Mộ số phương pháp khảo sát hàm số thường hay thi trong các kì thi đại học và TN THPT
 
Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) +1 –m = 0 (1)                 
(C): y = f(x)
1)     Phương trình (1)  f(x) =m-1
2)     Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1
3)     Chia ra các trường hợp để biện luận  Nếu ………………………………..thì …………………………………………….
Bài 2: Tìm m để  hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó            
1)     TXĐ: D=?    2) Đạo hàm  3)Hàm số đồng biến trên tập xác định D  
Bài 3: Tìm m để để hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó        
1)     TXĐ: D=?  2) Đạo hàm   3)Hàm số nghịch biến trên tập xác định D 
Bài 4: Tìm m để để hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu)
1)     Đạo hàm  2)Hàm số có hai cực trị  phương trình =0 có hai nghiệm phân biệt  
Bài 5: Tìm m để để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x =      
1)     Đạo hàm  2)Hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x =   m=?
2)     Thử lại với m=? thì =?
3)      =0   4) ;  là điểm cực tiểu   là điểm cực đại
4)     Vậy với m= ? thì hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = 
Bài 6: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó    TXĐ: D=?  2)  Đạo hàm  3)Vì  suy ra  D  nên  hàm số đồng biến trên tập xác định
Bài 7: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó
1)     TXĐ: D=? 2) Đạo hàm  3) Vì  suy ra  D  nên  hàm số nghịch biến trên TXĐ D
Bài 8: Chứng minh  hàm số y = f(x) có hai cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu)
1)     Đạo hàm   2) Vì  nên  pt =0 có hai nghiệm phân biệt 3)Vậy hàm số đã cho luôn  có hai cực trị
Bài 9: Tìm m để hàm số y = f(x) có ba  cực trị                                                   
Đạo hàm  2) =0 
3)Hàm số có 3 cực trị PT =0 có 3 nghiệm pbg(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác  
Bài 10: Tìm điểm cố định của đồ thị (): y=f(x)
1)     y=f(x)  mg(x) +h(x) –y=0  2) Tọa độ của điểm cố định là nghiệm của hệ 
3)vậy (có các điểm cố định là A(    :    )   B(       :     )
Bài 11: Tìm k để đt d : y = kx +b cắt (C) ; y = f(x) tại 3 điểm phân biệt             
     1)  Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của PT kx+b = f(x)   (1)
     2) (1)  
     3)  d cắt (C) tại 3 điểm phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác   
Bài11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số  y = f(x) trên khoảng (a; b)
1)     TXĐ: D = ?  2) đạo hàm   cho  =0  4) lập BBT
5) Kết luận với          với 
Bài12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số  y = f(x) trên đoạn [a; b]              
     1)TXĐ: D = ?  2) đạo hàm   cho  =0    
3)Tính   giả sử p>n>m
4)Kết luận        
Bài 13: Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x)            
1)     TXĐ: D= ?  2) đạo hàm   cho  =0  (nếu có)  3) BBT  4)  Kết luận
Chú ý: + Giả sử  nếu <0 thì 
            + Giả sử  nếu <0 thì 
            + Giả sử  nếu =0 thì 
            + Giả sử  nếu =0 thì 
Bài 14: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)                                           
1)TXĐ: D= ?  2) đạo hàm   cho  =0    3) =?
Cách 1: Lập bảng biến thiên Căn cứ vào bảng biến thiên rút ra kêt luận         Dấu hiệu 1
Cách 2: Đạo hàm cấp 2                                                                                Dấu hiệu 2
             Nếu thì là điểm cực tiểu của hàm số                          
             Nếu thì là điểm cực đại của hàm số
Bài 15: Viết PTTT của đồ thị (C) tại                                                               Điểm M có 
a.      Điểm M có hoành độ 
b.      Điểm M có tung độ 
     1) =? Hệ số góc của tiếp tuyến tại  là: 
     2) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại  là: y
Bài 16: Viết PTTT biết tiếp tuyến                                                                   
      a)Tiếp tuyến  có hệ số góc k Tiếp tuyến d: y=kx+c
      b)Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y=kx+b Tiếp tuyến d: y=kx+c (cb)
      c)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y= Tiếp tuyến d: y=kx+c
d)Tiếp tuyến đi qua điểm  có hệ số góc kTiếp tuyến d: y-=k(x-y=kx+c
1) d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
      2) Giải hệ phương trình tìm x  c=?. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=kx+c
 Chú ý: 1) Đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với đồ thị (C): y=f(x) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:             
             2) Tiếp tuyến d hợp với trục hoành 1 góc   tiếp tuyến có hệ số góc k=tan =
Bài 17: Viết PT đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của đồ thị (): y=f(x)     
      1) Chia y cho được  dư ex +f  ta có  
      2) Gọi là 2 điểm cực trị của ()
      3) Vì   nên ta có do  
         Tương tự     nên ta có do  
1)     Vậy đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của  () có phương trình là  
Bài 18: Tìm m để phương trình  f(x)=0  có ba  nghiệm phân biệt                       
1)     PT f(x) =0 
2)     PT f(x) =0  có 3 nghiệm phân biệt phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác 0  
Bài 19: Tìm m để phương trình  f(x)=0  có ba  nghiệm phân biệt                       
PT f(x) =0  có 3 nghiệm phân biệt hàm số có 2 cực trị và   pt  có hai nghiệm phân biệt và   Sử dụng trong th không đoán trước 1 nghiệm hoặc không giải được bằng đồ thị
Bài 20: Tìm m để phương trình  f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm ) sử dụng đồ thị
1) Phương trình (1)  f(x) =m-1     (C): y = f(x)
2)PT (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm ) đồ thị (C): y = f(x) cắt  đường thẳng d: y = m-1 tại 3 điểm  (2 điểm , 1 điểm  ) …………………………….
Bài 21: Tìm m để đường thẳng d: y= am+b (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm)
      Đường thẳng d: y= m (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm) ? < m < ?
Bài 22: Tìm m để  phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (1nghiêm, 2 nghiệm)
      1) Phương trình (1)  f(x) =m-1          (C): y = f(x)
2)Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1
1)     Phương trình (1) có 3 nghiệm d cắt (C) tại 3 điểm ? < m-1 < ?
Bài 23: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục tung Oy                  
Gọi M=(C)  Oy Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
Bài 24: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục hoành Ox              
     Gọi M=(C)  Ox Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
Bài 25:  7 bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
       1) TXĐ: D=?   2) Đạo hàm cho =0 nếu có   3) Chiều biến thiên (để trống 4 dòng)  4) Giới hạn
       5) BBT            6)  Cực trị                                          7) Vẽ
Bài 26:  Tìm m để hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (;+)                       
      1) TXĐ: D=?   2) Đạo hàm  (a > 0 )    
      3) lập = ?
      4) Nếu  thì  nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên (;+)
      5) Nếu  thì PT =0 có 2 nghiệm phân biệt  ()BBT x
      Hàm số đồng biến trên (;+PT =0 có 2 nghiệm pb                                                                                                                              thỏa đk       
Bài 27:  Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (;)                       
      1) TXĐ: D=?  
      2) Đạo hàm  (a > 0 )    
      3) lập = ?
      4) Nếu  thì  nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên (;o thỏa đkbt
      5) Nếu  thì PT =0 có 2 nghiệm phân biệt  ()BBT  x
      Hàm số nghịch biến trên (;PT =0 có 2 nghiệm pb  
       thỏa đk                                                     y
Bài 28:  Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (;+)                     
      1) TXĐ: D=?  
      2) Đạo hàm  (a < 0 )    
      3) lập = ?
      4) Nếu  thì  0  nên hàm số nghịch biến trên R do đó nó nghịch biến trên (;+)
      5) Nếu  thì PT =0 có 2 nghiệm phân biệt  ()        x
      Hàm số nghịch biến trên (;+pt =0 có 2 nghiệm pb 
      thỏa đk   
Bài 29: (C) : y= f(x) có đạo hàm (a 0)                               
 1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung Oy hàm số có 2 (điểm ) cực trị trái    dấu PT =0 có 2 nghiệm trái dấu P=
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục tung Oy hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu PT =0 có 2 nghiệm cùng  dấu 
3) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên phải đối với trục tung Oy hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu dương PT =0 có 2 nghiệm dương pb 
4) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên trái  đối với trục tung Oy hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu âm PT =0 có 2 nghiệm âm pb 
5) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục hoành Ox hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu PT =0 có 2 nghiệm pb và 
6) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành Ox hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu PT =0 có 2 nghiệm pb và