Chương III: Áp dụng bất đẳng thức lượng giác vào một số bài toán
   1. Định tính tam giác:
     
       a) Tam giác đều:
          Đối với loại bài nhận dạng tam giác đều, ta chỉ cần giải bất đẳng thức lượng giác và chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT đó. Ta sẽ xét các ví dụ sau để thấy rõ điều đó.

    Ví dụ 1:
CMR đều khi thỏa: 
    Lời giải:
Theo Bunhiacốpxki ta có: 
                                     
                                   mà   
                                    
 
               Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều Đpcm.
       Ví dụ 2:   
CMR nếu  thì đều.
      
       Lời giải:
Ta có:
                                                    
    
 Đpcm.
                                                                      
       Ví dụ 3:
CMR đều khi nó thỏa: 
       Lời giải:
Theo đề bài ta có: 
                              
Ta lại có:  
Tương tự ta có: 
                          
.
 Đpcm.
     Ví dụ 4:
CMR nếu thỏa  thì đều.
     Lời giải:
Ta có:
 Đpcm.
     
     Ví dụ 5:
CMR đều khi nó thỏa 
      Lời giải:
Ta có:  
Tương tự ta có:
 Đpcm.
    b) Tam giác cân:
Đối với dạng bài nhận dạng tam giác cân, ta cần phải chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức là khi 2 biến bằng nhau và khác biến thứ ba. Ta xét các ví dụ sau:
    Ví dụ 1:
CMR cân khi nó thỏa điều kiện  và nhọn.
    Lời giải:
Ta có:
Vì 
Từ giả thiết: 
                                             
                             Đpcm.
       Ví dụ 2:
CMR cân khi thỏa 
      Lời giải:
Trong mọi tam giác ta luôn có: 
   Mà 
      
Đẳng thức xảy ra khi cân  Đpcm.
      Ví dụ 3:
CMR nếu thỏa  thì cân.
      Lời giải:
Ta có:
Đẳng thức xảy ra khi cân  Đpcm.
        Ví dụ 4:
CMR nếu  thì cân.
        Lời giải:
Ta có: 
                                 cân nếu thỏa đk đề bài.
        Ví dụ 5:
CMR cân khi thỏa 
        Lời giải:
Ta có:
         
Đẳng thức xảy ra khi B=C  Đpcm.
                   c) Tam giác vuông:
Đối với dạng bài tập nhận dạng tam giác vuông, ta ít khi cần dùng đến các BĐT lượng giác mà thường là chỉ cần sử dụng các phương pháp biến đổi tương đương là được.        
          Ví dụ 1:
    Cho ABC có các góc thỏa mãn hệ thức 
Chứng minh ABC vuông.
          Lời giải:
Theo Bunhiacốpxki ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy ABC vuông tại A.
            2. Cực trị lượng giác:
Đây là một lĩnh vực khó, đòi hỏi người giải cần phải tự mình sử dụng khéo léo các bất đẳng thức lượng giác phù hợp cũng như phải có một vốn kiến thức khá lớn về bất đẳng thức để có thể tìm ra đáp án của bài toán.
            Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Với a,b,c,d là các hằng số dương.
            Lời giải:
Đặt  với 
                                             
Ta có:                                       
Do đó: 
. Tương tự . Vậy 
          Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
          Lời giải:
Ta có:  nên
Vậy 
            Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
          Lời giải:
Ta có: 
               
Do đó đều.
          Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 
          Lời giải:
Điều kiện: 
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra 
Mặt khác 
Dấu bằng xảy ra 
Vậy 
          Ví dụ 5:
Cho hàm số . Hãy tìm Max trên miền xác định của nó.
          Lời giải:
Vì và  không đồng thời bằng 1 nên  xác định trên R.
 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi  có nghiệm.
                                                                       có nghiệm.
                                                                     
                                                            Vậy 
              3. Bài tập:
CMR đều khi nó thỏa một trong các đẳng thức sau:
1)      
2)      
3)      
4)      
5)      
6)      
7)      
8)      
9)      
10)