2p
2)  sin(2x + ) – 3cos(x – ) = 1 + 2sinx                  với  < x < 3p
3)  cos7x – sin7x = –                                  với 
Bài 7. Giải các phương trình sau:
1)                  2)
3)           4)
5)          6)    
7)                         8)
                  
9)      10)
11)                   
 12) 
13)         
14) 
15)                  
16) 
17) 
18) 
Bài 8: Tìm nghiệm trên khoảng  của phương trình:          
                     
Bài 9: Giải phương trình:
1) 
2)  
3)
4) 
Bài 10: Giải  các phương trình sau:
 1) 
 2) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
 3)  
Bài 11: Tìm nghiệm của phương trình:   thoả mãn :   
Bài 12: Giải phương trình.:   
Bài 13: Giải phương trình:   4cos4x – cos2x  = 
Bài 14: Giải phương trình:   
Bài 15: Giải phương trình:  
Bài 16: Giải phương trình:  
Bài 17: Giải phương trình:   .
Bài 18: Giải phương trình:      cos2x + cosx + sin3x = 0
Bài 19: Giải phương trình:        
Bài 20: Tìm tổng tất cả các nghiệm x thuộc [ 2; 40] của phương trình:
                      sinx – cos2x = 0.
Bài 21: Giải phương trình:      
Bài 22: Giải phương trình : .
Bài 23: Giải phương trình:      
Bài 24: Giải phương trình:      
Bài 25: Giải phương trình:      
Bài 26: Giải phương trình:      
Bài 27: Giải phương trình :      
Bài 28: Giải phương trình:      .
Bài 29: Giải phương trình:      
Bài 30: Giải phương trình:      
Bài 31: Giải phương trình:      
Bài 32: Giải phương trình:      
Bài 33: Giải phương trình:      
Bài 34: Giải phương trình:      
Bài 35: Giải phương trình:      
Bài 36: Giải phương trình:      
Bài 37: Giải phương trình:      
Bài 38: Giải phương trình:      
Bài 39: Giải phương trình:      .
Bài 40: Giải phương trình:      
Bài 41: Giải phương trình:      
Bài 42: Giải phương trình:      
Bài 43: Giải phương trình:      
Bài 44: Giải phương trình:      
Bài 45: Giải  phương trình:     
Bài 46: Giải phương trình:      
Bài 47: Giải phương trình:      
Bài 48: Giải phương trình:        
Bài 49: Giải phương trình : 
Bài 50: Giải phương trình: 
Bài 51: Giải phương trình:  
Bài 52: Giải phương trình:   
Bài 53: Giải phương trình:  
Bài 54: Giải phương trình:        
Bài 55: Giải phương trình:  .
Bài 56: Giải phương trình:      
Bài 57: Giải phương trình:  
Bài 58: Giải phương trình:      
Bài 59: Giải phương trình:   = .
Bài 60: Giải phương trình:      
Bài 61: Giải phương trình:      .
Bài 62: Giải phương trình: 
Bài 63: Tìm nghiệm của phương trình: ,
        biết .
Bài 64: Giải phương trình:  
Bài 65: Giải phương trình:      
Bài 66: Giải phương trình:      
Bài 67: Giải phương trình:      .
Bài 68: Giải phương trình  .
Bài 69: Giải phương trình:      .
Bài 70: Giải phương trình:      
Bài 71: Tìm  nghiệm  x  của  phương trình
                  5cosx + sinx  – 3 = sin.
Bài 72: Giải phương trình:      
Bài 73: Giải phương trình:      
F. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
1) Giải phương trình:     5 = cos2x + 3 (Khối A-02)
2) Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình:
    cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0                                                  (Khối D-02)
3) Giải phương trình:     cotx – 1 =  + sin2x – sin2x     (Khối A-03)
4) Giải phương trình:    sin2( – )tan2x – cos2 = 0                 (Khối D-03)
5) Giải phương trình:   (2cosx – 1)(sinx + cosx) = sin2x – sinx    (Khối D-04)
6) Giải phương trình:    cos23xcos2x – cos2x = 0                           (Khối A-05)
7) Giải phương trình:  cos4x + sin4x + cos(x – )sin(3x – ) –  = 0 (Khối D-05)
8) Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; p) của phương trình:
4sin2 – cos2x = 1 + 2cos2(x – )                                    (Khối A-05 dự bị 1)
9) Giải pt:      2cos3( x – ) – 3cosx – sinx = 0                     (Khối A-05 dự bị 2)
10) Giải pt:           tan( – x) +  = 2                                   (Khối D-05 dự bị 1)
11) Giải pt: sin2x + cos2x – 3sinx – cosx – 2 = 0                      (Khối D-05 dự bị 2)
12)                                                  (Khối A – 2005)
13) 1+ sin x +cosx+sin 2x+ cos 2x =0                                       (Khối B – 2005)
14) Giải pt: cos3xcos3x – sin3xsin3x =                      (Khối A­-06-dự bị 1)
15) Giải pt:           4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0                  (Khối A­-06-dự bị 2)
16) Giải pt:           (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0                  (Khối B-06-dự bị 1)
17) Giải pt:           cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0                   (Khối B-06-dự bị 2)
18) Giải pt:           cos3x + sin3x + 2sin2x = 1                                    (Khối D-06-dự bị 1)
19) Giải pt: cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0                                (Khối D-06)
20) Giải pt:  (Khối D – 2005)
21) Giải pt:                                    (Khối A – 2006)
22) Giải pt:                              (Khối B – 2006)
23) Giải pt:                                             (Khối D – 2006)
24) Giải pt  (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x        (KhốiA-07)
25) Giải phương trình:   2sin22x + sin7x – 1 = sinx                  (Khối B-07)
26) Giải phương trình:                (Khối D – 2007)
27) Giải phương trình: 2sin2( – 2x) + cos4x = 4cos2x – 1 (CĐ-07)
28)                      (Khối A – 2007)
29)                                                   (Khối B – 2007)
30) Giải phương trình:    (Khối A-08)
31) Giải phương trình: sin3x – cos3x = sinxcos2x – sin2xcosx (Khối B-08)
32) Giải phương trình:   2sinx(1 + cos2x)  + sin2x = 1 + 2cosx     (Khối D-08)
33) Giải pt: sin3x – cos3x = 2sin2x                                           ( CĐ-08)
34) Giải pt:                          (Khối A – 2008)
35) Giải pt:         (Khối B – 2008)
36) Giải pt:                   (Khối D – 2008)
37)                                     (Khối A – 2009)
38)  (Khối B – 2009)
39)                 (Khối D – 2009)
40)                  (Khối A – 2010)
41)         (Khối B – 2010)
42)              (Khối D – 2010)
43)                          (Khối A – 2011)
44)      (Khối B – 2011)
45)                           (Khối D – 2011)
46)                       (Khối A và A1 – 2012) 
47)   (Khối B – 2012)
48)            (Khối D – 2012)
49)                                    (Khối A- A1 – 2013)
50)                                             (Khối B – 2013)
51)                                      (Khối D – 2013)
52)                                      (Khối A- A1 – 2014)
53)                           (Khối B – 2014)