A Kiến thức cơ bản:
Một số bất đẳng thức cần nhớ:
            –  Bất đẳng thức Côsi

  Với   
Dấu bằng xảy ra khi 
         Các bất đẳng thức khác :
1.
2. 
3,
4.
           5.  
6.  với a ,b > 0
          7. ,   Với mọi  

Bài 1: Cho x,y,z là các số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 

Lời giải: Ta có P = ( 1)

Theo bất đẳng thức Cô si ta có :

.(2)

Mặt khác theo giả thiết  x+ y+ z = 1 nên từ(2) ta có    (3)

Từ (3) và (1) Ta có P  . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = .

Vậy Max P =  khi và chỉ khi x = y = z = .

Bài 2: Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : xy2z2 + x2z +y = 3 z2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 

Lời giải: Ta xét  

Từ giả thiết suy ra  xy2 +. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :

           (1)

          1+ (2)

          1+ x4 + y4 +y4 = 4xy2 (3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta được           3 +3(   P  . Dấu bằng xảy ra khi x =y = z = 1.

Vậy Max P = khi và chỉ khi x =y = z = 1.

Bài 3 Cho a, b, c là các số thục dương thỏa điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 

Lời giải  : Do a2+b2 2ab, b2 + 1 2b khi đó :

          

          Tương tự  và 

Khi đó P  

          . ( Do và ac = )

          Dấu bằng trong BĐT trên xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy Max P = khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 4 ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên)

Cho a, b, c là các số dương tùy ý và thỏa điề kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 

Lời giải: Ta có 2c + ab = c( a+b+c) + ab = c2 + c( a+b) + ab = ( c+a)( c+b)

            

Vậy (1). Tương tự ta có :

           (2)

           (3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta được

 P .

P = 1 khi a = b = c = .

Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi a = b = c = .

Bài 5 Cho a,b,c là ba số dương thỏa điều kiện a+ b+ c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .

Lời giải: Áp dụng BĐT (x+y+z)9 ta có

           9

Khi đó P . Mặt khác theo BĐT Cô si ta có :

          =

Hay , tương tự  và 

 Suy ra ++= 3

Vậy P  3 . Dầu bằng xảy ra khi a = b =c = .

Kết luận :  Min P = 3 khi a = b = c = .

Bài 6  Cho các số không âm x , y, z thỏa mãn x2 + y2 +z2 3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 

Lời giải  : Ta có 2x + 4y + 2z ( x2 +  1) + ( y2 + 4) + (z2 + 1) 3y + 6 

Suy ra x + y + 2z  6 Dấu bằng xảy ra khi x = = z = 1.

Với a và b là các số dương ta có :  ( 1)  

Áp dụng BĐT (1) ta được : 

   

Vậy Min P = 1 khi x = 1, y = 2 , z = 1

Bài 7 Cho x,y,z dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x2 + 3y2 + z2

Lời giải: Ta có 2P = ( 4x2 + z2) + (4y2+ z2) +(2x2+ 2y2)

Áp dụng BĐT Cô si ta có 4x2 + z2  4xz , 4y2 + z2 4yz, 2x2 + 2y2 4xy

Khi đó 2P 4( xy + yz + zx) = 20 hay P  10 .

P =10 khi x = y = 1 , z =2

Kết luận Min P = 10 khi và chỉ khi x = y =1 , z= 2

Bài 8  Cho  và . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải  : Ta có: 

    (vì x+y =1)                                 

 =                                                                              

Đặt . Khi đó  hay 

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức  với . Ta có f(t) = -5 +.

Để f(t) lớn nhất thì tổng t +2 nhỏ nhất hay t = 0 vì        .                                         

Để f(t) nhỏ nhất thì tổng t +2 lớn nhất hay t =   vì                               Vậy MaxP = 1 khi x= 1, y =0 hoặc x= 0 ,y= 1

MinP =    khi x = y= 

Bài 9 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =                                        

Lời giải:  Ta có: 

         

            

Đặt t = xy, t 

Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  trên đoạn  

Sử dụng bảng biến thiên của hàm số bâc hai học sinh tìm được: 

Bài 10  Cho x, y, z và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = 

Lời giải: Ta có: P + 3 =  


  


 

 hay 

Suy ra  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy MinP =            

Bài 11   Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện:

   xy + yz + zx ³ 2xyz.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x – 1)(y – 1)(z – 1).

Lời giải: Ta có  nên 


Tương tự ta có 


Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được . Suy ra  A 

Vậy MaxA = 

 Bài 12 Với mọi số thực dương  thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  thức:    .  

Lời giải: Áp dụng BĐT Cô-si :  (1). Dấu bằng xảy ra khi .

 Tương tự:  (2) và  (3).

  Mà:  (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: .

 . Vậy Minx = y = z = 

Bài 13 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức: . Dấu bằng xảy ra khi a = b .

Ta có :   

    Hay  (1).

   Tương tự    (2)

                    (3)

Cộng vế với vế của (1),(2),(3) và áp dụng giả thiết ta được P  1

Mà P =1 Khi x = y = z = . Vậy Max P = 1 x = y = z = 

Bài 14 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P =   

Lời giải:  .Ta có: P = 

         

      

 Và 

Từ đó   P . Để P = 2 thì a = b = c = .

Vậy Min P = 2 a = b = c = .

Bài15  Cho hai số dương  thỏa mãn: .

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải:

Thay  ở tỉ số cuối được: 

 khi    Vậy Min P = 

Bài 16  Cho x, y, z  > 0 thỏa  điều kiện xyz = 1.

 Tìm GTNN của .

Lời giải:  Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có:


Tương tự:  ;   

Suyra: . Dấu bằng xảy ra  khi x = y = z = 1.

Vậy MinS =  khi x = y = z = 1.

Bài 17 Cho xyz  là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 £ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

Lời giải:  Ta có: 


 Mà P =  khi x = y = z= 1

Vậy Min P   x = y = z= 1

Bài 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

Lời giải: Ta có :    (*)

Nhận thấy : x2 + y2 – xy ³ xy   x, y Î 

Do đó : x3 + y3 ³ xy(x + y)   x, y > 0   hay    x, y > 0

Tương tự, ta có :    y, z > 0  và     x, z > 0  

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

  P ³ 2(x + y + z) = 2  x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy Min P = 2.    

Bài 19  Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu   thức:   .

 Lời giải: Vì , Áp dụng BĐT Côsi ta có:

                                


     


 Dấu bằng xảy ra . Vậy MaxP = 

Bài 20 Cho x,y Î R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

Lời giải: Đặt t = x + y ; t  > 2. Áp dụng BĐT 4xy £ (x + y)2 ta có 

. Do 3t – 2 > 0 và  nên ta có


Xét biểu thức  f(t) = . f(t) = 8 khi t = 4


Do đó min P =  = f(4) = 8 đạt được khi 

I.2 Các bài toán giao về nhà cho học sinh thực hiện


Bài 21 Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                             

 Lời giải:     P = . Có

           = 2          (1)

Mặt khác:  =      (2)

Từ (1) và  (2)   P  . Dấu “ = “  1 – x = 1 – y   x = y = 

Vậy Min P =  khi x = y = 

Bài 22 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.


Lời giải:  S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

              = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

              = 16x2y2 – 2xy + 12

              Đặt t = x.y, vì x, y ³ 0 và x + y = 1 nên 0 £ t £ .

              Khi đó S =  16t2 – 2t + 12 = f(t). Hàm số f(t) xét trên đoạn 0 £ t £  đạt giá trị lớn nhất tại t = , đạt giá trị nhỏ nhất tại t =   

              Max S =  khi x = y = 

              Min S =  khi   hay 

Bài 23 Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Lời giải: Với x, y > 0 ta chứng minh : 

4(x3 + y3³ (x + y)3   (*)  Dấu = xảy ra Û x = y

Thật vậy (*)   Û 4(x + y)(x2 – xy + y2³ (x + y)3

                       Û 4(x2 – xy + y2³ (x + y)2   do x, y > 0

                       Û 3(x2 + y2 – 2xy) ³ 0 Û (x – y)2 ³ 0   (đúng)

Tương tự ta có        4(y3 + z3³ (y + z)3   Dấu = xảy ra Û y = z

4(z3 + x3³ (z + x)3   Dấu = xảy ra Û z = x

Do đó  

Ta lại có     Dấu = xảy ra Û x = y = z

Suy ra    

Dấu = xảy ra Û x = y = z = 1

Vậy minP = 12 khi  x = y = z = 1

Bài 24   Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải: Ta có      A  = 

Þ A

Với x = y = 2 thì  A = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 

Bài 25  Cho  . Tìm GTLN của  biểu thức 

 Lời giải: Ta có:    (1)

  .   Ta đặt a = 1/x, b = 1/y


Mà  (*).

Cách 1:

Ta có: A = ( a + b)2 

Ta biết :  ( vì a + b > 0 )

“ = “ xảy ra a = b.


Từ đó suy ra : 

“ = “ xảy ra  a = b = 2.

Vậy Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2.

Cách 2 :

Ta có:   A= a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2 ) = (a + b)2.

Từ (1) suy ra : a + b = (a + b)2 -3ab

Mà:


         Vậy MaxA  = 16. khi x = y = ½.

Cách 3:

Đặt S = x + y , P = xy  với S2 – 4P .

Từ gt suy ra:. Ta có


  Khi đó 

     Vậy MaxA = 16 ( khi x = y =  ).

Bài 26   Cho 

   Tìm GTLN  của 

 Lời giải: Đk :  Ta có :



Dấu “=” xảy ra khi  và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6.

Vậy Max M = .

Bài 27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =  với  x , y , z là các

số thực thuộc đoạn .

Lời giải: Ta có:.

Suy ra:  và     

  

Bài 28  Cho  Tìm GTLN của  S = .

Lời giải:  Ta có: .

 (1).

Mà:  (2).

Từ (1) và (2) (a).Ta có S=(b)

 Từ (a) và (b) S =.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy MaxS = 4  khi x = y = 3.

Bài 29 Cho x,y,z laø caùc soá thöïc döông thay ñoåi vaø thoûa maõn ñieàu kieän xyz=1.

Tìm GTNN cuûa bieåu thöùc 😛 =++.

Lời giải: Ta coù;;

P++

Ñaët a=; b=;c=                                            

;;

Vaäy P=          

Daáu “=” xaûy ra . Vaäy Min P = 2 .

Bài 30  Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z +  

Lời giải: Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 > 0 Û  ³ 3

 x + ,  y + ,  z + 

Từ đó: A=³ 2 + ³ 10

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = .Vậy MinA = 10 đạt được khi x = y = z = 

Bài 31 Cho x, y, z là 3 số dương và  x + y + z £ 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  P = 

Lời giải:Với mọi  ta có:   (*)

Đặt   

Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: 

Vậy   P = ³ 

Khi đó: (x + y + z)2 +  = 81(x + y + z)2 +  – 80(x + y + z)2

³ 18(x + y + z). – 80(x + y + z)2  ³ 162 – 80 = 82

Suy ra  P ³ . Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = .

Vậy Min P = khi và chỉ khi x = y = z = .

Bài 32 Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z – x – y) = x + y + 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải: Từ giả thiết  z(z – x – y) = x + y + 1 suy ra ( z+1)( x+y) = z2 – 1 và do z > 0  nên ta có x + y + 1 = z . Khi đó biểu thức đã cho có thể viết dạng  

Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương x , y ta có :   

  ,

  ,  và x + y  4xy

 Do đó , suy ra T ( *)

Mà T =  khi và chỉ khi x = 3, y = 3, x= 7 .

Vậy Max T =  khi x = 3, y = 3, x= 7 .

Bài 33  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thúc:  với .

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức : 

Ta có : 

Þ 

Khi x = 3 thì A = Vậy Min A =  .

Bài 34  Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = .

Lời giải: Xét 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = ( a + b)( a + c)

                   1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = ( b+a)(b +c)

                   1 +c2 = ab + bc +ca +c2 = (c+a)(c+b)

Khi đó P = 

          = 



Dấu bằng xảy ra khi và chí khi 

Vậy giá  trị  lớn nhất của P là .