THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Dạng 1:  Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC)  và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
    *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*)  Tìm diện tích B của  SBC bằng công thức nào ?
Lời giải:
   Ta có   
Do đó  
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a  biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
      1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
            2) Tính thể tích hình chóp .
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  *)  Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao?
  *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*)  Tìm diện tích B của  ABC bằng công thức nào ? Tính BA ?
*)  Tìm h = SA qua tam giác nào bởi công thức gì ?
Lời giải:
1)  
 mà  ( đl 3 ).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
 2) Ta có là hình chiếu của SB trên (ABC).
   Vậy góc[SB,(ABC)] = .
vuông cân nên BA = BC = 
 SABC =  ; 
Vậy             
Ví dụ 3.  Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết  SA  vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.   Tính thể tích hình chóp .
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  *)  Xác định góc[(SBC),(ABC)] = ? Tại sao?
  *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*)  Tìm diện tích B của  ABC bằng công thức nào ?
*)  Tìm h = SA qua tam giác nào và công thức gì ?
Lời giải:  
 M là trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên
AM BCSABC (đl3) .[(SBC);(ABC)] = .
Ta có V = 
Vậy  V = 
Ví dụ 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình  vuông có cạnh a  và SA   vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD)  hợp với đáy một góc 60o.
      1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
      2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Phân tích đề bài  để  dựng hình :
*) Dựng tứ giác ABCD  và   cạnh bên SA(ABCD) ? .
Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  *)  Xác định góc[(SCD),(ABCD)] = ? Tại sao?
  *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
  *)  Tìm diện tích B của  ABCD bằng công thức nào ?
  *) Tìm h = SA qua tam giác nào bởi công thức gì ?
Lời giải:  
1)Ta có  và  ( đl 3 ).(1)
   Vậy góc[(SCD),(ABCD)] =  = 60o .
vuông  nên SA = AD.tan60o = 
Vậy     
 2) Ta dựng AH ,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AH
  Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
. Vậy AH = 
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1:  Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp .                           Đs: V = 
Bài 2.  Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC                                 Đs: 
Bài 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.                                                                                                                   Đs:       Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD(ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.                                                                                              Đs:  V = 8 cm3
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).                                                      Đs:  d = 
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , , biết và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC.                             Đs: 
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết  SA (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.                                                                                        Đs:    
Bài 7:  Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng  SA (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp.                                                   Đs: V = 20a3
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và SA (ABCD)
Biết  rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD.                  Đs: 
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông  tại A và B  biết AB = BC = a , AD = 2a ,
SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o   Tính thể thích khối chóp SABCD.     Đs: 
Bài 10 :Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết (SBC) hợp với đáy ABCD  một góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: 
                              
 Dạng 2 :  Khối chóp có một mặt  bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1:  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên  SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng  vuông góc với đáyABCD,   
     1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  *)  H là trung điểm của AB. Chứng minh SH (ABCD) ?
  *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của  ABCD bằng công thức nào ?
*)  Tìm h = SH  qua tam giác nào bởi công thức gì ?
Lời giải:
1)      Gọi H là trung điểm của AB.
 đều 
mà 
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
2)      Ta có tam giác SAB đều nên SA =
suy ra 
Ví dụ 2:  Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  *)  Xác định góc[AD,(BCD)] = ? Tìm hình chiếucủa AD trên (BCD) ?
  *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*)  Tìm diện tích B của  BCD bằng công thức nào ?
*)  Tìm h = AH  qua tam giác nào bởi công thức gì ?
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH .
   Ta có AHHDAH = AD.tan60o =
& HD = AD.cot60o =
BC = 2HD = suy ra
 V = 
Ví dụ 3:  Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cóBC = a. Mặt bên  SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
                b. Tính thể tích khối chóp SABC.
Phân tích đề bài  để  dựng hình :
*)  Dựng tam giác ABC  và SAC dựa vào  (SAC)(ABC) ? .
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  *)  Xác định góc[(SAB),(ABC)] = ? và góc[(SBC),(ABC)] = ?
  *)  So sánh tam giác SHI và SHJ cho gì ? Suy ra AH là gì của tam giác ABC ?
  *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
  *)  Tìm diện tích B của  ABC bằng công thức nào ?
  *)  Tìm h = SH  qua các tam giác nào bởi tích chất  gì ?
Lời giải:
 a) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC).
      Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SIAB, SJBC, theo giả thiết                                      
   Ta có: nên BH là đường phân giác của ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.
b) HI = HJ = SH =VSABC=
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1:  Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC  cân tại  S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC.                                                                               Đs: 
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC.                                                                                                                                       Đs: 
+Bài 3: Cho hình chóp SABC có ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.                                                                                                            Đs: 
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABC.        Đs:                                                                
Bài 5:  Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.                                                                              Đs: 
Bài 6 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông .Mặt bên  SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD,   
            1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD .                                                                          Đs: 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD        Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD.            Đs:                                                   
Bài 9:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và  SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.                           Đs:                                                        
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a,SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .   Đs:        
Dạng 3 :  Khối chóp đều
Ví dụ 1:  Cho chóp tam giác đều  SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam   giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
? Dựng tam giác đều ABC , từ tâm O dựng SO  (ABC) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  *)  So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC  bởi tích chất nào ?
  *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của  ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SO  qua  tam giác nào bởi định lí  gì ?
Lời giải:
 Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
   Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên
   AO = 
.Vậy 
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD  có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
         1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
         2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
? Dựng hình thoi ABCD và từ câu hỏi 1, dựng SO (ABCD) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  *)  Hình thoi ABCD có nội tiếp trong đường tròn không? Suy ra gì từ giả thiết?
  *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
  *)  Tìm diện tích B của  ABCD bằng công thức nào ?
*)  Tìm h = SO  qua  tam giác nào bởi định lí  gì ?
Lời giải:
     Dựng SO (ABCD)
   Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = ODABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
  Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên vuông tại S  
 Vậy 
Ví dụ 3:  Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a)   Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
? Dựng tam giác đều ABC ,từ tâm O dựng DO  (ABC) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*)  Tìm diện tích B của  ABC bằng công thức nào ?
*)  Tìm h = DO  qua  tam giác nào bởi định lí  gì ?
*)  Mặt phẳng (DCO)(ABC) ? Dựng MHOC suy ra điều gì ?Tính MH ?
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của 
  
 , 
  
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH
          
 .Vậy 
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1:  Cho hình chóp đều  SABC có cạnh bên bằng  a hợp với đáy ABC một góc             60o . Tính thể tích hình chóp.
                                                            Đs:  
Bài 2:  Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên  là 45o.
            1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .                                              Đs:  SH = 
            2) Tính thể tích hình chóp SABC.                                                                  Đs: 
Bài 3:  Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC.                                                                                                    Đs: 
Bài 4 :  Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o . 
             Tính thể tích hình chóp.                                                                                 Đs: 
Bài 5 :  Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh  bằng 60o.
Tính thể tích hình chóp.                                                                                  Đs: 
Bài 6 :  Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và .
            1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.                                  Đs: 
            2) Tính thể tích hình chóp.                                                                              Đs: 
Bài 7 :  Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o.
Tính thể tích hình chóp.                                                                                  Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp .                                                    Đs: 
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
Tính thề tích hình chóp.                                                                                  Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của  nó bằng .                        Đs: AB = 3a                                                                    
Dạng 4 :    Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Ví dụ 1.Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, ,SA vuông  góc với đáy ABC , 
      1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
      2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng () qua AG và song song  
       với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Phân tích:
*)  Dựng tam giác  ABC vuông cân tại B và SA (ABC).
*)  Dựng mặt phẳng qua G và  // BC , cho MN //BC . Tại sao ?
    Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
        *)  Phân tích  V= B.h để  tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
     *)  Tìm diện tích B của  ABC bằng công thức nào ?
     *)  Tìm h = SA   qua  tam giác nào bởi định lí  gì ?
     *)  Tính trực tiếp thể tích SAMN quá phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của SAMN và SABC ? Suy ra điều gì ?
Lời giải:
a)Ta có:   và 
  +   
b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm,ta có : 
 // BC  MN// BC  
    . Vậy: 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính                      b) Chứng minh               c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Phân tích :   *)  Dựng tam giác  ABC vuông cân tại A và SC (ABC)
                  *)  Dựng mặt phẳng qua C và BD cho thiết diện CEF.
   Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
       *)  Phân tích  V=  để  tìm B và h của ABCD là các đối tượng nào ?
    *)  Tìm diện tích B của  ABC bằng công thức nào ?
    *)  Chứng minh CE vuông góc với 2 đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABD)?
    *)  Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của DCEF và DABC bằng tỉ số các đại lượng hình học trong tam giác vuông nào ?
Lời giải:
a)Tính : 
b)Tacó: 
     Ta có:      
c) Tính :Ta có: 
  Mà , chia cho   
 Tương tự: 
 Từ(*) .Vậy
Ví dụ 3.  Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M  của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị  phân chia bởi mặt phẳng đó.
Phân tích.
   *)  Dựng tứ giác đều  ABCD  và SO (ABCD)
   *)  Dựng (ABM) // CD để có điểm N ?
   *)  Dựng BD và BN . Tại sao ?
   *) Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
          *)  Phân tích  hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
       *)  Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?
       *)  Lập tỉ số thể tích của SABN với SABD ; SAMN với SABC ?
Lời giải:
    Kẻ MN // CD (N thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).
 *)           
 *)  
  Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = . VABMN.ABCD =
     Do đó : 
Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a)   Hãy  xác định mp(AEMF)
b)   Tính thể tích khối chóp S.ABCD
      c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Phân tích:
  *)Xác định góc giữa SA và ABCD là góc nào ?
   *)Phân tích để  tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?
   *)Tìm h = SO qua tam giác  và hệ thức lượng giác nào?
   *)Phân tích  hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
*)Tính thể tích của SAEMF quá phức tạp thì sao ?Lập tỉ số thể tích của SAEMF và SABCD bằng cách nào ?
*)  Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?
*)  Lập tỉ số thể tích của SAMF với SACD ?
Lời giải:
a) Gọi . Ta có (AEMF) //BD EF // BD
b) với 
 +  có :  . Vậy : 
c) Phân chia chóp tứ giác ta có = VSAMF + VSAME  =2VSAMF
 = 2VSACD = 2 VSABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD  Ta có : 
có trọng tâm I, EF // BD 
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, .Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.                                    b) Chứng minh 
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các bài toán nhỏ:
  *)  Phân tích   để  tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?
  *)  Chứng minh SC vuông góc 2 đường thẳng nào trong (AB’D’) ?
  *)  Phân tích  hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
*)  Hãy so sánh thể tích của SABC và SACD với SABCD ?
*)  Hãy so sánh thể tích của SAB’C’ và SAC’D’ với SAB’C’D’ ?
*)  Lập tỉ số thể tích của SAB’C’ với SABC . Suy ra điều gì ?
Lời giải:
a) Ta có: 
b) Ta có  & Suy ra:
 nên AB’SC .Tương tự AD’SC.Vậy SC (AB’D’)
c) Tính : Ta có: 
vuông cân nên 
Ta có: 
  Từ
+ 
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho tứ diên ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diên ABCD.                                                                     Đs:  
Bài 2.  Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B’,C’,D’ sao cho AB = 2AB’
2AC = 3AD’ ;AD = 3AD’. Tính tể tích tứ diện AB’C’D’.                                          Đs: V = 2 m3
Bài 3. Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B’;C’ trên AB và AC sao cho . Tính thể tích tứ diên AB’C’D .                                                                                                         Đs:  
Bài 4.  Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP.                                                                Đs: V = 1 m3
Bài 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.               Đs:                                                                               
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A’trên SA sao cho
SA =  3SA’. Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B’,C’,D’ .Tính thể tích hình chóp SA’B’C’D’.                                                                                                  Đs: V = 1 m3
Bài 7.  Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN .                  Đs: V = 4m3                                                            
Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và // BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính                   Đs: 
Bài 9 :  Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này.         Đs:    
Bài 10:  Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA  sao cho  Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.                Đs:   
                                 
5)  Dạng 5 :  Ôn tập  khối chóp và lăng trụ
Ví dụ 1:  Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông   
 góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng  và M là trung điểm của SB.
  1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
  2)  Tính thể tích của khối chóp MBCD.
+ Dựng tứ giác   ABCD  và SA(ABCD)
+ Dựng H trung điểm AB. Nhận xét MH với AB ? Tại sao ?
  + Xác định góc[SC,(ABCD)] = ? Tại sao ?
  + Phân tích  V= B.h để  tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?
  + Tính h = SA trong tam giác nào và hệ thức lương giác nào ?
  + Phân tích  V= B.h để  tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?
  + MABCD có đường cao là gì ? tại sao ? Tính MH bởi tính chất gì ? 
. 
Lời giải:
a)Ta có 
  + 
  + 
b) Kẻ 
    Ta có: , 
       
Ví dụ 2:  Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt    
   bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.
+ Dựng tam giác  ABC và SH(ABC) với H (ABC) và H cách đều 3 cạnh tam giác ABC.
·     phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
  + Xác định góc hợp bởi 3 mặt bên với đáy chóp ?
  + Phân tích  V= B.h để  tìm B và h của SABC là các đối tượng nào ?
  + Tính B = SABC bằng công thức nào ?
  + Tính h = SH  trong tam giác nào và hệ thức lượng giác nào ?
                                   
Lời giải:
Hạ SH, kẽ HEAB, HFBC, HJAC
 suy ra SEAB, SFBC, SJAC . Ta có  nên HE =HF = HJ = r
( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp )
 Ta có SABC =  
với p = Nên SABC = 
  Mặt khác SABC = p.r 
 Tam giác vuông SHE:
 SH = r.tan 600 = 
         Vậy VSABC = .
  Ví dụ 3:    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a,
   AA’ = a, O là giao  điểm của AC và BD.
a)  Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b)  Tính thể tích khối OBB’C’.
c)   Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
+ Dựng hộp chữ nhật , hình chóp OA’B’C’D’ và OBB’C’ .
·     phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 + Phân tích  V= B.h để  tìm B và h của OA’B’C’D’  là các đối tượng nào ?
 + Phân tích  V= B.h để  tìm B và h của OBB’C’ là các đối tượng nào ?
 + Tính B = SBB’C’  bằng công thức nào ?
 + Tính h = OM  ? Dùng tam giác nào và tính chất gì  ?
 + Đối với chóp OBB’C’ chọn đỉnh C’ và đáy là  ta có chiều cao yêu cầu và 
  dùng công thức nào để tìm nó ?
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
 Ta có :
              
  * Khối  OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên:  
b) M là trung điểm BC  
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ
diện OBB’C’. Ta có : 
      
       
   Ví dụ 4:  Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a.
  Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
+ Phân tích  V= B.h để  tìm B và h của ACB’D’ là các đối tượng nào ?
+ Tính trực tiếp thể tích ACB’D’ phức tạp ? Ta phân tích lập phương thành 4 khối tứ diện có thể tích bằng nhau nào ?
+ Khi đó nhận xét  và ? Suy ra điều gì ?
Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
  +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.
 Khối CB’D’C’ có 
+Khối lập phương có thể tích: 
        




Ví dụ 5:   Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a)  Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b)  E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
   + Phân tích  V= B.h để  tìm B và h của A’B’BC là các đối tượng nào ?
   + Tính trực tiếp thể tích CA’B’FE phức tạp ? Ta phân tích khối chóp thành 2  
     khối tứ diện nào mà tính  thể tích đơn giản hơn ?
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB, 
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.
+Khối A’CEFcó  đáy là CEF, đường cao A’A nên 
 
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có  đáy là CFB’, đường cao JA’ nên 
        
+   Vậy :  
    
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a. M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1                       Đs:V = 
Bài 2:  Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA(ABC).  = 60o,
BC = a, SA = a,M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC .   Đs: VMABC = 
Bài 3: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2,  = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh bằng . Tính thể tích khối chóp SABCD.                                                                                       Đ s:  VSABCD =  
Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
a)     Cạnh đáy bằng 1, góc ABC = 60o .                                       Đs: V = 
b)    AB = 1, SA = 2 .                                                                   Đs: V = 
Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC  vuông tại A,
AB = a, AC = a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. 
 Tính VA’ABC theo a?                                                                                 Đs: V = 
Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD =  và góc giữa 2 đường chéo bằng 60o, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 góc 45o.   
  Tính VSABCD .                                                                                         Đs:  
Bài 7:  Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o,
 CSA = 120o.Chứng minh rằng ∆ABC vuông .Tính VSABC  .                 Đs:  
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh  2a, SA = a    ,SB=và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN
                                                                                                    Đs:  
Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra.                                                                  Đs: k = 1
Bài 10:  Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của  các cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
                                                                                                   Đs :