A. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Hàm số: y = f (x                    


2. Đạo hàm: 


3. Điều kiện tồn tại cực trị

y = f (x) có cực trị Û y = f (x) có cực đại và cực tiểu
 Û  có 2 nghiệm phân biệt Û D¢ = b2  3ac > 0


4. Kỹ năng tính nhanh cực trị 


Giả sử D¢ = b2  3ac > 0, khi đó  có 2 nghiệm phân biệt  với

 và hàm số đạt cực trị tại x1x2.
Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:
Trong trường hợp x1x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán sau đây:
Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có:
              hay  với bậc 
Bước 2: Do 
Hệ quả:
Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x)
Đối với hàm số tổng quát : y = f (x thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: 



II. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.    Tìm m để hàm số: 
đạt cực tiểu tại x = 2.
Giải:  Þ 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì 
Bài 2.    Tìm a để các hàm số . có các điểm cực trị nằm xen kẽ nhau.
Giải: . Ta cần tìm a sao cho g¢(x) có 2 nghiệm phân biệt  và f ¢(x) có 2 nghiệm phân biệt  sao cho   (*)
Ta có:  
Bài 3.    Tìm m để  có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y = ax + b.
Giải:  Û 
Hàm số có CĐ, CT Û  có 2 nghiệm phân biệt Û 
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: 
Với m ¹ 3 thì phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x1x2 và hàm số
y = f (x) đạt cực trị tại x1x2. Ta có:  nên suy ra
 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): 
Ta có (D) song song với đường thẳng y = ax + b
Û 
Vậy nếu a < 0 thì  ; nếu a ³ 0 thì không tồn tại m thoả mãn.
Bài 4.    Tìm m để  có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = 4x.
Giải: Ta có:  
            Û 
Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt 
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: 
Với  thì phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x1x2 và hàm số
y = f (x) đạt cực trị tại x1x2. Ta có:  nên suy ra 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): .
Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y = 4x thì (Dº (d)
Û 
Bài 5.    Tìm m để  có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với  y = 3x  7.
Giải: Hàm số có CĐ, CT Û  có 2 nghiệm phân biệt Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có:
Với  thì phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x1x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1x2. Ta có:  suy ra
 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): 
Ta có (D^ y = 3x  7 Û 
Bài 6.    Tìm m để hàm số  có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (D): 
Giải: Hàm số có CĐ, CT Û  có 2 nghiệm phân biệt
Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có:
Với  thì phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x1x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1x2.  Ta có:  nên
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): .
Các điểm cực trị  đối xứng nhau qua  
Û (d) ^ (D) tại trung điểm I của AB (*) . Ta có  suy ra
(*) Û 
Bài 7. Cho 
1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.     
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1x2. CMR: 
Giải: 1. Xét phương trình: 
Ta có: 
Nếu  (vô lý)
Vậy D¢ > 0 a Þ f ¢(x= 0 có 2 nghiệm phân biệt x1x2 và hàm số có CĐ, CT.
2. Theo Viet ta có:  
Bài 8.    Cho hàm số 
 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
 2. Gọi các điểm cực trị là x1x2. Tìm Max của 
Giải: Ta có: 
1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1  có 2 nghiệm phân biệt  thoả mãn: 
 
2. Do  Þ 
  (do )
Þ .  Với  thì 
Bài 9.    Tìm m để hàm số  có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
Giải: Do  có  nên f ¢(x= 0 có 2 nghiệm phân biệt x1x2 và hàm số đạt cực trị tại x1x2 với các điểm cực trị là . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có:  
. Do  nên
Ta có: 
  
Þ .  Vậy  xảy ra Û m = 0.
Bài 10. Tìm m để hàm số  đạt cực trị tại x1x2 thoả mãn .
Giải: Ÿ Hàm số có CĐ, CT Û  có 2 nghiệm phân biệt Û  Û   (*)
Với điều kiện (*) thì  có 2 nghiệm phân biệt x1x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1x2. Theo định lý Viet ta có: 
Ta có: 
Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy 
Bài 11. Tìm m để hàm số  đạt cực trị tại x1x2 thoả mãn điều kiện .
Giải: HS có CĐ, CT Û  có 2 nghiệm phân biệt
Û  (*)
Với điều kiện này thì  có 2 nghiệm phân biệt x1x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1x2. Theo định lý Viet ta có:  suy ra:    (thoả mãn (*) )
Vậy để  thì 
B. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 4

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Hàm số: y = f (x


2. Đạo hàm: 


3. Cực trị: Xét  


4. Kỹ năng tính nhanh cực trị

Giả sử f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = x0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị là . Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:
Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Bước 2: Do f ¢(x0= 0 nên f (x0= r(x0)
Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y = f (x) nằm trên y = r(x)

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Giải: Ta có:  ; 
Do phương trình  có 1 nghiệm đơn x = 2 và 1 nghiệm kép x = 1
nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x 
= 2. Mặt khác  suy ra . Vậy hàm số có cực tiểu  và không có cực đại.
Bài 2.    Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải: ;
.  Xét các khả năng sau đây:
a) Nếu  thì
 Û g(x) ³ 0  .
Suy ra f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = 0 mà f ¢¢(0) = 6(m + 1) > 0  mÎI  
Þ , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
b) Nếu  thì 
 Û x = 0 nghiệm kép, x = 3.
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
Hàm số y = f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
c) Nếu  thì f ¢(x) có 3 nghiệm phân biệt 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Hàm số y = f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận: 
Bài 3.    Cho hàm số 
Chứng minh rằng: m ¹ 1 hàm số luôn có cực đại đồng thời 
Ta có:  nên g(x= 0 có 2 nghiệm phân biệt x1x2.
Theo định lý Viet ta có: 
Þ PT  có 3 nghiệm phân biệt
 0, x1x2. Xét 2 khả năng sau:
a) Nếu m < 1 thì  
Þ  Þ Bảng biến thiên
Nhìn BBT suy ra 
b) Nếu m > 1 thì  
và  Þ 
Þ Bảng biến thiên.
Nhìn BBT suy ra 
Kết luận:
Vậy m ¹ 1 hàm số luôn có 
Bài 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002)
 Tìm m để hàm số  có 3 điểm cực trị
Giải. Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt 
Bài 5. Tìm m để  có CĐ, CT lập thành tam giác đều.
Giải. . Ta có: .
Để hàm số có CĐ, CT Û  có 3 nghiệm phân biệt Û m > 0
Þ 3 nghiệm là:   Þ 3 điểm CĐ, CT là:
 
Þ .
Để A, B, C lập thành tam giác đều
thì Û 
Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số  không thể đồng thời có CĐ và CT 
Giải. Xét  
Û . Xét hàm số  có TXĐ: 
 ; 
Nghiệm của phương trình  
cũng là hoành độ giao điểm của
đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x).
Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng  y = m cắt y = g(x) tại đúng 1 điểm
Þ  có đúng 1 nghiệm.
Vậy hàm số y = f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.
Bài 7. Chứng minh rằng:  Û 
Giải. Ta có:  Û  và nghiệm kép x = 0
Do f ¢(x) cùng dấu với (4x + 3p) nên lập bảng biến thiên ta có:
f (x³ 0 xÎR  Û  Û 
Bài 8. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)
Tìm m để hàm số  có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Giải. Hàm số có 3 cực trị  có 3 nghiệm phân biệt , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là . Do  là hàm chẵn nên YCBT 
Bài 9. Chứng minh rằng:  luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị
Bài 10. Chứng minh rằng:  Û 
Bài 11. Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.