VI/ DẠNG 6:CÁC BÀI TOÁN VÊ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ
1. Bài toán 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua
                       
Phương pháp:
Từ hàm số  ta đưa về dạng . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ phương trình .

Ví dụ 1: Cho hàm số . Chứng minh rằng  luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
LG:
    . Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua với mọi m
            y0= x03-3(m-1)x02-3mx0+2, mọi m
            (3x02+3x0)m+y0-x03-3x0-2=0, mọi m
            
Vậy  luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi là M(0; 2) và N(-1; -4)
* Bài tập tự luyện:
1.      Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị  luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
2.      Cho hàm số . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
3.      Chứng minh rằng đồ thị của hàm số  luôn đi qua ba điểm cố định.
2. Bài toán 2:  Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị
Điểm là tâm đối xứng của đồ thị  Tồn tại hai điểm M(x;y)  và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: 
Vậy  là tâm đối xứng của (C.
 Ví dụ 2 (ĐH Khối D2008): Cho hàm số x3 – 3x2 + 4  (1). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt IAB đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:                                 
          .y  2 = k(x  1) Û y = kx  k + 2.
          .Phương trình hoành độ giao điểm: x3  3x2 + 4 = kx  k + 2  Û x3  3x2  kx + k + 2 = 0.
          Û (x  1)(x2  2x  k  2) = 0 Û x = 1 Ú g(x) = x2  2x   2 = 0.
          Vì D‘ > 0 và g(1) ≠ 0 (do k >  3) và x1 + x2 = 2xI  nên có đpcm!.
* Bài tập tự luyện:
1.      Cho hàm số  có đồ thị .
Tìm giá trị của m để có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2.      Cho hàm số .
Định m để có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3.      Cho hàm số   (m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2.                                                 ĐS: a. Þ … m>0.
4.      Cho hàm số  có đồ thị . Tìm trên (C) hai điểm MN đối xứng nhau qua trục tung.
5.      Cho hàm số . Xác định abc để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1).
 3. Bài toán 3: Tìm điểm có toạ độ nguyên
Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số (C) các điểm có toạ độ là các số nguyên.
LG:
   . Giả sử M( là điểm có tọa độ là các số nguyên
   . Vì nên 
Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1(0; 2) và M2(-2;0)