IV/ DẠNG 4:CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
* Kiến thức cơ bản:
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): .
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  và điểm M(x0;y0)  khi đó .

 1/Bài toán 1:  Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số
 Ví dụ 1: Giả sử A, B là 2 điểm nằm trên 2 nhánh của đồ thị hàm số  . Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách giữa 2 điểm A, B.
  LG:
 Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị nên ta giả sử A(x1), B() với x1<-2<x2
Đặt  do đó AB2 = 
Áp dụng BĐT cosi có:  =>  
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2); B(-1; 0)
* KL: Giá trị nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc 2 nhánh đồ thị hàm số là AB=2.
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm hai điểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn AB nhỏ nhất.
LG:
 .
Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị  (C)nên ta giả sử A(x1), B() với x1<-1<x2
Đặt
 
 do đó
 AB2 = 
mà 
=>  
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 
* Vậy  2 điểm trên 2 nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ nhất là:
            2).
2/Bài toán 2: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 giao điểm của một đường thẳng với đồ thị hàm số
Ví dụ 3: CMR với mọi m đường thẳng (d): y=-x+m luôn cắt đồ thị hàm số:  (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh đồ thị. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB.
LG:
. Phương trình hoành độ giao điểm của )d) và (C ):
           
. (1) có 
 nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác -1/2 với mọi m.
. Mặt khác theo Viet: (2x1+1)(2x2+1)=-5<0 =>x1<< x2
 hay (d) luôn cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh đồ thị (Đpcm).
A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) => AB2 = 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2 -2x1x2 ] = 2(m-1)2 +10  
Hay ABmin =
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1.
3/ Bài toán 3: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
Ví dụ 4: Cho đồ thị hàm số: (C ) có I là giao 2 tiệm cận, (d) là một tiếp tuyến của (C ). Tìm giá trị lớn nhất khoảng cách từ I đến đường thẳng (d)
LG:
.(C ) có giao 2 tiệm cận là: I(-1; 1)
. Giả sử M(x0; ) thuộc (C) (), tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình:
           (d)
Khoảng cách từ M đến (d):
d(M; d)= 
Mà: 
Dấu = xảy ra 
Vậy khoảng cách lớn nhất từ M tới tiếp tuyến (d) là: d(M; d)max =.
4/ Bài toán 4: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một đường thẳng đi qua một điểm cố định
Ví dụ 5: Cho hàm số: y=x3 -3x2 +mx+1 (C). Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu. Gọi là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu. Tìm điểm cố định mà  luôn đi qua với m tìm được.Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm I( đến đường thẳng .
LG:
y’=3x2 -6x+m
 y’=0 3x2 -6x+m= 0   (1)
. Hàm số có CĐ, CT (1) có 2 nghiệm phân biệt   (*)
 . Với m t/m (*),  (1) có 2 nghiệm: x1; x thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, cựctiểu là:
           A(x1; y(x1)); B(x2; y(x2))
Lấy y chia cho y’ được: y=y’.
                        =>    
Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
  y= 
. Giả sử đi qua M(x0; y0) cố định
  Vậy  đi qua điểm cố định M( có vtcp  
  
  N/ x: d(I; ) IM. Dấu = xảy ra 
Hay d(I;)max = IM= 5/4 khi m=1
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1.
* N/x: 1- Với bài toán dạng 4, nếu không phát hiện điểm cố định M mà luôn đi qua, ta có thể                         áp dụng công thức tính khoảng cách theo toạ độ có:
                        d(I; )= 
                        Từ đó đi khảo sát hàm f(m) với m<3, dựa vào bảng biến thiên , kết luận                                          f(m) hay d(I; )max= f(1)= 5/4 khi m=1.
2- PP tìm GTLN khoảng cách từ điểm I cố định đến đường thẳng  thay đổi biết  luôn đi qua điểm cố định M:
+ d(I; ) IM
            + d(I; )max=  IM khi M là hình chiếu của I lên  hay 
5/ Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số , đến 2 tiệm cận.
Ví dụ 6 (§H AN-97): Cho hµm sè:  (C). T×m c¸c ®iÓm M trªn (C) cã tổng kho¶ng c¸ch ®Õn 2 tiÖm cËn cña (C) nhá nhÊt.
LG:
  . Giả sử M(
  . (C) có TCĐ: (d1): x-3=0
               TCN: (d2): y-2=0
  . Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là:
            d= 
            Dấu = xảy ra khi 
* Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1(: M2(;
* Bài tập tự luyện
1.      Cho hàm số . Tìm m để  có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
2.      Cho hàm số . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
3.      Cho hàm số . Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
4.      Cho hàm số:  (C). Tìm các điểm M trên (C) sao cho có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bằng 4
5.      Cho hàm số (C). CMR: tích các khoảng cách từ điểm M bất kì trên (C) đến 2 tiệm cận là số không đổi.
6.      Cho hàm số . Tìm hai điểm MN thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn  MN nhỏ nhất.
7.    (HVKTQS-2000): Cho hàm số:  (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x+y+6=0 là nhỏ nhất.
8.    Cho hàm số .
a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ  là nhỏ nhất.
b, Tìm hai điểm MN thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
9.      (ĐH KhốiA 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (*)   (m là tham số)                                             a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
            b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng .