V/ DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
  *  Kiến thức cơ bản:
 1. Cho 2 đồ thị (C1): y=f(x) và (C2): y=g(x)
           Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương trình: f(x)=g(x).
2. Số nghiệm của phương trình: f(x)=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng (d): y=m.
3. Số nghiệm của phương trình f(x)= 0 là số giao điểm của (C): y=f(x) và trục hoành.

1/ Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị                      
Ví  dụ 1:  Cho hàm số  .
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm m để phương trình:(1) có 4 nghiệm phân biệt.
LG:
a. Vẽ đồ thị (C)
                   
b. Từ đồ thị (C) ta có đồ thị (C’): y=
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C’) và đường thẳng (d): y=m. Dựa vào đồ thị ta có:
 (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m >3
Ví dụ 2:  Cho hàm số .
a. Khảo sát hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:  (2)
                   
LG:
(2) . Vậy số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị (C’): y= và đường thẳng (d): y=m.
 Dựa vào đồ thị ta có:
            + Nếu m< 0: (2) có 4 nghiệm phân biệt
            + Nếu m=0: (2) có 3 nghiệm phân biệt
            Nếu m>0 : (2) có 2 nghiệm phân biệt
2/ Bài toán 2: Tìm số giao điểm của 2 đồ thị bằng số nghiệm phương trình
Ví dụ 3:  Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m  cắt đồ thị (C):  tại 2 điểm phân biệt.
LG:
. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):  (1)
. (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt
* Đ/s: Giá trị m cần tìm: m-2.
3/ Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt
 *PP1: Đưa về pt: f(x)=g(m) => khảo sát hàm y=f(x)
Ví dụ 4:  Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
 LG:
   . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox:  x3 -3x2-9x+m = 0 x3 -3x2-9x=-m
   . Xét hàm số y=x3 -3x2-9x có:
          + y’=3x2 -6x-9 =3( x2 -2x-3)
          +y’=0x=-1 hoặc x=3
          + BBT:
x
–         -1                             3                             +                                                                               +
y’
       +      0       –                      0     +
y
               5                                                             +
                                                                                    
                                             -27
–                
Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 
* PP2: Đưa về pt: (x- x0 ).g(x)=0
Ví dụ 5(ĐH-A-2010): Tìm m để đồ thị hàm số y= x3-2x2+ (1-m)x+m (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3  thoả mãn: x12+ x22+ x32 <4
LG:
   . phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3-2x2+ (1-m)x+m =0 (1)
            (x-1)(x2 -x-m)=0 
(d) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  pt: f(x)=x2 -x-m=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác1
(*)
. Với m thoả mãn (*), (1) có 3 nghiệm: x1, x2 ,x3=1.
do đó x12+ x22+ x32 <4  (**)
. kết hợp (*) và (**) ta được giá trị m cần tìm là: -1/4<m<1, m0.
4/Bài toán 4: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Ví dụ 6: :  Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
LG:
. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox:  x3 -3x2-9x+m = 0(1)
=>) Giả sử (C ) cắt Ox tại 3  điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng =>(1) có 3 nghiệm
x1; x2; x3  lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó => x1+x3  =2x2 => x1 +x2+x3  =3x2 =3 => x2 =1
. Thay x2 =1 vào (1) ta được: m-11=0 hay m=11
<=) Thử lại với m=11: (1) có 3 nghiệm lập thành CSC là: 
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=11.
* Bài tập tự luyện:
1.      Cho hàm số  có đồ thị là (C).
     a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
       b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
2.      Cho hàm số .
a. Khảo sát hàm số trên khi  k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình  có nghiệm duy nhất.
3.      (ĐH Khối–D 2006): Cho hàm số .                                                           
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.                                                   ĐS: b. .
4.      (ĐH Khối–A 2004): Cho hàm số                        (1)                                                        a. Khảo sát hàm số (1).
            b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.
                         ĐS: b. .
5.      (ĐH Khối–A 2003): Cho hàm số                        (*) (m là tham số)                                a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=–1.
            b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có         hoành độ dương.
                        ĐS: b. .
6.      (ĐH Khối–A 2002): Cho hàm số y = – x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2  (1)   (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
             b. Tìm k để phương trình – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
             c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).    
7.      Tìm m để đồ thị hàm số y = – x3 – 3mx2 + 2m(m –4)x + 9 m2 -m  cắt trục Ox tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.
8.       Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3   cắt trục đường thẳng y=x tại 3 điểm lập thành cấp số cộng .
9.    (ĐHTCKT-2000): Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x3 – 3(2m+1)x2 + 6mx + 1  cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
10.  (ĐHBK-2001): Tìm m để đồ thị hàm số y =  x3 – x + m  cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt