HÌNH HỌC 12
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN  HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 1. sin =  (ĐỐI chia HUYỀN)    2. cos =  (KỀ chia HUYỀN)
3. tan =  (ĐỐI chia KỀ)    4. cot =  (KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 – AC2
 2. AB2 = BH.BC           3. AC2 = CH.BC
  4. AH2 = BH.CH           5. AB.AC = BC.AH     6. 
III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
   1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA    2. b2 = a2 + c2 – 2accosB    3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN           
V. ĐỊNH LÍ TALET          MN // BC
a;       b) 
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =            b) S =  (Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:      a) Đường cao: h ;        b) S = 
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:    a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau)                   b) Cạnh huyền bằng a
5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB          c) AC =             d) S = 
6. Tam giác cân:    a) S = (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật:     S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi:    S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
9. Hình vuông:    a)  S = a2      b) Đường chéo bằng a
10. Hình bình hành:    S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường tròn)       
    b)  S = R2 (R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN
2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy).
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều:  Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhauChân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp():
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là: ()
b)  d ()
c) Đt d vuông góc với mp() thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp()
4. Góc  giữa đt d và mp(): d cắt () tại O và Ad
   Nếu  thì góc giữa d và () là  hay  = 
5. Góc giữa 2 mp() và mp():
Nếu  
thì góc giữa () và () là  hay  = 
6. Khoảng cách từ  điểm A đến  mp():
Nếu AH () thì d(A, ()) = AH     (với H ())
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:                              V = Bh  (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp:                                   V = (diện tích đáy là đa giác)
3. Tỉ số thể tích của khối chóp:                    
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay:       Sxq =  (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5. Thể tích của khối  nón tròn xoay:             V = (diện tích đáy là đường tròn)
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay:          Sxq = 2 (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay:                V = Bh = ( h: chiều cao khối trụ)
8. Diện tích của mặt cầu:                                 S = 4 (R: bk mặt cầu )
9. Thể tích của khối  nón tròn xoay:              V = (R: bán kính mặt cầu)
 



PHẦN II:  HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN



I. CÔNG THỨC VECTƠ:
À. Trong không gian với hệ trục Oxyz  cho
       
             
   Ta có:
1)      
2)      
3)      
4)      
5)      Tích có hướng của hai vectơ  và  là
       
6)         
7)      
8)       cùng phương  
9)        hay   
10)    đồng phẳng  
11)  
Ứng dụng của vectơ:
·         
·         
·         
II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog không gian Oxyz cho    
                                                 
1)      
2)   
3)      G là trọng tâm , ta có:
                    
4)      G là trọng tâm tứ diện ABCD            
        
5)      Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có:
                             , 
6)      I là trung điểm của đoạn AB thì:
                       
III. MẶT PHẲNG:
1)      Giả sử mp  có cặp VTCP là :                                   
                                       
                                       

Nên có VTPT  là:

            
2)      Phương trình tổng quát của mp  có dạng:
           Ax + By + Cz + D = 0
Với  ; trong đó  là VTPT của mp 
3)      Phương trình các mặt phẳng toạ độ:
¨      (Oxy) : z = 0    ;    (Ozy) :  x = 0
¨      (Oxz) : y = 0
4)      Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau:     
                    
P.tr của chùm mp xác định bởi và  là:
 
          với 
5)      Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng:
Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
P.Pháp:
·         Tìm VTPT  và điểm đi qua
·         dạng: 
Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C
P.Pháp:
·         Tính 
·         Mp (ABC) có VTPT là và qua A
·         Kết luận.
Vấn Đề 3: Viết phương trình mp đi qua điểm A và vuông góc BC
P.Pháp:
Mp  BC. Nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:
·         Trục Ox chứa 
·         Trục Oy chứa 
·         Trục Oz chứa 
Vấn Đề 4: Viết phương tình mp  là mặt phẳng trung trực của AB.
P.Pháp:
·         Mp  AB. Nên có VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB
·         Kết luận.
Vấn Đề 5: Viết phương tình mp  đi qua điểm  và song song với mặt phẳng 
P.pháp:
  • . Nên phương trình  có dạng:
                                Ax + By + Cz + D= 0
  • Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q)
P.Pháp:
  • Mp (P) có cặp VTCP là:  và VTPT của (Q) là 
·    Mp (P) có VTPT là và qua A
  • Kết luận.
Vấn Đề 7: Viết phương trình mp  đi qua các điểm là hình chiếu của điểm   trên các trục toạ độ.
P.Pháp:* Gọi  M1, M2, M3  lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì  M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)
Phương trình mp  là:    
Vấn Đề 8: Viết phương trình mp  đi qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
P.Pháp:
·         (P) có VTPT là  
·         (Q) có VTPT là  
·     Mp  có VTPT là  và qua Mo
·         Kết luận.



·          



J Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
P.Pháp:
·         Xác định tâm I của mặt cầu  (S)
·         Mặt phẳng : Mp tiếp diện có VTPT : 
·         Viết phương trình tổng quát.




IV. ĐƯỜNG THẲNG:
J Phương trình đường thẳng:
1)      Phương trình tổng quát của đường thẳng:      
        với A1 : B1 : C A2 : B2 : C2
2)      Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm  có VTCP   là:
                          
3)      Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M0 có VTCP:  là                     Với 
S Qui ước:  Nếu  ai = 0 thì x – x0 = 0
J Vấn Đề 1: Tìm  VTCP của đường thẳng tổng quát.
      
  P.Pháp:
  VTCP là : 
J Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng :
P.Pháp:
·      Cần biết VTCP  và điểm 
·      Viết phương trình tham số theo công thức (2)
·      Viết phương trình chính tắc theo công thức (3)
·      Viết phương trình tổng quát. thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát:
                         
·      Rút gọn về dạng (1)
S Chú ý:
Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm:
          VTCP  bằng vấn đề 11
          Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đó. Giải hệ tìm x, y  => z
          Có điểm thuộc đường thẳng
          Kết luận.
J Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng  đi qua điểm  và vuông góc với mặt phẳng 
P.Pháp:
i Mp  có VTPT là 
Đường thẳng  đi qua điểm M0 và có VTCP là 
·      Viết phương trình chính tắc  => Ptr tổng quát
J Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của d trên mp 
P.Pháp:
·         Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp 
·         Gọi  là mặt phẳng chứa d và 
·         Nên  có cặp VTCP là
·         VTCP của d là  và  là VTPT của mặt phẳng 
·         Mp  có VTPT 
·         Mp  đi qua điểm M0 d
·         Viết phương trình tổng quát của Mp  
·         Phương trình đường thẳng d/
J Vấn Đề 5:  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm  và vuông góc với hai đường  và 
P.Pháp:
·          có VTCP 
·          có VTCP  
·         d vuông góc với  và Nên d có VTCP là 
J Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường  và .  
  P.Pháp:        
·      Thay toạ độ A vào phương trình  và                                          
·         Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 
·         Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 
·         P.tr đường thẳng d: 
J Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d  cắt cả hai đường  và .
P.Pháp:
·         Gọi  
·         Gọi   
·         Đường thẳng chính là đường thẳng AB
J Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 và cắt cả hai đường  và .
P.Pháp
·         Gọi (P) là mặt phẳng chứa   (P) // d1
· Gọi (Q) là mặt phẳng chứa    (Q) // d1
·         
·         Phương trình đường thẳng d 
J Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau  và .
P.Pháp:
·         Gọi  và lần lượt là VTCP của  và 
·         Gọi 
·         Gọi (P) là mặt phẳng chứa  và có một VTCP là . Nên có VTPT là    phương trình mặt phẳng (P)
·         Gọi (Q) là mặt phẳng chứa  và có một VTCP là . Nên có VTPT là    phương trình mặt phẳng (Q)
·      Phương trình đường vuông góc chung của  và  : 
J Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng  và 
P.Pháp:
·      Gọi  là mặt phẳng chứa  và có một VTCP là  ( VTPT của (P) )
·      Gọi  là mặt phẳng chứa  và có một VTCP là  ( VTPT của (P) )
·      Đường thẳng 
J Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng  và cắt đường thẳng 
P.Pháp:
·         Gọi  là mặt phẳng  đi qua M0  và vuông góc 
·         Gọi  là mặt phẳng đi qua điểm M0 và  chứa  
·         Đường thẳng 
J Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng  và 
P.Pháp:
i  Gọi 
i  Gọi  là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với  . Nên  có VTPT là VTCP của 
Đường thẳng 
V. MẶT CẦU:
1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là:   (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
2. Mặt cầu (S) có phươngtrình :  x + y2 + z2 – 2ax – 2by -2cz + d = 0   với đk   a2 + b2 + c2 –d > 0
thì (S) có :      Tâm I(a ; b ; c)
                        Bán kính 
J Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu
P.Pháp:       Cần:
·         Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu
·         Bán kính R
·      Viết phương trình mặt cầu 
              (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
J Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
P.Pháp:           Ÿ 
·         Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ I  => I là tâm mặt cầu
·         Bán kính          
·           Viết phương trình mặt cầu
J Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với : Ax + By + Cz + D = 0
P.Pháp:
·      Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với Nên có bán kính 
·                                    
·      Viết phương trình mặt cầu
J Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
P.Pháp:
·         Phương trình mặt cầu (S) có dạng
             x2  + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0
·         A, B, C, D thuộc (S). Ta có hệ phương trình
·         Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D
·         Kết luận
 J Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy
P.Pháp:
·         Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu, 
·         Ta có AI2 = BI2 = CI2
·         Ta có Hpt  
·         Giải Hpt    I       IA = R
·         Kết luận
VI. KHOẢNG CÁCH:
1)      Khoảng cách giữa hai điểm AB
2)      Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0
3)      Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d
·         Lấy M0 d
·         Tìm VTCP của đường thẳng d là 
              
4)      Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và 
·         Gọi  và  lần lượt là VTCP của  và 
·          đi qua điểm M0 , 
      
VII.GÓC:
1.      Góc giữa hai vectơ  và 
Gọi  là góc  giữa hai vectơ  và 
2. Góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)
Gọi  là góc  giữa hai đường thẳng (a) và (b)   
Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là :
                      
                      
                 ¯ Đặc biệt: 
3. Góc giữa hai mặt phẳng  và 
: Ax + By + Cz + D = 0
: A/x + B/y + C/z + D/ = 0
Gọi  là góc  giữa hai mặt phẳng  và 
4. Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng 
(d): có VTCP là = (a, b, c)
: Ax + By + Cz + D = 0
Gọi  là góc nhọn giữa (d) và 
5. Vị trí tương đối giữa mp  và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R
P.Pháp:
·         Tính d(I, )
·         Nếu d(I, ) > R =>  không cắt (S)
·         Nếu d(I, ) = R =>  tiếp xúc (S)
·         Nếu d(I, ) < R =>   cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính
                    
Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và 
    Gọi  là tâm đường tròn   giao tuyến



5. Tọa độ giao điểm của đường thẳng  và mặt cầu (S)
P.Pháp:
* Viết phương trình đường  về dạng phương trình tham số
* Thay vào phương trình mặt cầu (S)  ta được phương trình (­)  theo t
¨      Nếu ptr (­)  vô nghiệm  =>   không cắt mặt cầu (S)
¨      Nếu ptr (­)  có nghiệm  kép =>  cắt (S) tại một điểm
Nếu ptr (­)  có hai nghiệm =>  cắt (S) tại hai điểm. Thế t = … vào phương trình tham số của  => Tọa độ giao điểm
J Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng của M qua mặt phẳng 
P.Pháp:
·           Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối  xứng của M qua 
·           Gọi d là đường thẳng đi qua M và  . Nên d có VTCP là 
·           Viết phương trình tham số của d
·           Gọi
·           Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình    => Tọa độ điểm H
·           Vì H là trung điểm của MM/  => Tọa độ điểm M/
 J Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng của M0 qua đường thẳng d
P.Pháp:
i        Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )
i        Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và . Nên (P) nhận VTCP của d làm VTPT
i        Gọi
i        M/  là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng d. Nên H là trung điểm của đoạn M0M/
                 Ta có:     => M/