Bất đẳng thức lượng giác - Chương 1

Trang chủ » Bất đẳng thức lượng giác – Chương 1 – Các công thức cơ bản

Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, bất đẳng nói chung và bất đẳng thức lượng giác nói riêng là một phần quan trọng trong toán phổ thông cũng như toán chuyên.Và hôm nay chúng em mang đến quyển chuyên đề này không ngoài mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức và khả năng làm toán. Không chỉ dừng lại ở các bài toán về bất đẳng thức lượng giác, quyển chuyên đề còn bàn đến những ứng dụng to lớn của bất đẳng thức lượng giác vào việc giải một số bài toán hay có liên quan.

Quyển chuyên đề được trình bày theo 3 chương : các bước đầu cơ sở, các phương pháp chứng minh và một số bài toán áp dụng.

Chương I: Các bước đầu cơ sở

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức cơ bản cần có để chứng minh bất đẳng thức lượng giác. Trước hết là các bất đẳng thức đại số ( Cauchy, B.C.S,…).Tiếp theo là các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác. Cuối cùng là một số định lý khác,công cụ đắc lực trong chứng minh bất đẳng thức( định lý về dấu tam thức bậc hai, định lý hàm tuyến tính,…).

1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản :

a)Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):

Với mọi số thực không âm ta luôn có:

Ví dụ 1:

Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR:

Lời giải:

Vì

Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương.

Theo Cauchy ta có:

Đẳng thức xảy rađều.

Ví dụ 2 :

Cho nhọn. CMR :

Lời giải:

Ta luôn có:

Khi đó:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đều.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi nhọn ta có:

Lời giải:

Ta có:

Theo Cauchy:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế ta được:

Đpcm.

b)Bất đẳng thức Bunhiacốpxki:

Với 2 bộ số và ta luôn có:

Nhận xét:

-Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các biến là số thực.

-Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: CMR với mọi ta có:

Lời giải:

Ta có:

(1)

Theo Bunhiacốpxki ta có:

(2)

Áp dụng (2) ta có:

(3)

Thay (3) vào (1) ta được:

(4)

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b:

(5)

Thật vậy:

(5)

(6)

Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng (5) đúng với mọi a,b.

Từ (1) và (5) : với mọi ta có:

Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra

Ví dụ 2:

CMR với mọi ta có:

với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong tới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác.

Lời giải:

Ta có:

Theo Bunhiacốpxki thì:

mà , ,

Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều và M là tâm đường tròn nội tiếp.

c) Bất đẳng thức Jensen:

Cho thỏa mãn . Khi đó với mọi ta có bất đẳng thức sau:

-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng với mọi ta có

Lời giải:

Xét với là hàm lồi. Theo Jensen ta có:

Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng với mọi đều ta có:

Lời giải:

Xét vớilà hàm lồi. Theo Jensen ta có:

Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi ta có:

Lời giải:

Xét với là hàm lồi. Theo Jensen ta có:

Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.

d) Bất đẳng thức Chebyshev:

Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều và ta có:

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng với mọi ta có

Lời giải:

Không mất tổng quát giả sử

Theo Chebyshev thì

Đẳng thức xảy ra khi đều.

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng với mọi ta có

Lời giải:

Không mất tổng quát giả sử

Theo Chebyshev ta có:

Mà Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi ta có

Lời giải:

Không mất tổng quát giả sử

Theo Chebyshev ta có:

Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.

2.Các đẳng thức, bất đẳng thức cơ sở trong tam giác:

Đây là các đẳng thức và bất đẳng thức quen thuộc rất cần thiết cho việc chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác cũng như trong các ứng dụng của chúng. Ta cũng có thể xem đây như là một phần kiến thức cơ sở cần cho quá trình học toán của chúng ta.

a) Đẳng thức:

ii.

iii.

iv.

vi.

vii.

viii.

ix.

xi.

xii.

xiii.

xiv.

b) Bất đẳng thức:

ii.

iii.

iv.

vi.

vii.

viii.

ix.

3. Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức và

-Nếu thì cùng dấu với hệ số , với mọi số thực.

-Nếu thì có 2 nghiệm và giả sử thì cùng dấu với với mọi x ở ngoài đoạn (tức là hay ) và trái dấu với khi x ở trong khoảng 2 nghiệm (tức là )

Trong một số truờng hợp, định lý này là một công cụ rất có hiệu quả trong chứng minh bất đẳng thức. Ta sẽ đặt biểu thức cần chứng minh là 1 tam thức bậc hai theo 1 biến sau đó xét biệt thức . Ta sẽ thuờng thấy truờng hợp mà ít khi thấy.

Ví dụ 1:

CMR và bất kì ta có:

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng với:

Coi đây như là tam thức bậc hai theo biến x:

Vậy bất đẳng thức trên đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Tức là 3 cạnh của tam giác tương đương với .

Ví dụ 2:

CMR và bất kì ta có:

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng với:

Vậy bất đẳng thức trên đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 3:

CMR trong mọi ta đều có:

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng với

Vậy bất đẳng thức đã đuợc chứng minh xong.

Ví dụ 4:

Cho bất kì. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Đặt

Do đó là nghiệm của phuơng trình:

Xét . Để tồn tại nghiệm thì:

Đpcm.

Ví dụ 5:

CMR ta có:

Lời giải:

Đặt

Khi đó là nghiệm của phương trình:

Đpcm.

4.Định lý về hàm tuyến tính:

Xét hàm xác định trên đoạn

Nếu

thì .

Khi mà bất đẳng thức Cauchy đã bó tay, Bunhiacốpxki trở nên vô dụng thì đó là lúc định lý về hàm tuyến tính phát huy sức mạnh của mình. Định lý về hàm tuyến tính cũng là lối ra cho nhiều bất đẳng thức khó.

Ví dụ 1:

Cho là những số thực không âm thỏa

CMR:

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Xét với

Khi đó

(vì )

Vậy Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2:

CMR không âm ta có:

Lời giải:

Đặt ;; . Khi đó bài toán trở thành:

Chứng minh với

Không mất tổng quát giả sử

Xét với

Ta có,

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra.

-Điều ta nên chú ý khi giải bất đẳng thức lượng giác bằng phương pháp này là dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra phải phù hợp với tập xác định của hàm lượng giác.

5. Bài tập:

Cho tam giác ABC. CMR:

i. với tam giác ABC nhọn.