DẠNG 5 CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

Trang chủ » DẠNG 5 CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

V/ DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

* Kiến thức cơ bản:

1. Cho 2 đồ thị (C₁): y=f(x) và (C₂): y=g(x)

Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương trình: f(x)=g(x).

2. Số nghiệm của phương trình: f(x)=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng (d): y=m.

3. Số nghiệm của phương trình f(x)= 0 là số giao điểm của (C): y=f(x) và trục hoành.

1/ Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Ví dụ 1: Cho hàm số .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b. Tìm m để phương trình:(1) có 4 nghiệm phân biệt.

LG:

a. Vẽ đồ thị (C)

b. Từ đồ thị (C) ta có đồ thị (C’): y=

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C’) và đường thẳng (d): y=m. Dựa vào đồ thị ta có:

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m >3

Ví dụ 2: Cho hàm số .

a. Khảo sát hàm số.

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (2)

LG:

(2) . Vậy số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị (C’): y= và đường thẳng (d): y=m.

Dựa vào đồ thị ta có:

+ Nếu m< 0: (2) có 4 nghiệm phân biệt

+ Nếu m=0: (2) có 3 nghiệm phân biệt

Nếu m>0 : (2) có 2 nghiệm phân biệt

2/ Bài toán 2: Tìm số giao điểm của 2 đồ thị bằng số nghiệm phương trình

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C): tại 2 điểm phân biệt.

LG:

. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): (1)

. (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt

* Đ/s: Giá trị m cần tìm: m-2.

3/ Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt

*PP1: Đưa về pt: f(x)=g(m) => khảo sát hàm y=f(x)

Ví dụ 4: Cho hàm số: y= x³ -3x²-9x+m (C_m). Tìm m để (C_m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

LG:

. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x³ -3x²-9x+m = 0 x³ -3x²-9x=-m

. Xét hàm số y=x³ -3x²-9x có:

+ y’=3x² -6x-9 =3( x² -2x-3)

+y’=0x=-1 hoặc x=3

+ BBT:

x	– -1 3 + +
y’	+ 0 – 0 +
y	5 + -27 –

Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

* PP2: Đưa về pt: (x-x₀).g(x)=0

Ví dụ 5(ĐH-A-2010): Tìm m để đồ thị hàm số y= x³-2x²+ (1-m)x+m (C_m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂; x₃ thoả mãn: x₁²+ x₂²+ x₃² <4

LG:

. phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x³-2x²+ (1-m)x+m =0 (1)

(x-1)(x² -x-m)=0

(d) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt pt: f(x)=x² -x-m=0 có 2 nghiệm phân biệt x_1,x₂ khác1

(*)

. Với m thoả mãn (*), (1) có 3 nghiệm: x_1,x₂ ,x₃=1.

do đó x₁²+ x₂²+ x₃² <4 (**)

. kết hợp (*) và (**) ta được giá trị m cần tìm là: -1/4<m<1, m0.

4/Bài toán 4: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Ví dụ 6: : Cho hàm số: y= x³ -3x²-9x+m (C_m). Tìm m để (C_m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

LG:

. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x³ -3x²-9x+m = 0(1)

=>) Giả sử (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng =>(1) có 3 nghiệm

x₁; x₂; x₃ lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó => x₁+x₃ =2x₂ => x₁+x₂+x₃ =3x₂ =3 => x₂=1

. Thay x₂=1 vào (1) ta được: m-11=0 hay m=11

<=) Thử lại với m=11: (1) có 3 nghiệm lập thành CSC là:

* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=11.

* Bài tập tự luyện:

1. Cho hàm số có đồ thị là (C).

a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .

2. Cho hàm số .

a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.

b. Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất.

3. (ĐH Khối–D 2006): Cho hàm số .

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS: b. .

4. (ĐH Khối–A 2004): Cho hàm số (1) a. Khảo sát hàm số (1).

b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.

ĐS: b. .

5. (ĐH Khối–A 2003): Cho hàm số (*) (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=–1.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.

ĐS: b. .

6. (ĐH Khối–A 2002): Cho hàm số y = – x³ + 3mx² + 3(1 – m²)x + m³ – m² (1) (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.