THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

 

Dạng 1:  Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
 

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC  vuông cân tại A có

cạnh BC = a và  biết  A’B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
 

 

Lời giải:

 

  Ta có

 

    vuông cân tại A nên AB = AC = a

 

   ABC A’B’C’ là lăng trụ đứng 

 

   

 

   

 

   Vậy V = B.h = SABC .AA’ = 
 

Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng  4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này
 

 

Lời giải:

 

  ABCD A’B’C’D’ là lăng trụ đứng nên

 

  BD2 = BD’2 – DD’2 = 9a2 

 

   ABCD là hình vuông 

 

Suy ra  B = SABCD = 

 

   Vậy V = B.h = SABCD.AA’ = 9a3
 

 

 

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh   a = 4 và  biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Phân tích  V= B.h để  tìm B và h

 

 trong hình là các đối tượng nào ?

 

+ Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ?

 

+ Từ diện tích  suy ra cạnh nào ? tại sao ?

 

+ Tìm h = AA’ dùng tam giác nào và định lí gì ?

 

Lời giải:

 

 Gọi I là trung điểm BC .Ta cóABC đều nên

 

 

 

 

 

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA’= 

 

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .    

 

+ Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?

 

+ Tìm h = DD’ trong tam giác vuông nào ? và định lí gì ?
 

 

Lời giải:

 

Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a

 

và  SABCD = 2SABD = 

 

Theo đề bài BD’ = AC = 

 

 

  Vậy V = SABCD.DD’ = 
 

Ví dụ 5: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc  tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có  nắp. Tính thể tích cái hộp này.
 

 

+ Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

+ Tìm h = AA’ ? Tại sao ?

 

+ Tìm AB ? Suy ra B = SABCD = AB2 ?

 

Giải

 

  Theo đề bài, ta có

 

AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = 12 cm nên ABCD là hình vuông có  AB = 44 cm – 24 cm = 20 cm

 

 và chiều cao hộp h = 12 cm

 

 Vậy thể tích  hộp là V = SABCD.h = 4800cm3

 

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

 

Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.                                                                           ĐS:  ; S = 3a2

 

Bài 2:  Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là tứ giác đều cạnh a  biết rằng . Tính thể tích của lăng trụ.                                                                                                                                           Đs: V = 2a3

 

Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.            Đs:V = 240cm3và S = 248cm2

 

Bài 4:  Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .                                                                                   Đs:V = 1080 cm3

 

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA’B’B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.                           Đs:V = 24a3

 

Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ.                                                                                                Đs:V = 64 cm3

 

Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.                                                                           Đs: V = 2888

 

Bài 8. Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 .Tính thể tích khối lập phương

 

                                                                                                                                              Đs: V = 8 m3

 

Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.                                                                                   Đs:V = 0,4 m3

 

Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là . Tính thể tích khối hộp này.                                                                                                                                   Đs:V = 6

 

 Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác  vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A’B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.

 

*)  Tìm hình chiếu của A’B trên đáy ABC. Suy ra góc [A’B,(ABC)] = ?

 

*)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

*)  Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

 

*)  Tìm h = AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?
 

 

Lời giải:

 

    Ta có là hình chiếu của A’B trên đáy ABC .

 

   Vậy 

 

 

    SABC = 

 

  Vậy V = SABC.AA’ = 
 

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông  tại A với

 

AC = a , = 60 o biết BC’ hợp với (AA’C’C) một góc 300.   Tính AC’ và thể tích lăng trụ.
 

Phân tích       *)  Tìm hình chiếu của BC’ trên (AA’C’C). Suy ra góc [BC’,(AA’C’C)] = ?

 

                          *)  Tìm AC’ trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ?

 

                          *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

                          *)  Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

 

                          *)  Tìm h = AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?
 

 

Lời giải:

 

.

 

Ta có: 

 

nên AC’ là hình chiếu của BC’ trên (AA’C’C).

 

Vậy góc[BC’;(AA”C”C)] =  = 30o

 

 

 V = B.h = SABC.AA’

 

 

 là nửa tam giác đều nên . Vậy V = 
 

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD’ của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .  
 

Phân tích

 

          *)  Dựng hình vuông ABCD hay A’B’C’D’ và  các cạnh bên của hình lăng trụ .

 

          *)  Dựng BD’ và BD ?

 

phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

          *)  Tìm hình chiếu của BD’ trên đáy ABCD. Suy ra góc [BD’,(ABCD)] = ?

 

          *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

          *)  Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ?

 

          *)  Tìm h = DD’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?

 

 

 

Giải:  Ta có ABCD A’B’C’D’ là lăng trụ đứng nên ta có: và BD là hình chiếu của BD’ trên ABCD . Vậy góc [BD’;(ABCD)] = 

 

 

Vậy V = SABCD.DD’ = S = 4SADD’A’ = 
 

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh   a và  = 60o biết AB’ hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp.
 

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

*)  Tìm hình chiếu của AB’ trên  (ABCD). Suy ra góc [AB’,(ABCD)] = ?

 

*)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

*)  Dựng BD. Suy ra ABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của ABCD bằng cách nào?

 

+Tính h = BB’ trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
 

 

Giải đều cạnh a 

 

          

 

           vuông tạiB

 

            Vậy 

 

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

 

Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC vuông cân  tại B biết  A’C = a và A’C hợp với mặt bên (AA’B’B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ                                                    ĐS: 

 

Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC vuông  tại B biết BB’ = AB = a và B’C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.                                                                                   ĐS: 

 

Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a    biết  AB’ hợp với mặt bên (BCC’B’) một góc 30o .  Tính độ dài AB’ và thể tích lăng trụ .                                                  ĐS: ;

 

Bài 4.  Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC vuông  tại A biết  AC = a và  biết  BC’ hợp với mặt bên (AA’C’C) một góc 30o .Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC’.  ĐS 

 

Bài 5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’ có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng a và AA’ hợp với mặt phẳng (A’BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ                                  ĐS: 

 

Bài 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có đường chéo A’C = a và biết rằng A’C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB’A’) một góc 45o .Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.      Đs: 

 

Bài 7. Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của ABCD và OA’ = a Tính thể tích của khối hộp khi:        1) ABCD A’B’C’D’ là khối lập phương .        ĐS 

 

2) OA’ hợp với đáy ABCD một góc 60o .      ĐS 

 

3) A’B hợp với (AA’CC’) một góc 30o.          ĐS 

 

Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông  và  BD’ = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:                      1) BD’ hợp với đáy ABCD một góc 60o .      ĐS 

 

                                                       2) BD’ hợp với mặt  (AA’D’D) một góc 30o .  ĐS 

 

Bài 9. Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ .                 Đs: V = a3và S = 6a2

 

Bài 10.Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB = a ;AD = b;AA’ = c và BD’ = AC’ = CA’ =

 

1) Chúng minh ABCD A’B’C’D’ là hộp chữ nhật.

 

2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường chéo.

 

Chứng minh rằng .

 

Dạng 3:  Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
 

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A’BC) hợp với đáy (ABC) một góc  600 .Tính thể tích lăng trụ.
 

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

      *)  Nhận xét AB và A’B có vuông góc với BC không ? tại sao?

 

      *)  Suy ra góc[(A’BC);(ABC)] = ?

 

      *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

      *)  Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

 

      *)  Tìm h = AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?
 

Lời giải:

 

Ta có 

 

   Vậy 

 

.

 

SABC = Vậy V = SABC.AA’ = 
 

 

Ví dụ 2:  Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt     (A’BC) tạo với  đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể  tích khối lăng trụ.
 

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

   *)  Nhận xét  có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí AI và A’I thế nào với

 

         BC?  Suy ra góc[(A’BC);(ABC)] = ?

 

   *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

   *)  Đặt BC = 2x . Suy ra A’I bởi tam giác nào ?

 

   *)  Từ diện tích tam giá A”BC suy ra x bởi công thức nào?

 

   *)  Tìm h = AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?
 

 

Giải.  đều  mà AA’ nên  A’I(đl 3).

 

Vậy góc[(A’BC);)ABC)] = = 30o

 

 Giả sử BI = x .Ta có

 

 

 A’A = AI.tan 300 = 

 

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 

 

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8.Do đó VABC.A’B’C’ = 8
 

Ví dụ 3.   Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A’B’C’D’ có cạnh đáy a và  mặt phẳng  (BDC’) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
 

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

*)  Xác định  góc[BDC’);(ABCD)] = ?

 

*)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

*)  Tìm diện tích B của  ABCD bằng công thức nào ?

 

*)  Tìm h = CC’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?
 

 

Giải.

 

Gọi O là tâm của ABCD . Ta có

 

ABCD là hình vuông nên

 

CC’(ABCD) nên OC’BD (đl 3).

 

Vậy góc[(BDC’);(ABCD)] =  = 60o

 

 Ta có V = B.h = SABCD.CC’

 

ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

 

 vuông nên CC’ = OC.tan60o =

 

Vậy V = 
 

Ví dụ 4.  Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AA’ = 2a ; mặt phẳng  (A’BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A’C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
 

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

*)  Nhận xét AB và A’B có vuông góc với BC không ? tại sao?

 

*)  Suy ra góc[(A’BC);(ABCD)] = ?

 

*)  Tìm hình chiếu của A’C trên (ABCD) ? Suy ra góc[A’C,(ABCD)] = ?

 

*)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

*)  Tìm diện tích B của  ABCD bằng công thức nào ?

 

*)  Tìm AB và AC bởi tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ?

 

*)  Tìm h = AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?
 

 

Ta có AA’ AC là hình chiếu của A’C trên (ABCD) .

 

Vậy góc[A’C,(ABCD)] = 

 

BC AB BC A’B (đl 3) .  [(A’BC),(ABCD)] = 

 

AC = AA’.cot30o = 

 

AB = AA’.cot60o = 

 

 

   Vậy V = AB.BC.AA’ = 

 

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

 

Bài 1. Cho hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AA’ = a biết đường chéo A’C hợp với đáy ABCD một góc 30o và

 

mặt (A’BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 .Tính thể tích hộp chữ nhật.                           Đs: 

 

Bài 2.  Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông  và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC’D’) hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ.                                                 Đs: V = 3a3

 

Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A’BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.                                                                       Đs: 

 

Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác  cân tại A với  AB = AC = a và  biết rằng (A’BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.                          Đs: 

 

Bài 5.  Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông  tại B và BB’ = AB = h biết rằng (B’AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.                                                      Đs: 

 

Bài 6. Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC đều biết cạnh bên AA’ = a.Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

 

1) Mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .                                              Đs: 

 

2) A’B hợp với đáy ABC một góc 45o.                                                                      ĐS: 

 

3) Chiều cao kẻ từ A’ của tam giác A’BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.           ĐS: 

 

Bài 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A’B’C’D’ có cạnh bên AA’ = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:                       1) Mặt (ACD’) hợp với đáy ABCD một góc 45o .                             ĐS : V = 16a3

 

2) BD’ hợp với đáy ABCD một góc 600 .                                          ĐS : V = 12a3

 

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD’)  bằng a .                                 ĐS : 

 

Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:    1)Mặt phẳng (BDC’) hợp với đáy ABCD một góc 60o                      ĐS : .

 

2)Tam giác BDC’ là tam giác đều.                                                      ĐS : V = 

 

3)AC’ hợp với đáy ABCD một góc 450                                                            ĐS : V = 

 

Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:       1) (BDC’) hợp với đáy ABCD một góc 60o . ĐS: 

 

2)Khoảng cách từ C đến (BDC’) bằng    ĐS : 

 

3)AC’ hợp với đáy ABCD một góc 450            ĐS : 

 

Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có BD’ = 5a ,BD = 3a.Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:                       1) AB = a                                                                                            ĐS : 

 

2) BD’ hợp với AA’D’D một góc 30o                                                 ĐS : 

 

3) (ABD’)  hợp với đáy ABCD một góc 300                                      ĐS : 


Dạng 4.  Khối lăng trụ xiên
 

Ví dụ 1. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là  và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.
 

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

*) Xác định góc giữa cạnh bên với đáy : Hình chiếu của CC’ trên (ABC) là gì?

 

*) Suy ra góc[CC’;(ABC)] = ?

 

*) Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

 

*) Tìm h = CC’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?
 

 

Lời giải:

 

    Ta có  là hình chiếu của CC’ trên (ABC)

 

   Vậy 

 

 

  SABC = .Vậy V = SABC.C’H = 
 

Ví dụ 2. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác  đều cạnh a . Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp  tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy ABC một góc 60 .

 

            1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật.

 

             2) Tính thể tích lăng trụ .
 

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

*)  Xác định góc giữa cạnh bên AA’  với đáy ABC :

 

      Hình chiếu của AA’ trên (ABC) là gì? Suy ra góc[AA”;(ABC)] = ?

 

*)  Chứng minh BC AA’ bằng cách Chứng minh BC  mặt phẳng nào ? Tứ đó có thể BCCC’ không ?

 

       tại sao? Vậy BB’C’C là hình gì?

 

*)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

*)  Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

 

*)  Tìm h = AA” trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào  ?
 

 

Lời giải:

 

  1)  Ta có  là hình chiếu của AA’ trên (ABC)

 

   Vậy 

 

  Ta có BB’CC’ là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)

 

  tại trung điểm H của BC nên (đl 3 )

 

 mà AA’//BB’ nên  .Vậy BB’CC’ là hình chữ nhật.

 

2)  đều nên 

 

 

  Vậy V = SABC.A’O = 
 

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = AD =.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy   những góc 450 và 600.  . Tính   thể tích khối hộp nếu  biết cạnh bên bằng 1.
 

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

 

  *)  Xác định góc giữa mặt bên với đáy.Dựng đường cao A’H và HNAD

 

     HMAB Suy ra góc[(ABB’A’);(ABCD)] =?  góc[(ADD’A’);(ABCD)] = ?

 

*)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

 

*)  Tìm diện tích B của  ABCD bằng công thức nào ?

 

*)  Tìm h = A’H không dùng trực tiếp  tam giác vuông nào được ? Đặt x = A’H

 

*)  Dùng hai tam giác nào bởi định lý gì để tạo ra phương trình theo x ?

 

 

 

Lời giải:

 

Kẻ A’H ,HM(đl 3)

 

 

Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 600 = 

 

AN = 

 

Mà HM = x.cot 450 = x

 

Nghĩa là x = 

 

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 

 

 

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

 

Bài 1.  Cho lăng trụ  ABC A’B’C’có các cạnh đáy  là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ.                                                                                                    Đs: V = 

 

Bài 2.  Cho lăng trụ  ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông  cạnh  a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ.                                                                                Đs: V =336

 

Bài 3.  Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a;AD =b;AA’ = c và và biết cạnh bên AA’  hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.                                                                               Đs: V =

 

Bài 4.  Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và  điểm A’ cách đều  A,B,C biết  AA’ = .Tính thể tích lăng trụ.                                                                                      Đs: 

 

Bài 5.  Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’ có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB’C’C hợp vớio đáy ABC một góc 60o .

 

1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật.

 

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’.                                                                       Đs: 

 

Bài 6. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC’ = a hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C’ có hình chiếu trên ABC trùng với  O .

 

1) Chứng minh rằng AA’B’B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA’B’B.                    ĐS : 

 

2) Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.                                                                                     ĐS: 

 

Bài 7. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A’ trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA’ = a.

 

1)      Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.                                                         ĐS : 30o.

 

2)      Tính thể tích lăng trụ                                                                                             ĐS:  

 

Bài 8. Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C’ trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC’ là a và 2 mặt bên AA’C’Cvà BB’C’C hợp với nhau một góc 90o                                                                                                                              Đs: 

 

Bài 9. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A’ trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o .

 

1)      Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.

 

2)      Tính diện tích các mặt chéo ACC’A’ và BDD’B’.                                    ĐS: 

 

3)      Tính thể tích của hộp.                                                                                           Đs: 

 

Bài 10. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc  A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B’ xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB’ = a.

 

           1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.                                                                          ĐS : 60o

 

           2) Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.                         ĐS: