Một cách khác giải quyết các bài toán liên quan đến nhị thức Niu – tơn
DẠNG 1:    ÁP DỤNG CÔNG THỨC (I)
Bài toán mở đầu:
                 Tính tổng:     (1)

Giải
·         Cách giải thứ nhất:
@ Chúng ta đã biết bài toán này được giải quyết theo phương 
     pháp đạo hàm.
@ Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức
     cần tính để đưa ra nhị thức Niu – tơn thích hợp.
                    @ Cụ thể: Ta có
                             
                      Đạo hàm bậc nhất hai vế; suy ra:
                               
                      Cho x = 1 ta được:
                                 
                      Từ đó suy ra: 
·        Cách giải thứ hai:
               @ Áp dụng công thức:  
                    ta được    (2)
               @ Khi đó; từ (1) và (2) suy ra:
                             
·        Cách giải thứ ba:
               @ Ta xác định số hạng tổng quát trong biểu thức cần tính; đó là:
                                       
                 @ Theo công thức (1) ta có:
                             
               @ Khi đó:
                
                     
***Bình luận:
·        Cách giải thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh thường lúng túng khi đưa ra nhị thức Niu- tơn cần khai triển để áp dụng, nhất là đối với các tổng phức tạp hơn cần sử dụng đạo hàm bậc hai, bậc ba…. Mặt khác trong chương trình học: bài “Nhị thức Niu – tơn” học trước chương ” Đạo hàm”.
·        Cách giải thứ hai: không là cách giải tổng quát cho tất cả các bài tương tự.
·        Cách giải thứ ba:
         @ Phù hợp với nội dung chương trình đang học.
         @ Tự nhiên hơn.
         @ Áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn.
·        Sau đây là một số bài tập được giải quyết nhờ công thức (I); (II).
Bài 1:  Tính các tổng sau:
  a/   
  b/        
  c/     
  d/ 
  e/ 
 Giải
a/ 
               @ Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát
                      trong tổng S1; cụ thể là:   
               @ Theo công thức (I) ta có:
                                   
               @  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:
                        
                        
·        Tương tự với các tổng còn lại;
b/      
          
              
              
c/ 
            
            
            
            
d/ 
            
            
            
e/  
            
*** Nhận xét:
·        Như vậy ta có thể tính tổng bất kỳ dạng:
                   
Dựa vào đó người giáo viên có thể ra nhiều bài tập tương tự, để làm phong phú hơn bài giảng của mình, nhằm giúp học sinh hiểu bài hơn và áp dụng tốt vào các dạng bài tập tương tự.
·        Giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:
chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức……
·        Nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu thức của k dưới dạng bậc hai hoặc bậc ba của k thì ta giải quyết như thế nào?
*** Từ công thức (I); ta suy ra các công thức sau:
            1/    (IA)
            2/    (IB)
                                           Chứng minh:
                      1/      
                 2/ Tương tự (dành cho bạn đọc)
Bài 2: Tính các tổng sau
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
Giải
a/ 
               @ Bước thứ nhất, ta cũng hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
                      quát trong tổng S6; cụ thể là:   
               @ Theo công thức (IA) ta có:
                                   
               @  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được:
                        
                        
·        Tương tự với các tổng còn lại;
b/ 
                   
                   
                        
                        
c/ 
               @ Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:
                                  
               @ Theo công thức (IA) ta có:
                  
                        
               @  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được:
      
      
                               ( Do  )
      
d/  
               @ Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:
                         
               @ Theo công thức (IA) ta có:
                        
                                           
                                           
               @  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến 2011 ta được:
                     
                 
                 
                 
Bài 3: Tính các tổng sau
    a/ 
    b/ 
    c/    
Giải
a/ 
               @ Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
                    quát trong tổng S10; cụ thể là:   
               @ Theo công thức (IB) ta có:
                                   
               @  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:
                        
                        
·        Tương tự với các tổng còn lại;
b/   
               @ Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:
                                  
               @ Theo công thức (IA) và (IB) ta có:
                           
               @  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:
   
                                                             ()    
   
   
   
c/  
                                               
               @ Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:
                                  
               @ Theo công thức (IA) và (IB) ta có:       
           
                                                               
                     
               @  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:
         
         
         
*** Nhận xét:
·        Như vậy ta có thể sử dụng các công thức (IA) và (IBcho các tổng; trong đó có số hạng tổng quát dạng :        
·        Tương tự như bài tập 1; giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:Chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức……
·        Và chúng ta đều nhận thấy rằng với cách giải các bài toán như trên giúp học sinh chủ động hơn trong quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn ra vấn đề tổng quát nhằm phát huy tính sáng tạo, chủ động của các em.
Bài 4*: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 380/ 2009)    
             Chứng minh rằng:
                     a/ 
                     b/                
Giải
a/     
              @ Ta dễ dàng nhận ra:                 
                       
                                            
                                                                     
                @ Theo công thức nhị thức Niu – tơn và áp dụng các công thức (I);
                        (IA)(IB) ta có:
              +/          (*)
              (**)      
                      @ Thay thế (*); (**); (***) vào biểu thức (1) ta đuợc;
        .đpcm
                                                              ()
b/   
                 @ Theo câu a/ và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng:
               
                 @ Khi đó; với mọi x [0; 1] thì:
            
           ( theo kết quả của phần a/ và (*))
                
          
                 @ Dấu bng xảy ra khi và chỉ khi:
                          
Bài 5**:  ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 393/ 2010)    
Cho p là một số nguyên tố, và các số tự nhiên m; n; q thoả  mãn:  . Chứng minh rằng: chia hết cho  .              
Giải
                 @ Ta viết số tự nhiên n dưới dạng:  với 
·        Nếu  thì . Điều này vô lí. Vì vậy 
·        Khi đó theo công thức (I) :   nên:
                        
                 @ Do (k;p)=1 và  là số nguyên dương nên ta suy ra:
                              
                 @ Mà  nên .
                 @ Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.                                 
Bài 6***:  ( Đề thi IMO năm 1980)    
Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện:  . Xét tất cả các tập con gồm phần tử của tập hợp {1, 2, …, n}. Mỗi tập con này đều có phần tử bé nhất. Gọi F(n,r) là trung bình cộng của tất cả các phần tử bé nhất đó.  Chứng minh rằng:              
Giải
                @ Gọi  G(n,r) là số trung bình cộng của các phần tử lớn nhất của
                       các tập con đã nói ở đề bài.
                @ Khi đó ta có:
                       
                      
                @Từ (1) và (2) ta suy ra:
                      
                @ Mặt khác, do  nên:
                              
                @ Từ (3) và (4) ta có:
                        (5)
                @ Theo công thức (I  nên áp dụng ta có
                               
         Khi đó:
                 
        Áp dụng (4) liên tiếp cho từng số hạng:  ta được:
                  
     @ Thế (6) vào (5) ta được:
                     
***  Chú ý: Từ bài tập trên ta có thể rút ra số trung bình cộng G(n,r) và thiết lập một bài toán mới.

**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ


I/  Đối với học sinh trung bình khá ta có thể ra các bài tập sau nhằm củng cố kiến thức và tạo sự hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.


Bài 1: Chứng minh rằng


                 


Bài 2: (Đề thi ĐH khối A năm 2005)


Tìm giá trị n thoả mãn hệ thức sau:


                 


Bài 3: Tìm n thoả mãn


                 


Bài 4: Chứng minh rằng


                 


Bài 5:  Tính tổng


             a/ 


             b/ 


             c/ 


Bài 6:  Chứng minh rằng


            


Bài 7: Cho a > 0; . Hãy tính tổng


            a/ 


            b/ 


            c/ 


            d/ 


II/ Một số bài tập nâng cao.


Bài 1: Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện:  . Xét tất cả các tập con gồm phần tử của tập hợp {1, 2, …, n}. Mỗi tập con này đều có phần tử lớn nhất. Gọi G(n,r) là trung bình cộng của tất cả các phần tử lớn nhất đó.  Chứng minh rằng:              


Bài 2: ( Đề thi IMO năm 1987)   


Cho S ={1;2;…;n}; . ta gọi p(k) là số các hoán vị của S có đúng k điểm cố định. Chứng minh rằng: