Giá Trị Lớn Nhất Của Biểu Thức; Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức

Trang chủ » Giá Trị Lớn Nhất Của Biểu Thức; Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức

A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – Giá Trị Lớn Nhất, GTLN – Giá Trị Nhỏ Nhất CỦA HÀM SỐ

1. Các kiến thức cơ bản

Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số

Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu :

Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu :

2. Các kĩ năng cơ bản

Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) trên một khoảng, một đoạn

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b)

– Tính đạo hàm f’(x).

– Tìm các nghiệm , , …, của f’(x) trên (a;b).

– Lập bảng biến thiên của f(x) trên (a,b).

Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của f(x) trên (a;b)

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]

– Tính đạo hàm f’(x).

– Tìm các nghiệm , , …, của f’(x) trên [a;b].

– Tính , , , …, .

Chọn số M lớn nhất trong n+2 số trên .

Chọn số m nhỏ nhất trong n+2 số trên .

3. Hệ thống bài tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN,

GTNN của hàm số.

Dạng 1. Khảo sát trực tiếp

Nếu hàm số y=f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản , ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.

Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, HS cần có các kĩ năng sau:

– Tính f’(x) chính xác.

– Biết cách tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0.

– Biết cách lập bảng biến thiên của f(x) trên D để rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.

Bài 1.Tìm GTNN, GTLN của hàm số

Lời giải

TXĐ D=[-2,2]

; y’=0 x=

y(-2)=-2 ; y(2)= 2 ; y()=2

Vậy ;

Bài 2.Tìm GTNN, GTLN của hàm số

y = trên đoạn .

Lời giải

Ta có : = 0 x=1.

Do y(-1) = 0, y(1) = , y(2) = nên

= y(1) = , = y(-1) = 0.

Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số

Lời giải

; ;

Bảng biến thiên

t	– +
y’	+ 0 – 0 +
y	9 1 1 -1

Vậy khi ; khi

Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số

với

Lời giải

Do k=0x=0.

; ;

Vậy Miny=4 ; Maxy =

Bài 5. Tìm GTNN của

Lời giải

;

Bảng biến thiên

x	– +
y’	– 0 +
y	+ +

Vậy khi

Dạng 2. Khảo sát gián tiếp

Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp nhiều khó khăn , chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x). Do đó thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau:

– Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t).

– Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…)

– Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số.

Để giải quyết tốt dạng toán này HS cần phải có những kĩ năng sau:

– Kĩ năng chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp sao cho hàm số ban đầu có thể qui hết về biến t.

– Kĩ năng tìm điều kiện của ẩn phụ : Để tìm điều kiện của t, tùy theo từng bài toán cụ thể ta có thể dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp…

Bài 6. Tìm GTNN , GTLN của , xR

Lời giải

Do nên ta qui S về cos2x

S==

Đặt t= cos2x ,

Bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số

với

Ta có ; g’(t) = 0 1-t =2t

g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g()=

Vậy MinS= ; MaxS= 3

Bài 7: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=

Lời giải

Hàm số xác định với và y>0 với, do đó y đạt GTNN, GTLN đồng thời với đạt GTNN, GTLN.

Ta có: y²=

Đặt t= sinx+ cosx = = t

Thì y²= f(t) = =

Vậy với

Bảng biến thiên:

t	1
f’(t)		– 0 +
f(t)		1

Từ bảng biến thiên ta có

= 4+2 ; = 1

;

Bài 8. Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải

Nhận xét : Ta quy S về hết

Ta có

Đặt . Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số với

. Vậy ;

Bài luyện tập 1. Tìm GTNN , GTLN của biểu thức sau:

Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

Lời giải

Điều kiện

Đặt

Ta có

Tìm điều của t:

Xét hàm số với

; x=0

;

S là hàm nghịch biến trên

Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau:

với

Bài 10. Tìm GTNN, GTLN của với

Lời giải

Nhận xét:

i, với mọi

ii, Để tìm GTNN, GTLN của S ta tìm GTNN, GTLN của (vì khi đó có thể quy hết về hoặc ).

Ta có

Đặt (0t1). Khi đó

;

Vậy Min S =0 ;

Bài luyện tập. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

với

Bài 11. Tìm GTNN, GTLN của hàm số :

, với x R

Lời giải

Nhận xét :

Do đó ta đưa y về hết sin2x

Do đó y =+2()+sin2x-5

Đặt . Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số với

Ta có

Do đó ;

Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của hàm số :

, với x R

Bài 12. Tìm GTNN, GTLN của hàm số

Lời giải

Ta có

Đặt

Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số

với

;

; ; ;

Vậy ;

Bài 13. Tìm GTNN của hàm số với .

Lời giải

Ta có

Đặt

Khi đó

Xét hàm số với

x	– -4 -3 +
g’(x)		– 0 +
g(x)		-8 + -9

Suy ra

Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số với .

Ta có

Bảng biến thiên

t	– -9 -4 +
y’		– 0 +
y		14 + -11

Vậy Miny=-11.

Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số khi đề bài có nhiều hơn hai biến ta phải tìm cách qui về một biến , sau đó tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới.

Sau đây là các bài toán minh họa

Bài 14. Tìm GTNN, GTLN của

Lời giải

Vì tử số và mẫu số của S là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 và y0 để chia tử số và mẫu số của S cho , sau đó chuyển về biến số .

TH1: y= 0

TH2: . Chia cả tử số và mẫu số của S cho ta được :

Đặt . Khi đó

;

Bảng biến thiên

t	– +
S’	– 0 + 0 –
S

Kết hợp TH1 và TH2 ta có : S

Vậy MinS = khi ; Max S = khi

Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:

Bài 15. Cho . Tìm GTNN của

Lời giải

Đặt . Ta có ( Theo Cô Si )

với mọi t2

Bảng biến thiên của y’(t)

t	– -2 2 +
y’’(t)	+	+
y’(t)	-11 –	+ 13

Suy ra với ; với

Bảng biến thiên của f(t)

t	– -2 2 +
y’(t)	–	+
y	– -2	+ 2

Vậy Miny=-2 ; Maxy=2 .

Nhận xét

i, Đặt giúp ta chuyển y về hết biến t.

ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của y’ trên các khoảng và .

Bài 16. Cho x, y, z > 0 và x +y+z 1. Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải

Nhận xét: Ta quy S về “ x+ y +z ”

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:

Vậy

Đặt t= x+y+z

Khi đó ;

f(t) nghịch biến trên (0;1]

Bài 17. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải

Ta có

Trong tam giác ABC ta có

Ta đánh giá các biểu thức theo với

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:

Vậy

với mọi

Bảng biến thiên

t		0
f’(t)		–
P=f(t)		+

Vậy

Bài 18: Cho và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

P = .

Lời giải

Do và x + y = 1 y = 1- x và Ta có P = = .

Đặt t = 3^x . Khi đó với .

Bảng biến thiên

t	1 3
f’(t)		– 0 +
f(t)		4 10

Từ bảng biến thiên ta có maxP = 10 3^x = 3

minP = 3^x =

Bài 19: Cho và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

P =.

Lời giải

Ta có: P ===.

Đặt xy = t , vì x+ y =1,

Khi đó P = f(t) = với .

Do với nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn maxP = f(0) = 1 khi t = xy = 0

minP = f() = khi t = x = y = .

Trong các kì thi chọn HS giỏi thường có bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có nhiều biến phụ thuộc lẫn nhau. Để giải những bài toán dạng này ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số…