“RÈN
LUYỆN CHO HỌC SINH  MỘT
SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT
ĐẲNG THỨC TỔ HỢP”
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Trước
tình hình các lớp học sinh lớp 11 và 12 ở các khóa mà tôi
đã dạy: Các em lúng túng khi

gặp những bài toán về
chứng minh đẳng thức,bất đẳng thức
có liên quan đến C (Tổ hợp chập
k của n). Các em  không biết
xuất phát từ đâu để đưa ra đẳng
thức, BĐT cần chứng minh, hay từ đắng
thức cần chứng minh thế nào để đưa
đến một đắng thức luôn đúng chứa C,…Trong đề tài này tôi rèn luyện cho học
sinh ba phương pháp chứng minh đẳng thức,BĐT
tổ hợp đó là: Sử dụng cồng thức, tính
chất tổ hợp để biến đổi; Sử
dụng đạo hàm; Sử dụng tích phân.
Với mục
đích phần nào giúp các em giải quyết những vướng
mắc trên, chuẩn bị cho các em vững tin bước
vào kỳ thi Tốt nghiệp và Đại học.
B. CƠ SỞ
KHOA HỌC
1) Cơ sở lý thuyết.
 Trước hết cho các em nắm
vững những vấn đề sau:
+ Công thức
khai triển Nhị thức Niu Tơn:
(a + b)n
=     (n, k nguyên dương k
£ n).
+ Tổng
số các hạng tử trong khai triển (a + b)n bằng
(n + 1).
+ Hệ số
của các  hạng tử trong
khai triển: Có tính chất đối  xứng, tức là:
C =  (0 £ k £ n).
+ Dạng
đặc biệt của nhị thức Niu Tơn:
     Dạng 1:
Thay a = 1 ; b = x ta được:
(1 + x)n
=  x +  x2 + … +  xx – 1 + xn.
      Dạng
2:
Thay a = 1 ; b = – x.
(1 – x)n
x + x2 – … + (-1)n  xn.
+ Công thức
tính đạo hàm của hàm số mũ: [(1 + x)n]
= n (1 + x)n -1.
+ Công thức
tính tích phân.
          2) Cơ sở thực
tiễn:
Qua nhiều
năm giảng dạy, tôi đã áp dụng đề tài này
vào các lớp mà tôi phụ trách rất hiệu quả, đặc
biệt năm học này tôi đã tiến hành trên các lớp
11I, 11H, 11G và các lớp 12A, 12G cùng các lớp ôn thi đại
học của trường THPT Ba Đình Nga Sơn, kết
quả thu được tương đối tốt. Từ
chỗ các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán
dạng này, sau khi được hướng dẫn, rèn
luyện thì các em đã giải thành thạo.
C. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Sau
khi cho các em nắm vững kiến thức cơ bản về
công thức khai triển nhị thức Niu Tơn và các tính
chất của nó, nắm vững công thức tính đạo
hàm, tích phân của hàm số mũ. Tôi đưa ra 3 phương
pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
chứa C, mỗi phương pháp tôi đưa ra các ví
dụ từ dễ đến khó và  nâng lên tổng quát, sau đó đưa
ra các bài tập áp dụng.
  I- PHƯƠNG
PHÁP 1
:
  Sử dụng các công thức và
tính chất tổ hợp để chứng minh đẳng
thức, bất đẳng thức chứa C (Tổ hợp chập
k của n ).
Ví dụ 1:   
      Chứng minh
các đẳng thức sau:
     a) C = C + C + C +… + C    (1)
    b) C = C + C + C +… + C   (2)
Giải:    Trước hết ta chứng
minh công thức : C + C = C
Thật vậy:
Ta có   C + C =  +
                                            =   =
                                              =
 = C
a. Áp dụng
công thức trên ta có:
VP (1) = C + (C – C) + (C – C) + … + (C – C)
  =  C = VT(1)      đpcm
b. Tương
tự câu a, ta có:
   VP (2) = C + (C – C) +… + (C – C)
  =  C = VT(2)      đpcm
Ta có thể
chứng minh câu b, tổng quát trước rồi áp dụng
cho câu a.
 Ví dụ 2: Chứng
minh các đẳng thức sau:
a.  k C = n C     với mọi
k,n nguyên dương, 1
b.  n C = (r+1)C + r C   với mọi
r,n nguyên dương, 0 
 Giải:  a.  Ta
có:   n C  =    n.= k. = k C    đpcm
           b. 
CM tương tự câu a,

thể sử dụng 2 công thức trên vào chứng minh các đẳng
thức khác.
Ví dụ 3:
 CMR với mọi k, n nguyên dương
, ta có:
a. CC + CC +…+ CC = C
b. CC + CC +…+ CC = C
c. (C)2 +  (C)2+ …+  (C)2 =  (C)2
Giải:  Cách 1: Ta chứng minh câu b, rồi
thay k=1000, m=2011, n=2010 thì được câu a,
b. Từ khai triển
nhị thức Niu tơn: 
(1 + x)n
=  x +  x2 + … +  xx – 1 + xn.
Và (1+x)m;
(1+x)m+n ta đồng nhất hệ số của xk
ở hai vế của đẳng thức  (1 + x)n(1 + x)m =
(1+x)m+n ta được:
CC + CC +…+ CC = C     đpcm
c. Đặc biệt
hoá: k = m = n thì: 
(C)2 +  (C)2+ …+  (C)2 =  (C)2     đpcm
Cách 2: Chứng
minh câu a, trước rồi nâng lên tổng quát ta được
câu b,
  Ví dụ 4:
CMR:  CC + CC +…+ CC  1005.22010
+ 1   (*)
Giải: 
Ta có: CC =
Suy ra VT(*) =
2010.(C+C+…+ C) =
 =  2010.22009=
1005.22010 1005.22010
+ 1   đpcm
Qua VD này ta có công
thức TQ:     CC = n.C
Ví dụ 5:
 CMR với mọi k,n nguyên dương
, ta có:
               C.C (C)2  
Giải: 
Cho n cố định,
xét dãy số(U­­­n): Un = C.C
Khi đó bđt
viết dưới dạng  U Uo         
Ta chứng minh
dãy (U­­­n) luôn đơn điệu giảm
Thật vậy:
Uk+1  Uk  .    .
                    n+ 2nk 0 – luôn đúng
Do đó  U
 
Uo  
Vậy  C.C (C)2 đpcm
Bài tập áp dụng:
1. C. C  (C)2
2. CMR:C + C   C + C            (o )
3. (ĐHSP Vinh
2001)
CMR: C+ 3C+ 3C+…+ 3.C = 2(2-1)
4.   CMR: 2C+ 2C + … + C <
5. 4n C– 4n-1C+ … + (-1)n C = C+ 2C+ 22 C+ … +2n C
II- PHƯƠNG PHÁP 2:   Sử dụng đạo hàm
    Xuất phát từ khai triển
nhị thức Niu tơn:
(1 + x)n
=  x +  x2 + … +  xx – 1 + xn.
Ta có thể
lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai hoặc cấp r,
sau đó thay x = a tuỳ vào đẳng thức hoặc bđt
cần chứng minh.
Cũng có
những bài toán sau khi đạo hàm ta phải nhân thêm với
xk, hoặc nhân với xk rồi mới đạo
hàm  và thay giá trị của x tuỳ
vào ycbt.
Ví dụ 1:   Với n là số
nguyên dương, chứng minh rằng.
a)
1.  -+ 2  +  + … + n  = n. 2n – 1.
b)   – 2+ 3 – … + ( – 1)k –
1
Cxk + … + (- 1)n- 1 n  = 0.
Giải:  a)     x, với
n là số nguyên dương ta có:
(1 + x)n =  + x + x2 + … + xn        
(1) .
Lấy
đạo hàm theo x hai vế của  (1) ta được :
n (1 + x)n – 1 =  + 2 x + … + n xn – 1         (2).
Thay
x = 1 vào  (2) ta có:    n. 2n – 1 =  + 2  + … + n        đpcm
b) Với x và với n là số nguyên dương
ta có:
          (1 – x)n     =  – x  + x2 – … + ( – 1)n xn    (3).
Lấy
đạo hàm hai vế của (3) theo x ta được:
          – n (1 – x)n – 1 = –+ 2x – … + n (-1)n xn – 1  (4).
Thay
x = 1 vào  (4) ta có:
           0 = –  + 2 –  … + ( – 1)n n .
          Û  – 2 + 3  – … + (- 1)n –
1
n  = 0         đpcm.
Ví dụ 2:     Với n nguyên dương, chứng
minh rằng:
a)
2. 1  + 3. 2  + … + n (n – 1)  = n(n – 1) 2n – 2.
b)
(-1)r . + (-1)r + 1 . + … + ( – 1 )n   = 0.
          (r nguyên dương, r £ n).
Giải:
a) x và n nguyên dương, ta có:
(1+ x)n =  +  + 2x + … + xn    (1).
Lấy
đạo hàm theo x hai vế của (1) được:
n (1+ x)n – 1 =  + 2x + … + nxn – 1  (2).
Lấy
đạo hàm theo x hai vế của (2) ta có:
n (n
– 1). (1 + x)n – 2 = 2.1 + 3.2x + … + n(n – 1). xn – 2        (3).
Thay
x = 1 vào (3) ta được:
n (n – 1). 2n – 2 = 2.1 + 3.2+ … + n(n – 1). đpcm.
b) Lấy đạo
hàm cấp r theo x hai vế của (1) ta được:
n(n
–  1)… (n – r + 1). (1 + x)n – r
= k (k – 1)…(k – r + 1). xk – r   (4).
Chia
hai vế của (4) cho r ! ta được:  
n (n – 1)…(n – r + 1) (1 + x)n – r =   xk – r
                                                =
  xk – r
                                                =   xk – r       
(5)
Thay   x = – 1 vào (5) ta được:
0 = ( – 1)k – r
« 
 (-1)k =
0     đpcm
Ngoài
việc lấy đạo hàm theo x hai vế của khai triển
nhị thức Niu Tơn cấp 1, 2, 3,…, cấp r, rồi
thay x = 1  hay x = – 1;  ta còn gặp  các bài toán thay
x = a hoặc
khai triển từ (b + x)n, muốn xác định
a, b ta căn cứ vào đầu bài, chẳng hạn:
Ví dụ 3:    Với n nguyên dương, chứng
minh rằng:
a)  + 4 + … + n. 2n – 1
 = n. 3n – 1.
b) 3
n – 1
 + 2.3n – 2   + 3.3n – 3
+ … + n   n.4n – 1 +1.
Giải:
 x Î R, với n nguyên dương
ta luôn có:
a)
(1 + x)n =  + x +  x2 + … + xn          (1).
Lấy
đạo hàm 2 vế của (1) theo x, rồi thay x
= 2, ta được:
n.3n
– 1
=  + 2. 2  + 3.22 + … + n.2n – 1  đpcm.
b)  Từ : (3 +
x)n = 3n + 3n – 1x +3n – 2 x2 + … +
 30 xn    (2)
Đạo hàm 2 vế của (2) và thay  x = 1 ta được:
n.4n
– 1
= 3n – 1 + 23n – 2 + 33n – 1+ … + n    n.4n – 1 +1
                                                                                           đpcm.
+ Có
những bài toán không chỉ đơn thuần từ khai
triển: (x + a)n rồi đạo hàm cấp r, thay
x = m, … mà có thể phải nhân thêm 
với một biểu thức của x, tách ra thành tổng
2 biểu thức hay nhân chia, cộng, trừ với một
biểu thức khác, chẳng hạn:
Ví dụ 4: Với n
nguyên dương, chứng minh:
a) 12
 + 22 + 32  + … +  = (n2 + n) 2n
– 2
.
b)  + 2  + … + (n – 1)  > (n – 2) 2n –
1
.
Giải:
a) Từ
khai triển:     (1 + x)n
=  + x + … + xn             (1).
Lấy
đạo hàm cấp 2 hai vế của (1) theo x.
n(n
-1) (1 + x)n – 2 = 2.1  + 3.2 x + … + n (n – 1) xn – 2.
Thay
x = 1, được: n(n – 1)2n -2 = 2.1  + 3.2  + …+ n(n- 1)  (2).
Cộng
theo vế đẳng thức (2) với đẳng
thức sau:
n 2n
– 1
=  + 2 + …+ n.
(Do
thay x = 1 vào đẳng thức sau khi đạo hàm cấp
1 hai vế của (1) )
Ta có:
n(n – 1)2n – 2 + n 2n – 1 =  + 22 + 33 + … +n2 .
Û  + 22 + 33+ … +n2 = (n2 + n). 2n – 2             đpcm.
b)
Thay x = 1 vào (1) ta được:
2n =  +  + + … +           (3)
Lấy
hàm theo x hai vế của (1) rồi thay x = 1 ta được:
n.2n
– 1
=  + 2+… + (n – 1)  + n     (4).
Lấy
(4) trừ (3) theo vế, ta được:
n.2n
– 1
– 2n = – +  + … + (n – 2) + (n – 1) .
                                                                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Û  + 2.+ … + (n – 1)  = (n – 2)2n – 1
+ 1 > (n – 2) 2n – 1 đpcm.
Ví dụ 5:  Với n nguyên dương, chứng
minh rằng:
           + 4 + … + n .2n -1= n.4n – 1  – (n – 1)4n
– 2
 +
                  + (n – 2) 4n – 3  + … + ( – 1)n
– 1
  
Giải: Từ khai triển: (1
+ x)n =  +  x +…+  xn  (1).
Lấy
đạo hàm 2 vế (1) rồi thay x = 2 ta được:
n.3n
– 1
=  + 4.  + … + n 2n
– 1
                 (*)
Lại
có: (x – 1)n =  xn xn – 1 +…
+ (- 1)n                    (2).
Lấy
đạo hàm hai vế của (2) rồi thay x = 4
ta được:
n.3n
– 1
= n 4n – 1  – (n – 1) 4n
– 2
 + … + ( – 1)n
-1
       (3).
Từ
(*)(3) ta suy ra:
+ 4 +… +n.2n – 1.= n.4n – 1 – (n – 1)4n – 2 +…
…+(-1)n-1       đpcm.
Ví dụ 6:      CMR:     (2k – 1)2  =  2007. 2008. 22004
Giải:   Ta có: S =(2k
-1)2.
=12.+32+…+20072
Xét
hàm số:  
¦(x) =  [(1 + ex)2007 – (1 – ex)2007]
Khai
triển nhị thức Niu Tơn ta có:
¦(x) = e(2k – 1)x  Þ ¦”(x)
(2k – 1)2 [e(2k – 1)x]
Þ Tổng cần tìm là: S
= (2k – 1)2 =
¦”(0)
Mà: ¦(x) =    [ (1 + eX)2007  – (1 – ex)2007]
          ¦(x)
=
[(1 + ex)2006
+ (1 – ex)2006]
          + [(1 + ex)2005
– (1 – ex)2005]
          Þ S =
¦(0) =
2007. 2008. 22004   
Þ đpcm
Bài tập áp dụng:
 Với n nguyên dương, chứng
minh rằng:
1)  + 2.4.  + 3.42
 + … + n.4n-1
 = n.5n-1
2) . 5n-1 + 2. . 5n-2 +…+ n.   n .6n – 1
2.
3) ( + 2  + 3  + … + n.  ) < n !
4)
3.2.  + 4.3.  + 5.4  + … + (n +
3)(n + 2)  
          = 3(2 + n). 2n + n (n – 1).
2n – 2.
III– PHƯƠNG PHÁP 3:        Sử dụng tích phân:
 Căn cứ vào đẳng thức
hay BĐT cần chứng minh để chọn tích phân hai
vế của khai triển nhị thức Niu tơn (a+b)n
theo a hay b rồi thay giá trị của chữ còn lại cho
phù hợp.
Ví dụ 1:    Với n là số nguyên dương,
chứng minh rằng:
a)  + .
                             (ĐHGTVT 2000).
b)  – 
Giải:    x và
với n nguyên dương ta có:
(1 +
x)n =  xk                (1)
Lấy
tích phân theo x hai vế của (1), ta được:
(1 + x)n dx = 
xk dx
«  =
Û    =               (2)
a)
Thay t = 1 vào (2), ta được:  =             đpcm
b) Thay t = – 1 vào (2) ta được:
 =  «   =          suy ra  đpcm
Ví dụ
2:
Chứng minh rằng:
2  – 22
  + 23   + … +  
 =  [1 + (-1)n ]
     
Giải:    Với x và với n là số nguyên
dương ta có:
(1 – x)n = (-1)k xk  (*)
Lấy tích phân theo x hai vế của (*)
ta được:
                    (1 – x)n dx = ( – 1)k xk dx 
                Û  – (- 1)k   
Û = 2  – 22
  + 23   – … + 2        .đpcm.
 Ví dụ 3:     Tính tích phân:     In =  (1 – x2)n
dx, với n
Î N.
Từ
đó suy ra:  –  + – … + =
Giải: Tính In bằng
phương pháp tích phân từng phần, với cách đặt:
Khi đó:    In = x (1 – x2)n
+ 2n  (1 – x2)n
– 1
x2 dx.
          = – 2n  (1 – x2)n
– 1
[(1 –  x2) – 1] dx.
          = -2n [ (1 – x2)
n
dx –  (1 – x2)n
– 1
dx] = -2n (In – In – 1).
Û In = In- 1 = . I0 = dx
                                                          =
                  (1)
Ta có
(1 – x)n = (-1)k xk.
Û (1
– x2)n = (- 1)k x2k.                                                 (2).
Lấy tích
phân theo x hai vế của (2), ta được.
 (1 – x2)n
dx = (- 1)k x2kdx = (- 1)  
=  – + – … +
Từ (1)
(3) suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng
minh rằng với n nguyên dương ta có:
  –   + … +  > – 3  
Giải:     Xuất phát từ khai triển:
(1 – x2)n
=  +  ( – x2) +  (- x2)2
+ … +  ( – x2)n
Þ x ( 1 -x2)n
=  x –  x3 +  x5
…+ (- 1)n  x2n + 1         (1)
Tích
phân hai vế của (1) được:
    x (1 – x2)n dx = x2 –    + … + ( – 1)n
       (2)
Từ
(1)(2) suy ra:
=   –   +   –    + …+  
(Dox (1 – x2)n
dx = –
 (1 – x)2d (1- x2) = .   = )
                                                đpcm.
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
1)
Chứng minh rằng:
  +   + … +   =  
2)
Chứng minh rằng:  +
  .2 +  .22  +   . 23 + …
                                  +   2n >   – 2
3) CMR:  +  +  + …+  .
4)
CMR:  –  + . . . .+ (- 1)n
 
=  (với m, n nguyên dương).
5)
CMR:   C +   +  + … +  <  +1            
( với
n nguyên dương ).
D. KẾT
QUẢ VÀ BÀI  HỌC KINH NGHIỆM
 Sau khi các em được hướng
dẫn cách sử dụng công thức, tính chất của tổ
hợp, cách sử dụng đạo hàm, tích phân để
chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
có chứa  (tổ hợp chập
k của n), thì các em đã giải các bài toán dạng này tương
đối thành thạo.Tôi đã tiến hành kiểm tra trên
các lớp 11G, 11I, 11H và các lớp  12A, 12G được kết quả
như sau:
   – Lớp 12A:  65% học sinh giải thành thạo
các bài toán dạng này.
                   25% học sinh
biết cách giải.
                      10%  học sinh còn lúng túng.
  Lớp
11G và 12G: 50% học sinh giải thành thạo các bài toán dạng
này.
                                  40% học sinh biết cách giải.
                                    10%  học sinh còn lúng túng.
  Lớp
11H:   45% học sinh giải thành
thạo các bài toán dạng này.
                     
40% học sinh biết cách giải.
                       15%  học sinh còn lúng túng.
  Lớp
11I:  40% học sinh giải thành
thạo các bài toán dạng này.
                    
45% học sinh biết cách giải.
                       15%  học sinh còn lúng túng.
Qua quá trình thực hiện đề tài này
tôi thấy cần:
      +  Củng cố và khắc sâu những
kiến thức có liên quan.
      +  Giáo
viên cần đưa ra những ví dụ từ dễ đến
khó, sau đó đưa ra dạng tổng quát hoặc phương
pháp giải chung cho mỗi loại bài (lưu ý học sinh có
thể còn có cách giải khác).
        +  Động viên học sinh cần
nỗ lực học tập, tư duy lô gíc và mạnh dạn
đưa ra cách giải của mình.
  Trên đây là những ý kiến
chủ quan của mình, trong bài viết này nếu có  chỗ nào chưa thật hay, tôi
mong rằng các bạn đồng nghiệp góp ý để
có một cách dạy tốt nhất và đạt kết quả
cao nhất khi dạy dạng toán này.
                                              Tôi xin chân thành cảm
ơn !
                                                                
Nga Sơn, ngày 2 tháng 5 năm
2011
                                                                               
NGƯỜI VIẾT
                                                                                                 
                                                        
                              Hoàng
Thị Uyên