A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – Giá Trị Lớn Nhất, GTLN – Giá Trị Nhỏ Nhất CỦA HÀM SỐ
1. Các kiến thức cơ bản
Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu : 
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu : 
2. Các kĩ năng cơ bản
Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) trên một khoảng, một đoạn
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b)
– Tính đạo hàm f’(x).
– Tìm các nghiệm 
, 
, …, 
của f’(x) trên (a;b).
, , …, của f’(x) trên (a;b).
– Lập bảng biến thiên của f(x) trên (a,b).
Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của f(x) trên (a;b)
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]
– Tính đạo hàm f’(x).
– Tìm các nghiệm , , …, của f’(x) trên [a;b].
, , …, của f’(x) trên [a;b].
– Tính 
, 
, 
, …, 
.
, , , …, .
Chọn số M lớn nhất trong n+2 số trên 
.
.
Chọn số m nhỏ nhất trong n+2 số trên 
.
.
3. Hệ thống bài tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN,
GTNN của hàm số.
Dạng 1. Khảo sát trực tiếp
Nếu hàm số y=f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản , ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.
Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, HS cần có các kĩ năng sau:
– Tính f’(x) chính xác.
– Biết cách tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0.
– Biết cách lập bảng biến thiên của f(x) trên D để rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.
Bài 1.Tìm GTNN, GTLN của hàm số 
Lời giải
TXĐ D=[-2,2]
; y’=0 
x=
y(-2)=-2 ; y(2)= 2 ; y()=2
)=2
Vậy 
; 
;
Bài 2.Tìm GTNN, GTLN của hàm số
y =
trên đoạn 
.
trên đoạn .
Lời giải
Ta có : 
= 0 
x=1.
= 0 x=1.
Do y(-1) = 0, y(1) = 
, y(2) = 
nên
, y(2) = nên
= y(1) = , 
= y(-1) = 0.
Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số 
Lời giải
; 
; 
Bảng biến thiên
|
t
|
–
   + |
|
y’
|
+ 0 – 0 +
|
|
y
|
   9 1
1 -1
|
Vậy 
khi ; 
khi
khi ; khi
Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số
với 
Lời giải
*) 
Do 
k=0x=0.
k=0x=0.
*) 
Do
; 
; 
Vậy Miny=4 ; Maxy =
Bài 5. Tìm GTNN của 
Lời giải
; 
Bảng biến thiên
|
x
|
–
 + |
|
y’
|
– 0 +
|
|
y
|
  + + |
Vậy 
khi 
khi
Dạng 2. Khảo sát gián tiếp
Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp nhiều khó khăn , chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x). Do đó thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau:
– Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t).
– Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…)
– Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số.
Để giải quyết tốt dạng toán này HS cần phải có những kĩ năng sau:
– Kĩ năng chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp sao cho hàm số ban đầu có thể qui hết về biến t.
– Kĩ năng tìm điều kiện của ẩn phụ : Để tìm điều kiện của t, tùy theo từng bài toán cụ thể ta có thể dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp…
Bài 6. Tìm GTNN , GTLN của 
, x
R
, xR
Lời giải
Do 
nên ta qui S về cos2x
nên ta qui S về cos2x
S=
= 
=
Đặt t= cos2x , 
Bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 
với
Ta có 
; g’(t) = 0 
1-t =2t 
; g’(t) = 0 1-t =2t
g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g(
)=
)=
Vậy MinS= ; MaxS= 3
; MaxS= 3
Bài 7: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y= 
Lời giải
Hàm số xác định với 
và y>0 với
, do đó y đạt GTNN, GTLN đồng thời với 
đạt GTNN, GTLN.
và y>0 với, do đó y đạt GTNN, GTLN đồng thời với đạt GTNN, GTLN.
Ta có: y2= 
Đặt t= sinx+ cosx = 
= t 
= t
Thì y2= f(t) = 
= 
=
= 
Vậy 
với 
với 
Bảng biến thiên:
|
t
|
  1  |
||
|
f’(t)
|
|
– 0 +
|
|
|
f(t)
|
|
   
1
|
|
Từ bảng biến thiên ta có
= 4+2 ; 
= 1
; 
Bài 8. Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
Nhận xét : Ta quy S về hết 
Ta có 
Đặt 
. Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 
với 
. Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số với 
. Vậy 
; 
Bài luyện tập 1. Tìm GTNN , GTLN của biểu thức sau:
Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
Lời giải
Điều kiện 
Đặt 
Ta có 
Tìm điều của t:
Xét hàm số 
với 
với 
; 
x=0
; 
S là hàm nghịch biến trên 
Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau:
với 
Bài 10. Tìm GTNN, GTLN của 
với 
với
Lời giải
Nhận xét:
i, 
với mọi
với mọi
ii, Để tìm GTNN, GTLN của S ta tìm GTNN, GTLN của 
(vì khi đó có thể quy hết về hoặc 
).
(vì khi đó có thể quy hết về hoặc ).
Ta có 
= 
Đặt (0
t1). Khi đó 
(0t1). Khi đó 
; 
Vậy Min S =0 ; 
Bài luyện tập. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
với 
Bài 11. Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
, với x R
Lời giải
Nhận xét : 
Do đó ta đưa y về hết sin2x
Do đó y =
+2(
)+sin2x-5
+2()+sin2x-5
Đặt 
. Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 
với
. Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số với 
Ta có 
Do đó 
; 
;
Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
, với x R
Bài 12. Tìm GTNN, GTLN của hàm số
Lời giải
Ta có 
Đặt
Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số
với 
; 
; 
; 
; 
Vậy 
; 
;
Bài 13. Tìm GTNN của hàm số 
với 
.
với .
Lời giải
Ta có 
Đặt 
Khi đó 
Xét hàm số 
với
với 
|
x
|
–
-4 -3 + |
|
|
g’(x)
|
|
– 0 +
|
|
g(x)
|
|
  -8 +
-9
|
Suy ra 
Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số với .
với .
Ta có 
Bảng biến thiên
|
t
|
–
-9 -4 + |
|
|
y’
|
|
– 0 +
|
|
y
|
|
14 +
-11
|
Vậy Miny=-11.
Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số khi đề bài có nhiều hơn hai biến ta phải tìm cách qui về một biến , sau đó tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới.
Sau đây là các bài toán minh họa
Bài 14. Tìm GTNN, GTLN của 
Lời giải
Vì tử số và mẫu số của S là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 và y
0 để chia tử số và mẫu số của S cho , sau đó chuyển về biến số 
.
0 để chia tử số và mẫu số của S cho , sau đó chuyển về biến số .
TH1: y= 0 
TH2: 
. Chia cả tử số và mẫu số của S cho ta được : 
. Chia cả tử số và mẫu số của S cho ta được :
Đặt . Khi đó 
. Khi đó 
; 
Bảng biến thiên
|
t
|
–
  + |
|
S’
|
– 0 + 0 –
|
|
S
|
     |
Kết hợp TH1 và TH2 ta có : S
S
Vậy MinS = khi 
; Max S = khi 
khi ; Max S = khi
Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:
a, 
b, 
Bài 15. Cho 
. Tìm GTNN của 
. Tìm GTNN của
Lời giải
Đặt 
. Ta có 
( Theo Cô Si )
. Ta có ( Theo Cô Si ) 
= 
với mọi t
2
Bảng biến thiên của y’(t)
|
t
|
–
-2 2 + |
||
|
y’’(t)
|
+
|
|
+
|
|
y’(t)
|
 -11
–
|
|
 +
13
|
Suy ra 
với 
; 
với 
với ; với
Bảng biến thiên của f(t)
|
t
|
–
-2 2 + |
||
|
y’(t)
|
–
|
|
+
|
|
y
|
 –
-2
|
|
+
2
|
Vậy Miny=-2 ; Maxy=2 .
Nhận xét
i, Đặt giúp ta chuyển y về hết biến t.
giúp ta chuyển y về hết biến t.
ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của y’ trên các khoảng 
và 
.
và .
Bài 16. Cho x, y, z > 0 và x +y+z 1. Tìm GTNN của biểu thức
1. Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải
Nhận xét: Ta quy S về “ x+ y +z ”
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:
Vậy 
Đặt t= x+y+z 
Khi đó 
; 
; f(t) nghịch biến trên (0;1] 
Bài 17. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải
Ta có 
Trong tam giác ABC ta có 
Ta đánh giá các biểu thức theo 
với 
với
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có: 
Vậy 
với mọi
Bảng biến thiên
|
t
|
|
0
 |
|
|
f’(t)
|
|
–
|
|
|
P=f(t)
|
|
 +  |
|
Vậy 
Bài 18: Cho 
và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
P = 
.
.
Lời giải
Do 
và x + y = 1 y = 1- x và 
Ta có P = = 
.
và x + y = 1 y = 1- x và Ta có P = = .
Đặt t = 3x 
. Khi đó 
với 
.
. Khi đó với .
Bảng biến thiên
|
t
|
1  3 |
||
|
f’(t)
|
|
– 0 +
|
|
|
f(t)
|
|
  4 10 |
|
Từ bảng biến thiên ta có maxP = 10 3x = 3 
3x = 3
minP = 
3x = 
3x =
Bài 19: Cho và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
P =
.
.
Lời giải
Ta có: P ==
=
.
==.
Đặt xy = t , vì x+ y =1, 
Khi đó P = f(t) = 
với .
với .
Do 
với 
nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn 
maxP = f(0) = 1 khi t = xy = 0 
với nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn maxP = f(0) = 1 khi t = xy = 0
minP = f(
) =
khi t = x = y = 
.
) = khi t = x = y = .
Trong các kì thi chọn HS giỏi thường có bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có nhiều biến phụ thuộc lẫn nhau. Để giải những bài toán dạng này ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số…
Bài 20. Cho miền 
Tìm GTNN của hàm số 
Lời giải
Đặt u=1-x ; v=1-y 
Coi u là ẩn , v là tham số . Ta có
Bảng biến thiên
|
u
|
–
0  1 + |
||
 |
|
+ 0 –
|
|
 |
|
  
0
 |
|
Vì 
nên 
nên
Vậy Min=-2 
=-2
Suy ra Minf(x,y)=-2 
Bài 21. Cho hàm số 
trên miền
trên miền
Tìm GTNN, GTLN của f(x,y,z)
Lời giải
*) Tìm GTNN của f(x,y,z)
Giả sử 
Xét hàm số 
với 
với 
|
z
|
–
0 1 + |
||
|
F’(z)
|
|
+
|
|
|
F(z)
|
|
   |
|
Vậy Max f(x,y,z) = 
*) Tìm Min f(x,y,z)
Xét 
Giả sử 
Bảng biến thiên
|
z
|
–
0  1 + |
||
|
G’(z)
|
|
+ 0 –
|
|
|
G(z)
|
|
   |
|
Vì 
; 
Vậy Min f(x,y,z)=0 
Bài luyện tập 1: Cho 
và x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức:
và x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức:
Bài luyện tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn 
Tìm GTLN của biểu thức 
Bài 22. Cho x, y, z >0 thỏa mãn 
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức 
( Đề thi chọn HSG QG năm 2004 )
Lời giải
Đặt 
Ta biểu diễn S theo 
. Căn cứ vào đề bài, tìm miền biến thiên của 
. Sau đó ta khảo sát để tìm GTNN, GTLN của S.
. Căn cứ vào đề bài, tìm miền biến thiên của . Sau đó ta khảo sát để tìm GTNN, GTLN của S.
*) Ta biểu diễn theo z
theo z
*) Ta tìm miền biến thiên của z
Do 
|
z
|
–
 2  + |
|||
|
z-2
|
–
|
– 0 +
|
+
|
|
 |
+ 0 –
|
– 0 +
|
||
|
VT
|
–
|
+
|
–
|
+
|
Vậy 
Từ giả thiết suy ra 
Do đó 
Xét 
với
với 
Bảng biến thiên
|
z
|
–
 1  2 + |
||
 |
0
|
– 0 + 0 –
|
|
|
|
|
   
5 5
|
|
Suy ra 
Khi đó 
=
=
=
= 
=
=
. Bảng biến thiên|
|
|
5
|
|
|
f’(
) |
|
–
|
|
|
f(
) |
|
18  |
|
Vậy MinS= ; MaxS=18.
; MaxS=18.
Để rèn luyện kĩ năng giải các bài toán dạng trên, ta có bài toán sau:
Bài luyện tập: Cho x, y, z >0 thỏa mãn
Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:
a, 
b, 
c, 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tìm GTNN của hàm số:
( 
)
Bài 2. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
( 
)
Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
( 
)
Bài 5. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
Bài 6. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
với x, y 0 và x+y=1
Bài 7. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
với 
Bài 8. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
với 
