Một số dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn
( Trích Báo THTT – số 4/2008)
DẠNG 1:        BÀI TOÁN TÍNH TỔNG

1/ Ví dụ 1: Rút gọn: 
·        Nếu k<n thì ta có
·        Rút gọn suy ra: 
·        Nếu k = n thì 
2/ Ví dụ 2: Tính S = 
·        Áp dụng công thức  ta có: 
·        Vì vậy S = 
·        Suy ra 2S =  
3/ Ví dụ 3: (Sử dụng phép tính đạp hàm)
         Tính 
·        Xét đa thức f(x) = x(1+x)n =   D=R
·        Ta có 
           
*** Lưu ý: Để tính  các tổng
                   
                   
                   
               Ta xét đa thức f(x) = x(1+x)n và chứng tỏ rằng S1=f(a);
                              xét đa thức g(x) = x(1+x)2n và chứng tỏ rằng 2S2=g(a)+g(-a); 2S3=g(a)-g(-a)
4/ Ví dụ 4: ( Sử dụng phép tính tích phân)
              Tính  
·        Xét đa thức f(x) = 
·        Suy ra  
*** Lưu ý: Để tính  các tổng
            
              Hãy chứng tỏ rằng S = 
              Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0 hoặc 1; -1.
              Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức g(x) = xk.(1+x)n với k = 1; 2; 3;….
DẠNG 2:        BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP
5/ Ví dụ 5: CMR 
·        Ta có (x+1)n.(1+x)n = (x+1)2n  (1)
·        VT(1) = 
Từ đó suy ra hệ số của x2n trong khai triển VT(1) là : 
·        Còn hệ số của x2n trong khai triển ở VP(1) là . Vậy suy ra đpcm.
*** Lưu ý: Khi xét đẳng thức (x+1)n.(1+x)m = (x+1)n+m  (2). Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để viết cả 2 vế thành đa thức của ẩn x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong 2 vế, ta có thể viết ra được nhiều hệ thức về tổ hợp.
DẠNG 3:        BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP
6/ Ví dụ 6: Giải phương trình 
·        ĐK: 
·        Với đk trên pt đã cho 
                                        
*** Lưu ý: Khi giải pt tổ hợp ta làm như sau: đặt điều kiện cho ẩn số; sử dụng các công thức về hoán vị; chỉnh hợp; tổ hợp để biến đổi, rút gọn và giải pt; đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán để kết luận. Tương tự như vậy khi giải bất phương trình….
7/ Ví dụ 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp lập thành một CSC trong dãy số sau: 
·        Giả sử 3 số hạng liên tiếp trong dãy trên lập thành CSC là: 
                                  
                                  
                                  
                                     
·        Vậy ba số hạng cần tìm là:  và 
DẠNG 4:        BÀI TOÁN TÍNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC
8/ Ví dụ 8:
Tính số hạng không chứa x trong P(x) =  biết n thỏa mãn:  (1)
·        Từ (1) ta có: 
                                                     
·        Khi đó P(x) =  
·        Số hạng không chứa x tương ứng với 
·        Vậy số hạng phải tìm là: 
*** Lưu ý:
Tính hệ số của số hạng chứa xp (p là một số cho trước) trong khai triển f(x) = (u(x)+v(x))n, ta làm như sau: Viết f(x) = ; số hạng chứa xp ứng với g(k) = p; giải pt ta tìm được k. Nếu k là số tự nhiên và nhỏ hơn hoặc bằng n thì hệ số phải tìm là ak. Nếu k  hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa xp, hệ số phải tìm bằng 0.
9/ Ví dụ 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức
P(x) = (2x+1)13 = a0.x13 + a1.x12 + ….+a12.x + a13
·        Ta có P(x) = (2x+1)13 = 
·        Vậy an = 
·        Xét bất pt: an-1  an 
                  Vậy ta có an-1an đúng khi n ;và dấu bằng không xảy ra;
                                suy ra 
Ta được: a0 <a1<a2<a3<a4 và a4>a5>…>a13. Vậy max(an) = a4 = .
*** Lưu ý: Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax+b)m thành đa thức, ta làm như sau: Tính hệ số của số hạng tổng quát an; giải bất pt: an-1an  với ẩn n; hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên n lớn nhất thỏa mãn bất pt trên.