Chương II: Các phương pháp chứng minh
2.1.        Biến đổi lượng giác tương đương :
     Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái Đất”. Nó sử dụng các công thức lượng giác và sự biến đổi qua lại của các bất đẳng thức. Để có thể sử dụng tốt phương pháp này bạn đọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến đổi lượng giác (bạn đọc có thể tham khảo thêm phần 1.2. Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác).

      Thông thường thì với phương pháp này, ta sẽ về dạng bất đẳng thức đúng hay quen thuộc. Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả quen thuộc ;.
Ví dụ 2.1.1.
           CMR:     
Lời giải:
   Ta có : 
                               
                (1)
Mặt khác ta có:
                               
                                             (2)
Đặt   
Khi đó từ (1),(2) ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
                                       (3)
Mà x , y ,z > 0 nên:
                    (3) (4)
Vì x , y ,z từng đôi một khác nhau nên (4) đúng  đccm.
Như  vậy, với các bất đẳng thức trên thì việc biến đổi lượng giác là quyết định sống còn với việc chứng minh bất đẳng thức. Sau khi sử dụng các biến đổi thì việc chứng minh bất đẳng thức trở nên dễ dàng thậm chí chỉ lad hiển nhiên.
Ví dụ 2.1.2.
     CMR:    
Lời giải:
      Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                            
                                                                                        
                                                                              
Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.1.3
          CMR với    bất kì ta luôn có:
                                          
Lời giải:
  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
                                              
Suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  đều.
Ví dụ 2.1.4.
           Cho  là ba góc thỏa  . CMR:
                  
Lời giải:
  Ta có:
               
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
  đpcm.
Đẳng thức xảy ra     
Ví dụ 2.1.5.
              CMR trong   bất kì ta có:
                      
Lời giải:
       Ta có:
                 
=
Đặt     ;  ;  thì 
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương với:
                                            
  đpcm.
Đẳng thức xảy ra 
                               đều.
Ví dụ 2.1.6.
CMR:   
Lời giải:
             Vì  và   nên:
        và   
Khi đó bất đẳng thức tương đương:
        
Do  nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng  đpcm.
Ví dụ 2.1.7.
CMR:  ta có:
                                                  
 Lời giải:
         Từ 
Do đó  
  Đặt 
Bất đẳng thức đã cho trở thành:
                                                    
                                                    
Bất đẳng thức cuối đúng vì  và 
 đpcm.
Ví dụ 2.1.8.
        
            Cho các góc nhọn a và b thỏa . CMR:
                                          
Lòi giải:
     Ta có : 
Nên từ giả điều kiện  suy ra:
                          
                                    
Mặt khác ta có:     
                          
Nên thay thế  vào thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                          
                    
                          
Bất đẳng thức sau cũng hiển nhiên đúng do  đpcm.
Ví dụ 2.1.9.
Cho  không vuông chứng minh rằng:
 
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
       
      
      
      
 đpcm.
Ví dụ 2.1.10*.
      Cho nửa đường tròn bán kính R, C là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn. Trong hai hình quạt ngoại tiếp đường tròn, gọi M và N là hai tiếp điểm của hai đường tròn với đường kính của hai nửa đường tròn đã cho. CMR: MN  .
Lời giải:
Gọi O1;O2 là tâm của hai đường tròn. Đặt (như vậy )
Và OO ; 
Ta có:



    Text Box:      



Vậy
      
Trong tam giác vuông  có:
                                 
Tương tự:
                        
Do đó:
                           
                                      
Mà đpcm.
Đẳng thức xáy ra .
2.2.        Sử dụng các bước đầu cơ sở :
       Ta sẽ đưa các bất đẳng thức cần chứng minh về các bất đẳng thức cơ bản bằng cách biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản.
Ví dụ 2.2.1
      Cho  Đường phân giác của các góc A,B,C cắt đường tròn ngoại tiếp  lần lượt tại . CMR:
                                    
Lời giải:
         Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp  thì nó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
            (1)
Do     nên:
Vì  nên            



(2)  đpcm.                                                   



Đẳng thức xảy ra   đều.
Ví dụ 2.2.2.
CMR trong mọi tam giác ta đều có:
                   
Lòi giải:
      
           Ta có :
                        
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
                    
Mà:
                
Nên:
       
          (1)   (2)
Thật vậy hiển nhiên ta có:
                            (3)
Mặt khác ta có:   
 đúng  đpcm.
Đẳng thức xảy ra  đều.
Ví dụ 2.2.3.
Cho  bất kì. CMR:
        
Lời giải:
                   Đặt vế trái bất đẳng thức là T.
Theo AM-GM ta có :
Mà: 
Và hiển nhiên: 
Từ (1),(2) suy ra  đpcm.
Ví dụ 2.2.4.
CMR với mọi  bất kì ta có:
         
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
   (1)
Ta có:
  
Khi đó:                                                                                                    
 đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 
Ví dụ 2.2.5.
CMR trong mọi tam giác ta có :
                  
Lời giải:
           Áp dụng công thức : , ta đưa bất đẳng thức đã cho về dạng tương đương sau :
                                   (1)
Ta có :
               
Do đó:
    
Theo AM-GM, ta có:
                      
Tương tự ta có:
                                     
                                      
Từ đó suy ra:              
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Khi đó:
mà             
(2) đúng  đpcm.
Ví dụ 2.2.6.
Cho  bất kỳ. CMR:
            
Lời giải:
                Ta có:
                                 
Nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:
                           (1)
Mặt khác ta cũng có:
                
                                                      
Tương tụ ta cũng có:
       ;    
(1) đúng  đpcm.
Ví dụ 2.2.7.
                  CMR trong mọi tam giác ta có:
                                 
Lời giải:
      Ta có vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:
 
          Đặt :
                     
Dễ thấy 
Mặt khác ta có
     
Tương tự:
Và ta lại có:
              
 đpcm.
Ví dụ 2.2.8.
                   
Cho  bất kì. CMR:
                            
Lời giải:
         Ta có:
                   
Vậy:
 
Theo AM-GM ta có:
                  
Mà:
       
 đpcm.
Ví dụ 2.2.9.
              
                 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:
                                       
Lời giải:
       
    Theo AM-GM ta có:
                           
Do 
Lại có:
           
 vế trái được chứng minh xong.
Ta có:
                
Theo AM-GM ta có:
   
Một lần nữa theo AM-GM ta có:
         
Vế phải được chứng minh xong suy ra bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
Ví dụ 2.2.10.
    
        Cho  bất kì. CMR:
             
Lời giải:
Áp dụng BCS ta có:
      
Mà:
Vì thế ta chỉ cần chứng minh:  
Trước hết ta có: 
Thật vậy:
 đúng.
Mặt khác ta cũng có:
Từ (1),(2) thì suy ra ta phải chứng minh:
                                 
Đặt :
          
Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên x , y , z > 0
Khi đó theo AM-GM thì:
                  
 (3) đúng  đpcm.
2.3.   Đưa về tích vô hướng
         
            Phương pháp này đem lại những lời giải bất ngờ thú vị. Nó đặc trưng cho sự kết hợp hoàn hảo giữa đại số và hình học. Những tính chất của vecto đem lại những lời giải thật đẹp mắt và sáng sủa.
Ví dụ 2.3.1.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
          
Lời giải:
          Lấy các vec tơ đơn vị  lần lượt trên các cạnh AB, BC , CA.
Hiển nhiên ta có:
   
 đpcm.
Ví dụ 2.3.2.
   Cho  nhọn. CMR:
                             
Lời giải:
             
    Gọi O, G lần lượt lá tâm đường tròn ngoài tiếp và là trọng tâm .
Ta có: 
Hiển nhiên:
                 
 đpcm.
Đẳng thức xảy ra   đều.
Ví dụ 2.3.3.
Cho  nhọn. CMR:
          
Lời giải:
   
         Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.





Ta có:
  
Suy ra đpcm.
2.4.        Kết hợp các bất đẳng thức cổ điễn:
     
    Về nội dung cũng như cách thức sử dụng các bất đẳng thức đã bàn ở chương 1. Vì thế ở phần này, ta sẽ không nhắc lại mà xét thêm một số ví dụ phức tạp hơn, thú vị hơn.
Ví dụ 2.4.1.
CMR với mọi tam giác ABC ta có:
                   
Lời giải:
            Theo AM-GM  ta có:
                            
Mặt khác:
                         
                                   
                                                                        
Suy ra:
   
                                      
                                         (1)
Mà ta cũng có:
                  
              
Từ (1),(2) :
                
 đpcm.
Ví dụ 2.4.2.
Cho  nhọn .CMR:
                              
Lời giải:
 Vì  nhọn nên  đều dương.
Theo AM-GM ta có:
                                
                   
                                    
Suy ra:
                 
Mặt khác:
                           
Từ (1),(2) suy ra:
      
 đpcm.
Ví dụ 2.4.3
Cho  ABC tùy ý.CMR:                                                          
Lời giải:
Xét f(x)=tanx
Khi đó f’’(x)=
Theo Jensen thì : (1)
Xét g(x) = cotx 
Và g”(x ) = 2( 1 + cot2x ) cotx > 0
Theo Jensen thì
Vậy (1)+(2)=> đpcm
Ví dụ 2.4.4
CMR trong mọi tam giác ta có :
Lời giải
Ta chọn bổ đề sau
Bổ đề :Cho x,y,z>0 và x+y+z<S thì :     ( 2)
Theo AM-GM thì :
S
=>(4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra <=> x=y=z=
Vẫn theo AM-GM ta lại có:
   (6)
Dấu bằng trong(6) xảy ra ó đồng thời có dấu bằng trong (4) (5)ó x=y=z=
VT 
Bổ đề được chứng minh.Dấu “=” xảy raó đồng thời có dấu bằng trong (3) (4) (6)
ó x = y = z = 
Áp dụng với  x = sinA > 0, y = sinB >0 , z = sinC > 0
Mà ta có sinA+sinB+sinCvậy ở đây S=
ótam giác ABC đều
Ví dụ 2.4.5
CMR trong mọi tam giác ABC ta có
la+lb+lc
Lời giải :
Ta có la=  (1)
Lại có  nên từ (1) suy ra la(2)
Tương tự ta có lb(3)
                         lc  (4)
từ (2)(3)và (4) suy ra
la+lb+lc (5)
dấu “=” trong (5) xảy ra ó a=b=c
áp dụng BCS ta có 
 (6)
Từ (5) và (6) suy ra dpcm
Ví dụ 2.4.6
Cho tam giác ABC bất kì .CMR:
Lời giải
Ta có S=
Suy ra đpcm
Ví dụ 2.4.7
Cho tam tam giác ABC.CMR
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Đặt x = tanA/2,y = tanB/2,z = tanC/2, khi đó ta có
Khi đó : mặt khác :   nên:
    (1)
Tương tự ta có:
Nhân vế theo vế (1) (2) và (3) ta được đpcm
Ví dụ 2.4.8
CMR với mọi tam giác ABC ta có
  (1)
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho ta có
(1)ó
Theo BCS thì :
Lại có và suy ra
(1)+(2) suy ra:
=>dpcm
Ví dụ 2.4.9:
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :
Lời giải :
Ta có
  (1)
Lại theo AM-GM:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
Suy ra đpcm
Ví dụ 2.4.10
CMR trong mọi tam giác ABC có
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
  (1)
Áp dụng công thức hình chiếu ta có:
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:
*
Vế phải của bất đẳng thức * tương đương với :
  **
Lại theo bất đẳng thức Cauchy :
Mà 
Nên 
Suy ra đpcm
2.5.  Tận  dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 2.5.1
CMR với 
Lời giải:
Xét  với 
Xét  với 
nghịch biến trên khoảng đó đpcm
Ví dụ 2.5.2
CMR  với 
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
 
Xét 
 đồng biến trong khoảng đó 
cũng đồng biến trong khoảng đó đpcm
Ví dụ 2.5.3
CMR nếu a là góc nhọn hay a=0 ta có :
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
Do đó ta cần chứng minh : sina +tana >2a với 0<a<
Xét  với 
Ta có
đồng biến trên khoảng đó  với 
( dấu đẳng thức xảy ra khi a=0)
Ví dụ 2.5.4
CMR trong mọi tam giác ABC đều có
Lời giải
Bất đẳng  thức cần chứng minh tương đương với :
Đặt t=cosA+cosB+cosC   =>1<t
Xét hàm đặc trưng  với 
Ta có  đồng biến trên khoảng đó
đpcm
Ví dụ 2.5.5
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3.CMR:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
Do a,b,c có vai trò như nhau nên ta giả sử 
Theo giả thiết a+b+c=3
Thực hiện biến đổi:
Vì 
Và 
Do đó :
Xét  với 
 đồng biến trên khoảng đó
 đpcm
Ví dụ 2.5.6
Cho tam giác ABC bất kì .CMR:
Lời giải
Ta có :
Do đó 
Mặt khác :
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  (1)
Đặt 
Khi đó (1)  trở thành :
Xét  với  đpcm
Ví dụ 2.5.7
cho tam giác ABC .CMR :
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử .Ta có :
Xét:
 
Do 
Mà cosC > 0
Mặt khác ta có:
Xét  với 
 
 đồng biến trên khoảng đó  đpcm
Ví dụ 2.5.8.
Cho tam giác ABC bất kì CMR:
Lời giải :
 Xét  với 
Thay x bởi B,C trong dấu đẳng thức trên ta đươc đpcm
2.6. Bài tập: