A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – Giá Trị Lớn Nhất, GTLN – Giá Trị Nhỏ Nhất CỦA HÀM SỐ

1. Các kiến thức cơ bản

Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số

Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu : 

Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu : 

2. Các kĩ năng cơ bản 

Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) trên một khoảng, một đoạn

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b)

– Tính đạo hàm f’(x).

– Tìm các nghiệm , …, của f’(x) trên (a;b).

– Lập bảng biến thiên của f(x) trên (a,b).

Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của f(x) trên (a;b)

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]

– Tính đạo hàm f’(x).

– Tìm các nghiệm , …, của f’(x) trên [a;b].

– Tính , …, .

Chọn số M lớn nhất trong n+2 số trên .

Chọn số m nhỏ nhất trong n+2 số trên .

 3. Hệ thống bài tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN,

            GTNN của hàm số.


Dạng 1. Khảo sát trực tiếp

Nếu hàm số y=f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản , ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.

          Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, HS cần có các kĩ năng sau:

– Tính f’(x) chính xác.

– Biết cách tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0.

– Biết cách lập bảng biến thiên của f(x) trên D để rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.

Bài 1.Tìm GTNN, GTLN của hàm số 

          Lời giải

          TXĐ D=[-2,2]

           ; y’=0   x=

          y(-2)=-2 ; y(2)= 2 ; y()=2

          Vậy 

Bài 2.Tìm GTNN, GTLN của hàm số

y =  trên đoạn  .

          Lời giải

          Ta có :  = 0  x=1.

          Do    y(-1) = 0,  y(1) = ,  y(2) =    nên

                   = y(1) = ,    = y(-1) = 0.

Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số   

          Lời giải  

            

Bảng biến thiên
      t
                                                  +
      y’
         +         0          –            0           +               
      y
                     9                                            1
 1                                         -1                                                                                                                 


          Vậy  khi  khi  

Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số

                    với 

          Lời giải

          

          

          *) 

Do  k=0x=0.

          *) 

Do

          

          

          Vậy Miny=4 ; Maxy =

Bài 5. Tìm GTNN của  

          Lời giải

           ; 

Bảng biến thiên

      x
                                      +
      y’
             –            0             +               
      y
+                                                 +
                                                                                   

          Vậy  khi 



Dạng 2. Khảo sát gián tiếp

Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp nhiều khó khăn , chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x). Do đó thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau:

– Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t).

– Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…)

– Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số.

          Để giải quyết tốt dạng toán này HS cần phải có những kĩ năng sau:

          – Kĩ năng chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp sao cho hàm số ban đầu có thể qui hết về biến t.

          – Kĩ năng tìm điều kiện của ẩn phụ : Để tìm điều kiện của t, tùy theo từng bài toán cụ thể ta có thể dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp…

Bài 6. Tìm GTNN , GTLN của  , xR

Lời giải

          Do  nên ta qui S về cos2x

          S=

          Đặt t= cos2x , 

          Bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 

                                                                                                  với 

Ta có  ; g’(t) = 0  1-t =2t 

                     g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g()=

                   Vậy MinS=  ; MaxS= 3  

Bài 7: Tìm GTNN, GTLN của hàm số    y=     

          Lời giải

          Hàm số xác định với và y>0 với, do đó y đạt GTNN, GTLN đồng thời với đạt GTNN, GTLN.

          Ta có:  y2

          Đặt t= sinx+ cosx = = t  

          Thì  y2= f(t) =  = 

                             = 

          Vậy        với   

                    

Bảng biến thiên:  
     t
                          1                              
    f’(t)
         –        0         +
     f(t)
                        
    
                   
                  1          


Từ bảng biến thiên ta có

= 4+2 ;    = 1

;   

Bài 8. Tìm GTNN của biểu thức 

          Lời giải

          Nhận xét : Ta quy S về hết 

          Ta có 

Đặt  . Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số   với 

                

            

          . Vậy  

Bài luyện tập 1. Tìm GTNN , GTLN của biểu thức sau:

          

Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

          

Lời giải

Điều kiện 

Đặt  

                                       

Ta có 

Tìm điều của t:

Xét hàm số  với 

                     ;  x=0

          

   

  S là hàm nghịch biến trên 


Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau:

           với 

Bài 10. Tìm GTNN, GTLN của  với 

          Lời giải

Nhận xét:

          i,  với mọi  

          ii, Để tìm GTNN, GTLN của S ta tìm GTNN, GTLN của (vì khi đó  có thể quy hết về  hoặc ).

          Ta có 

                       = 

Đặt  (0t1). Khi đó 




   

Vậy Min S =0 ;  

Bài luyện tập. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

           với 

Bài 11. Tìm GTNN, GTLN của hàm số :

, với x R

Lời giải

Nhận xét :  

                  

                   Do đó ta đưa y về hết sin2x 

Do đó y =+2()+sin2x-5

           

Đặt  . Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số   với 

          

          Ta có 

          Do đó 

Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của hàm số :

, với x R

Bài 12. Tìm GTNN, GTLN của hàm số

          

Lời giải

Ta có 

             

              

Đặt  

Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số

 với 

           ; 

           ;  ; 

          Vậy  ; 

Bài 13. Tìm GTNN của hàm số  với .

          Lời giải

          Ta có 

Đặt 

Khi đó 

Xét hàm số  với  

          
      x
           -4                -3                +
     g’(x)
 –       0         +               
      g(x)
     
 -8                              +
                                   
               -9                                   

         

Suy ra  

Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số  với .

Ta có 

Bảng biến thiên
      t
           -9                -4                +
      y’
 –       0         +               
      y
     
 14                             +
                                   
              -11                                   

Vậy Miny=-11.

Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số khi đề bài có nhiều hơn hai biến ta phải tìm cách qui về một biến , sau đó tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới.

Sau đây là các bài toán minh họa

Bài 14. Tìm GTNN, GTLN của 

          Lời giải

Vì tử số và mẫu số của S là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 và y0 để chia tử số và mẫu số của S cho , sau đó chuyển về biến số .

TH1: y= 0  

TH2: . Chia cả tử số và mẫu số của S cho  ta được : 

Đặt . Khi đó 

 ; 

Bảng biến thiên
      t
                                  +
      S’
         –          0          +           0           –               
      S
                                                              
                                                       

Kết hợp TH1 và TH2 ta có :  S 

Vậy MinS =  khi  ; Max S =  khi  

Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:

                   a, 

                   b, 

Bài 15. Cho . Tìm GTNN của    

          Lời giải

Đặt . Ta có  ( Theo Cô Si )

   

 

       

        với mọi t2

Bảng biến thiên của y’(t)
      t
                   -2                  2                   +
     y’’(t)
            +
         +              
     y’(t)
                  -11
     +
13

         

Suy ra  với   ;   với 

Bảng biến thiên của f(t)
      t
                 -2                   2                    +
     y’(t)
          –             
          +
      y
                 -2 
    +
2

          Vậy Miny=-2  ;   Maxy=2 .

          Nhận xét

          i, Đặt  giúp ta chuyển y về hết biến t.

          ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của y’ trên các khoảng  và .

Bài 16. Cho x, y, z > 0 và x +y+z 1. Tìm GTNN của biểu thức

                   

          Lời giải 

          Nhận xét: Ta quy S về “ x+ y +z ”

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

            

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:

          

          Vậy 

          Đặt t= x+y+z  

          Khi đó ;   

             f(t) nghịch biến trên (0;1]  

Bài 17. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của biểu thức

          

          Lời giải

          Ta có 

          Trong tam giác ABC ta có 

          Ta đánh giá các biểu thức theo  với 

          Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có: 

          Vậy 

          với mọi 

Bảng biến thiên
      t
                          
0                   
      f’(t)
    –
    P=f(t)
                                                      
+         
                        

Vậy   

Bài 18: Cho  và   x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

P = .

          Lời giải

          Do  và  x + y = 1  y = 1- x  và  Ta có P =  = .

Đặt t = 3x  .  Khi đó     với   .

 

 Bảng biến thiên
       t
            1                            3              
       f’(t)
      –        0        +
       f(t)
4                         10
              


Từ bảng biến thiên ta có maxP = 10   3x = 3  

minP =    3x =  

Bài 19: Cho  và  x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

P =.

Lời giải

Ta có: P ===.

Đặt  xy = t , vì x+ y =1,   

Khi đó P = f(t) =   với .

Do  với  nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn  maxP = f(0) = 1 khi t = xy = 0 

                minP = f() = khi t =  x = y = .

Trong các kì thi chọn HS giỏi thường có bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có nhiều biến phụ thuộc lẫn nhau. Để giải những bài toán dạng này ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số…

Bài 20. Cho miền 

          Tìm GTNN của hàm số 

          Lời giải

          

Đặt u=1-x ; v=1-y 

           

          Coi u là ẩn , v là tham số . Ta có

          

          

Bảng biến thiên
      u
          0                                   1         +
   
         +      0       –
    
                  
0                     

Vì    nên   

          Vậy Min=-2  

          Suy ra Minf(x,y)=-2 

Bài 21. Cho hàm số  trên miền

          

          Tìm GTNN, GTLN của f(x,y,z)

          Lời giải

          *) Tìm GTNN của f(x,y,z)

          Giả sử 

 

               

Xét hàm số  với 

      z
          0                                       1        +
     F’(z)
                  +
     F(z)
                               
                     

Vậy Max f(x,y,z) =   

*) Tìm Min f(x,y,z)


              

Xét 

         

Giả sử 


          Bảng biến thiên
      z
          0                              1         +
     G’(z)
         +       0       –
    G(z) 
              
                       

 Vì                 

 ; 

Vậy Min f(x,y,z)=0 

Bài luyện tập 1: Cho  và x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức:

          

Bài luyện tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn 

           Tìm GTLN của biểu thức 




Bài 22. Cho x, y, z >0 thỏa mãn 

          Tìm GTNN, GTLN của biểu thức  

                   ( Đề thi chọn HSG QG năm 2004 )

          Lời giải

          Đặt 

Ta biểu diễn S theo . Căn cứ vào đề bài, tìm miền biến thiên của . Sau đó ta khảo sát  để tìm GTNN, GTLN của S.

*) Ta biểu diễn  theo z

          

*) Ta tìm miền biến thiên của z

          Do      
        z
               2           +
       z-2
       –            
      –    0      +     
       +
 
       +       0      –     
      –   0       +
       VT
        –
      +
      –
        +

                   Vậy 

                   Từ giả thiết suy ra 

                   Do đó 

Xét  với 


Bảng biến thiên

         
        z
                1                      2       +
       
                   0
      –     0        +       0     –
       
                   
                                                     
 5                           5

         

          Suy ra 

          Khi đó           

                                      

                                       =

                                       =            

                                       =

                                       = =

                    . Bảng biến thiên
      
                          
5                 
   f’()
     –
    f()
                                                      
18         
                    
                

Vậy MinS= ; MaxS=18.

Để rèn luyện kĩ năng giải các bài toán dạng trên, ta có bài toán sau:

Bài luyện tập: Cho x, y, z >0 thỏa mãn 

Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:

          a, 

          b, 

          c, 

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Tìm GTNN của hàm số:

 (  )

Bài 2. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

                   

Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

                    (  )

Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

                    (  )

Bài 5. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

                   

Bài 6. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

                    với x, y 0 và x+y=1

Bài 7. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

                    với 

Bài 8. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

                    

Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

                    với