A.  ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
          Giáo sư Hoàng Tụy có viết trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ “ Các nhà toán học thường làm việc với bất đẳng thức nhiều hơn đẳng thức”. Đối với chương trình toán ở trường phổ thông, BĐT là một trong những phần quan trọng. Ngay từ lớp 1, học sinh được làm quen với BĐT thông qua các bài toán như: So sánh hai số, điền dấu  vào ô trống. Đến lớp 9, học sinh đã được tiếp cận với một vấn đề về BĐT nhưng ở mức độ cao hơn. Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đã được đưa vào chương III – đại số 10. BĐT có trong tất cả các chủ đề của toán sơ cấp thông qua các dạng toán như: toán cực trị, khảo sát hàm số, giải phương trình, giải bất phương trình… Có những bài toán, việc sử dụng BĐT đóng vai trò quyết định lời giải nhưng cũng có những bài toán ta chỉ sử dụng BĐT như một khâu trung gian.

Vì vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hoá để tìm lời giải thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức ”. để hướng dẫn cho học sinh phương pháp tư duy giải toán.
II. Cơ sở khoa học của SKKN:
          Bài tập chứng minh BĐT có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò đánh giá  hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động trí tuệ phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
       Vai trò của bài tập chứng minh BĐT được thể hiện cụ thể là:
* Với chức năng giáo dục, bài tập chứng minh BĐT giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng và niềm tin phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh, sáng tạo.
* Với chức năng dạy học, bài tập chứng minh BĐT nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học.
* Với chức năng phát triển, bài tập chứng minh BĐT nhằm phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những  phẩm chất trí tuệ.
* Với chức năng kiểm tra, bài tập chứng minh BĐT nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh. Từ năm 2002 đến nay, đề thi vào đại học và cao đẳng được thực hiện theo hướng ba chung, nội dung đề thi phải nằm trong chương trình học, phải bám sát chương trình, không quá khó, không mang tính đánh đố học sinh nhưng lại phải có khả năng phân loại được thí sinh. Bài tập về BĐT hoặc những bài tập dưới dạng BĐT thường được sử dụng là bài tập để phân loại học sinh bởi BĐT là một nội dung khó, học sinh lại không được rèn luyện nhiều, để giải BĐT đòi hỏi học sinh phải động não, tư duy mà điều đó thường  chỉ học sinh khá, giỏi mới làm được.
III. Mục đích của SKKN:   Giúp học sinh phát triển tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hoá để tìm lời giải toán trong một số bài toán bất đẳng thức .
IV.Đối tượng nghiên cứu:
     – Khách thể: Học sinh THPT .
     – Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán bất đẳng thức .
 – Phạm vi nghiên cứu:   Các bài toán sơ cấp bài toán bất đẳng thức trong chương trình PTTH.
    – Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp  10A2,10D3,10A6 năm học    2013 -2014
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải. Đặc biệt với những bài chứng minh BĐT là những bài toán mà  không có một thuật toán nào để giải đòi hỏi các em phải luôn tư duy, động não. Vì vậy, khi dạy những bài chứng minh BĐT  giáo viên hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Biết đề ra cho học sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ của từng đối tượng.
     Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của  G. Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1:       Tìm hiểu nội dung của bài toán.
Bước 2:       Tìm cách giải
Bước 3:       Trình bày lời giải
Bước 4:       Nghiên cứu sâu lời giải.
                   Trong các bước của phương pháp tìm lời giải, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự thường được sử dụng trong hai bước: Tìm cách giải và nghiên cứu sâu lời giải.
VI. Thời gian hoàn thành SKKN:    Tháng 04 năm 2014.



B.  PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CHUẨN  BỊ
I. 1  Định nghĩa
·        Định nghĩa: Giả sử  và  là hai số thực. Các mệnh đề “”, “”, “”, “” được gọi là những bất đẳng thức.
     Cũng như các mệnh đề lôgic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
I.2  Một số tính chất của bất đẳng thức
·        .
.
Nếu  thì .
Nếu  thì .
·        Từ đó ta có các hệ quả sau:
           và .
          .
           và .
 và .
.
.
I.3  Một số bất đẳng thức thường gặp
·        Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
.
Đặc biệt với  ta có ( với mọi ).
·        Bất đẳng thức Cauchy
Cho  là các số thực không âm ta có:
          .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Đặc biệt với  ta có . Đẳng thức xảy ra khi .
        Với  ta có . Đẳng thức xảy ra khi .
·        Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Với các số thực  và  ta có:
.
  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  
           (Nếu  thì coi ).
Với  ta có .
Với  ta có .
·        Bất đẳng thức Chebyshev
a)     Cho hai dãy đơn điệu tăng  và  ta có:
    .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
b)  Nếu  và  thì
    .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
·        Bất đẳng thức Jenxen
     Cho  là hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm cấp hai liên tục trên  và  ta có:
a)  Nếu  với  thì .
b)  Nếu  với  thì .
I.4   Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
          1.       Phương pháp biến đổi tương đương.
          2.       Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ điển.
          3.       Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai.
          4.       Phương pháp quy nạp.
          5.       Phương pháp phản chứng.
          6.       Phương pháp lượng giác.
          7.       Phương pháp hình học.
          8.       Phương pháp hàm số.
          9.       Phương pháp làm trội.
          10.     Phương pháp so sánh.
          11.     Phương pháp dùng tính chất tỉ số.
          12.     Phương pháp đổi biến số.



CH ƯƠNG II
VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ VÀ TƯƠNG TỰ HOÁ ĐỂ TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC II.1 Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hoá vào tìm lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức 
Các bài tập toán học ở nhà trường phổ thông có thể chia làm hai loại: loại có thuật toán để giải và loại chưa có thuật toán để giải. Bài tập chứng minh BĐT thuộc về dạng bài tập chưa có thuật toán để giải. Để tìm cách giải dạng toán này ta có thể hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, mò mẫm dự đoán thử xét một vài trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó liên quan.
Ví dụ 1
Chứng minh BĐT:  với mọi . (1)
          BĐT này chỉ nêu lên trong SGK đại số 10 và được phép ứng dụng, tuy nhiên không có chứng minh. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh BĐT trên như sau:
Cách 1: Sử  dụng đặc biệt hóa
Giáo viên: Hãy sử dụng BĐT Cauchy cho hai số để đánh giá
. Từ đó suy ra .
Học sinh:   
                   
Giáo viên:  Hãy sử dụng BĐT Cauchy để đánh giá vế phải của BĐT trên
Học sinh:    
Giáo viên: Từ đó ta có được điều gì?
Học sinh:     (*)
Giáo viên: Thay   thì (*) có dạng gì?
Học sinh:    .
                   .
                   .
                   .
Giáo viên: Như vậy BĐT trên được chứng minh nhờ thao tác đặc biệt hóa.
          Cách 2: Sử dụng tương tự và đặc biệt hóa.
Chúng ta có thể biểu diễn (1) dưới dạng:
          . (2)
Giáo viên: Hãy xét  BĐT tương tự với (2), nhưng đơn giản hơn
Học sinh:     . (3)
Giáo viên: Hãy chứng minh (3)
Học sinh: (3)  luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi .
Vấn đề là sự tương tự giữa (2) và (3) có giúp gì cho việc chứng minh hay không?
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ giữa (2) và (3).
Giáo viên: .
Em có nhận xét gì khi đặt .
Học sinh: Nếu đặt  thì ta có BĐT (3).
Giáo viên: Như vậy (3) không những là một trường hợp tương tự của (2) mà còn là một trường hợp đặc biệt của (2) khi .
Mặc dù vậy,  việc phát hiện ra mối liên hệ này vẫn chưa giúp ta tìm ra lời giải của bài toán.
Áp dụng (3) cho các cặp số không âm  ta được điều gì?
Học sinh:
                   . (1’)
Giáo viên: Tiếp tục áp dụng (3) với  và  ta có:
Học sinh:
          . (2’)
Giáo viên: Từ (1’) và (2’) ta có điều gì?
Học sinh:  . (4)
Giáo viên: Như vậy ta đã chứng minh được BĐT (4) nhờ BĐT (3). Cũng như quan hệ giữa (2) và (3), ngoài sự tương tự giữa (2) và (4), có thể (2) cũng là trường hợp đặc biệt của (4) khi  .
Giáo viên: Chúng ta hãy kiểm tra nghi vấn bằng cách thay  vào BĐT (4).
Học sinh:
          
          . Như vậy (2) đã được chứng minh.
          Đẳng thức xảy ra khi .
          BĐT (1) được chứng minh dựa trên việc khai thác một BĐT (2) tương tự với nó nhưng đơn giản hơn và cũng là một trường hợp đặc biệt của nó. Sau đó dùng trường hợp đặc biệt này để chứng minh cho bài toán tổng quát hơn (4). Cuối cùng bằng đặc biệt hóa để trở về bài toán ban đầu. Như vậy bài toán trên được giải nhờ đặc biệt hóa và tương tự. 
                    Ví dụ 2
Cho  là ba góc trong của một tam giác. Chứng minh rằng:
          . (1)
Bài toán này có nhiều cách chứng minh giáo viên có thể gợi ý cho học sinh một trong những cách chứng minh sau:
Trước hết ta đi chứng minh bổ đề sau:
 với . (2)
Giáo viên: Hãy xét BĐT tương tự với BĐT (2) nhưng đơn giản hơn
Học sinh:       với .  (3)
Học sinh có thể chứng minh (3) một cách dễ dàng
Ta có:   
(vì ).
Từ BĐT (3) học sinh vẫn chưa thể chứng minh được BĐT (2).
Giáo viên: Dựa vào BĐT (3) em hãy đánh giá hệ thức
 với .
Học sinh:    
                   
          .
Giáo viên:
Như vậy ta đã chứng minh được  (3)
Giáo viên: Hãy đặc biệt hóa BĐT (3) khi .
Học sinh:
                   
                   .
Đến đây giáo viên cho học sinh phát hiện ra mối liên hệ giữa bài toán ban đầu và kết quả của bổ đề.
Học sinh: Áp dụng bổ đề cho   
Ta được . Đẳng thức xảy ra khi  đều.
          Bài toán được giải nhờ việc giải một bài toán tổng quát của nó. Để giải được bài toán tổng quát (2) ta đã đi giải một bài toán tương tự (3) nhưng cũng là trường hợp đặc biệt của nó. Sau đó bằng đặc biệt hóa để trở về BĐT tổng quát ban đầu. Chứng minh được bài toán tổng quát ta lại tiếp tục đặc biệt hóa
để xuất hiện bài toán (1).
Quá trình trên là cả một chuỗi từ  .
          Sau khi tìm được lời giải, học sinh cần kiểm tra lời giải. Kiểm tra lại lời giải bài toán tức là xem xét lời giải có sai lầm hay thiếu sót gì không? Sai lầm khi chứng minh BĐT thường bắt nguồn từ việc vận dụng các BĐT cổ điển mà không để ý đến điều kiện để BĐT đúng hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ BĐT này suy ra BĐT kia.
          Ví dụ 3
Chứng minh rằng: .
Học sinh giải như sau:
Theo BĐT Cauchy ta có:
Cộng các BĐT trên ta được ĐPCM.
Nhận xét: Sai lầm về kiến thức vì .
     Lời giải đúng
Ta có 
.
Tương tự ta cũng có .
Cộng các BĐT trên ta được ĐPCM.
Ví dụ 4
Chứng minh rằng với mọi  ta có: .  (*)
Học sinh giải như sau:
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số  và  ta có:
Nhận xét: Sai lầm vì không để ý đến điều kiện của các số  trong BĐT Cauchy.
 là  và . Trong ví dụ 2,  và  chỉ không âm khi  nên lời giải trên không chính xác.
     Lời giải đúng
(*)
      hiển nhiên đúng với mọi .
          Kiểm tra lại lời giải cũng có thể bằng cách đặc biệt hóa kết quả tìm được để xem xét tính đúng sai của kết quả bài toán thường là những bài toán tổng quát từ một bài toán cho trước nào đó. Chẳng hạn, ở ví dụ 1 của luận văn, sau khi dự đoán BĐT tổng quát  với 
Ta thử đặc biệt hóa giá trị .
Khi  cho ta BĐT .
Khi  cho ta BĐT .
          Hai BĐT thu được sau khi đặc biệt hóa giá trị  là hai BĐT ban đầu mà ta đã chứng minh được tính đúng đắn của nó. Nhờ đó mà ta dự đoán BĐT tổng quát mà ta tìm được là đúng và tìm cách chứng minh dự đoán đó.
     Sau khi đã tìm ra lời giải, ngoài việc kiểm tra lại lời giải, giáo viên cần khuyến khích học sinh tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn được cách giải hay nhất, đẹp nhất.
II.2. Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hoá vào nghiên cứu lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức
          Sau bước tìm cách giải, học sinh thường bỏ qua bước nghiên cứu sâu lời giải. Giáo viên cần giúp học sinh làm quen và tập luyện một cách có ý thức bước nghiên cứu lời giải trên hai khía cạnh: nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải và nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.  
Trở lại ví dụ 2
Cho  là ba góc trong của một tam giác. Chứng minh rằng:
          (1)
          Lời giải 1 Dùng bổ đề để chứng minh
          Ta xét thêm một cách giải sau:
          Lời giải 2 Dùng phương pháp biến đổi tương đương
    (1)            (do 
                                                                            nên ).
          
           luôn đúng.
Vậy (1) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi   
                                   đều   
Khai thác kết quả của bài toán.
Góc độ thứ nhất: Trong giả thiết của bài toán thì  là các góc của một tam giác thì  cũng là các góc trong của một tam giác. Từ đó ta có BĐT:
          .  (1.1)
Từ BĐT(1.1) ta có:
          
          .  (1.2)
Từ (1.2) ta có BĐT tổng quát
          .  (1.3)
Nếu tam giác ABC không tù, từ kết quả của bài toán ta có BĐT
          .  (1.4)
Từ (1.3) có BĐT tổng quát với mọi tam giác ABC không tù
          .  (1.5)
Ta còn có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng khác
Góc độ thứ hai: Sử dụng các hệ thức liên hệ giữa các hàm lượng giác với các yếu tố khác như độ dài, diện tích, chu  vi,…
Chẳng hạn, từ (1) theo định lí côsin trong tam giác ta có:
          
          .
Khai thác lời giải của bài toán.
          Xét lời giải 1
Áp dụng bổ đề xét trong các trường hợp đặc biệt ta sẽ xây dựng thêm nhiều BĐT mới.
          .
          .
Cho  là các góc của một tứ giác ta có:
          .
          Xét lời giải 2
Lời giải chỉ cần yêu cầu  .
Từ đó ta có một số BĐT sau:
          .
          .
Nếu A , B, C, D, E, F là các góc trong của một lục giác lồi thì:
          .
          Như vậy từ việc khai thác bài toán ban đầu bằng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự đã cho ta nhiều kết quả mới khá hấp dấn.
          Ví dụ 5
 Cho  dương thỏa mãn , chứng minh rằng:
                   .  (1)
          Lời giải
Ta có                    
Tương tự     
Do đó:        .  (2)       
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:
                    (vì )
                    . (3)
Từ (2) và (3) ta được ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi .
          Giả thiết của bài toán là tổng của hai số dương bằng 1. Với cách nhìn đó ta thử tăng thêm số lượng biến trong bài toán sao cho các biến vẫn ràng buộc với nhau bởi điều kiện có tổng bằng 1.
Cho  dương thỏa mãn , khi đó ta có:
                    . (4)
Cho  dương thỏa mãn , khi đó ta có:
                    . (5)
          Từ đó có thể khái quát hóa bài toán với  () số dương tùy ý. 
Cho  số dương tùy ý   thỏa mãn . CMR:
                   . (6)
          Vẫn là cách nhìn dưới góc độ trên, nếu như tổng của các biến không phải là 1 mà là một số bất kì, tức là   thì ta có BĐT tổng quát hơn.
                   . (7)
          Ta có thể xây dựng được BĐT trên bằng cách thay số 2 ở trong BĐT bởi một tham số  bất kì với . Khi đó ta có bài toán:
Cho  số dương tùy ý   thỏa mãn , chứng minh:
                    với . (8)
Ngoài ra ta còn có thể mở rộng bài toán bằng cách tăng số mũ của biến
Cho  số dương tùy ý   thỏa mãn , chứng minh:
                     với . (9)
Thông qua bài toán này ta thấy việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau sẽ giúp ta khai thác và mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau.
          Ngoài việc nghiên cứu đào sâu các lời giải của một bài toán cụ thể, giáo viên còn có thể giúp học sinh vận dụng cách giải của bài toán ban đầu cho một lớp các bài tập khác. Đây có thể  xem như sự khái quát hóa về phương pháp.
          Ví dụ 6
Chứng minh rằng: .
          Lời giải
Ta có: 
. ĐPCM
Sau đó giáo viên có thể ra tiếp các bài tập sau:
Chứng minh rằng:
1. .
2.  với .
3. .
4. CMR nếu  là một số thực lớn hơn các số  thì:
 .
5. Giả sử  đặt .
Chứng minh rằng: .
          Qua các bài toán đó, giáo viên cần cho học sinh phát hiện mấu chốt của các bài tập trên chính là sử dụng công thức .
Trong đó:  .
          Ví dụ 7
Cho  và . CMR:  (*)
          Lời giải 1
 (*)
 luôn đúng.
Dấu “=” xảy ra khi .
          Lời giải 2
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Tương tự:    
                   
Cộng vế với vế các BĐT ta được:
.
Dấu “=” xảy ra khi 
Nhận xét hai cách giải này ta thấy:
Với cách giải 1
 Giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải tiếp các bài toán sau:
          Bài toán 1
Cho . Chứng minh rằng: .
          Bài toán 2 (Học viện Công nghệ bưu chính viễn thông 1998-1999)
Cho  và . Chứng minh rằng: .
          Bài toán 3 (Đại học Ngoại thương TP Hồ Chí Minh 1995-1996)
Cho  và . Chứng minh rằng: .
          Bài toán 4 (Đại học Y Dược TP Hồ Chí Minh 1992-1993)
Cho . Chứng minh rằng: .
          Sau khi học sinh giải hệ thống bài toán trên, giáo viên yêu cầu học sinh tìm phương pháp chung để giải bài tập đó. Nguyên tắc để thực hiện đó là tìm cách biến đổi sao cho hai vế của BĐT cần chứng minh có cùng bậc. Đây là một phương pháp chứng minh BĐT có điều kiện được gọi là phương pháp  “cân bằng bậc”.
Với cách giải 2
          Học sinh có thể đặt câu hỏi số 1 trong BĐT Cauchy đến từ đâu? Tại sao ta lại nghĩ áp dụng BĐT Cauchy có sự tham gia của số 1.
          Câu trả lời là do tính bình đẳng của  nên ta dự đoán dấu đẳng thức có khi , kết hợp với điều kiện . Phương pháp này được gọi là phương pháp sử dụng điểm rơi để chứng minh BĐT.
Chú ý: Nếu trong BĐT Cauchy có  biến tham gia đánh giá, và kết quả khai căn tổng số của các biến bằng , khi đó ta nói là “cân bằng bậc  cho  biến với điểm rơi”.
Từ đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải tiếp những bài tập sau:
          Bài toán 1
Cho  và . Chứng minh rằng:
a) .
b) .
c)  với .
          Bài toán 2
Cho  dương thay đổi. Chứng minh: .
          Bài toán 3
Cho  dương thay đổi. Chứng minh: .
          Đến bài toán 2 và bài toán 3 học sinh có thể gặp lúng túng vì bài tập vẫn tương tự như dạng trên nhưng không có điều kiện ràng buộc giữa các biến.
Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh đằng sau các biến  là ngầm ẩn giả thiết . Với gợi ý đó học sinh dự đoán được dấu đẳng thức có khi . Suy ra 1 là điểm rơi của BĐT Cauchy. Bởi vậy có lời giải cân bằng bậc nhất cho một biến với điểm rơi là 1.
Từ đó áp dụng Cauchy ta có:.
Đánh giá tương tự các số còn lại và cộng các vế của các BĐT ta có BĐT
Mặt khác  
.
Tiếp đó ta lại ra cho học sinh bài toán sau:
          Bài toán 4
Cho  là các số thực thỏa mãn . Chứng minh :
          .
          Học sinh bằng lập luận tương tự, dự đoán được dấu đẳng thức có khi  . Vì giả thiết là  nên ta dự đoán vế trái của BĐT được so sánh với một biểu thức có chứa . Bởi vậy có lời giải cân bằng bậc hai cho một biến với điểm rơi như sau:
Theo Cauchy ta có: 
                             .
Đánh giá tương tự các BĐT còn lại. Cộng các vế của BĐT ta được BĐT cần chứng minh.
          Qua đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh bài toán tổng quát của BĐT (*)
Cho các số thực dương  thỏa mãn . Chứng minh rằng với  ta có: 
Sau khi chứng minh xong bài toán này học sinh có thể thay  bởi  thì kết quả của BĐT không thay đổi.