Bài viết này được chia làm 2 phần. Phần 1 : các đề , câu hỏi về bất đẳng thức. Phần 2: Đáp án và phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức. Các em chú ý.

I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng  với a,b,c>0
2.Chứng minh rằng   với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm: 
4.Cho k số không âm  thoả  
Cm:  với 
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn:  .Tìm GTLN của biểu thức
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 
7.Cho số tự nhiên  . là các số thực dương
Cmr: 
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn .Tìm GTNN của biểu thức
9.Tìm GTNN của  với  
10.Cho n số thực thuộc đoạn  
Cmr: 
11.Cho n là số nguyên dương;lấy  với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của 
12.Xét các số thực thoả 
Tìm GTLN của biểu thức 
13.Cho n số dương  Đặt : 
.Cmr: 
14.Cho .Chứng minh rằng: 
15.Cho .Chứng minh rằng: 
16.Chứng minh  với 
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
1/
2/
3/
18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh: 
19.Cho . Cmr:
  với m > 0
20.Cho .Chứng minh rằng: 
21.Cho .Tìm GTLN của biểu thức  với 
22.Cho .Tìm GTLN của biểu thức  với 
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức
24.Cho   .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/
2/
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
27.Giả sử >0 thỏa mãn điều kiện . Cmr: 
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn . Cmr: 
29. Giả sử >0  thỏa mãn điều kiện .Cmr: 
30. (QG-98) Giả sử >0 thỏa mãn điều kiện 
Cmr: 
31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện  
Cmr: 
33.Cmr:  ta có 
34.Cho .Cmr: 
35. Cho .Cmr: 
36.Cho  với i=1,…,2000.Thỏa mãn  Tìm GTLN của 
37.Chứng minh :  Trong đó 
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z  thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức 
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : .Trong đó a là một số dương
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức 😛 = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn  : 
Tìm GTLN và GTNN của  : 
41.Cho hàm số  thỏa mãn pt 
Cmr:     ( OLP-30-4-99)
II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho   là các số thực thoả mãn  và .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2.Cho    là các số thực thoả mãn  và Cmr: 
3(HSG-NA-2005)   là các số thực thoả mãn  và 
Cmr: 
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : 
Tìm GTNN của 
5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a – 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng : 
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr: 
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : 
Cmr: 
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : 
Cmr: 
9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : 
Cmr: .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có:
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực  thỏa mãn 
Cm: 
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn : 
Cmr: 
13.Cho các số x,y thỏa mãn : 
Cm: 
III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi  ta có
2.Tìm GTNN của hàm số 
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: 
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh : ( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho  Chứng minh rằng
  với 
5.Cho hàm số   với 
Chứng minh : 
6.Chứng minh .với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
7.Chứng minh 
8.Giả sử  f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện 
Cmr: 
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
.Chứng minh tam giác ABC đều
11.Cho .Chứng minh rằng : 
12.Cho .Chứng minh rằng 
 13.Cho .Chứng minh rằng : 
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: 
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa .
Chứng minh rằng:
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
17.Cho .Cmr: 
18Cho số nguyên lẻ .Cmr: ta luôn có :
19.với giá trị nào của m thì 
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : 
21.Cho là hai số thực thay đổi thỏa mãn 
Tìm GTLN của biểu thức 
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện 
Chứng minh ta có bất đẳng thức  
23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
1/Tìm cực trị của hàm số  
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của 
24.Tìm GTNN của 
25. Cho và . Cmr: 
26. Cho   và .  Cmr:
27Cho a,b,c>0 .Cmr : 
28. (Olp -2006)Cho .Cmr:
39.(Olp nhật 1997)Cho .Cmr: 
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : .
Tìm GTLN  và NN của biểu thức     (QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 
Tìm GTLN và GTNN của     (QG-A-2004)
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn và .Chứng minh rằng
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y               ( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn ,  Tìm GTNN và GTLN của hàm số    QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn ,  Tìm GTNN và GTLN của hàm số     ( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và   Cmr: 
IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì 
2.Chứng minh rằng  nếu  thì 
3.Chứng minh
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
.Chưng minh pt có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng 
5.Cho pt bậc n: trong đó 
là số thực thỏa mãn : .Chứng minh pt đã cho có
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang 
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn 
Chứng minh pt :  có nghiệm thuộc khoảng 
7.Cho hàm số liên tục : có đạo hàm trên khoảng Thỏa mãn
.Chứng minh tồn tại sao cho  và 
8.Giải các pt sau :
a) 
b) 
c) 
d) 
9.Xét phương trình : 
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là 
b)Cmr dãy số có giới hạn bằng 4 khi                                                                              (QG-A-2002)
10.Cho hàm số  và  đồng biến trên đoạn ,với
Chứng minh rằng tồn tại phân biệt trong sao cho 
11.Cho  thoả mãn các điều kiện  và 
Cm:tồn tại dãy số  sao cho 
(n là số nguyên dương )
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
CMR: 
V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) tại x=0
b) tại x=0
2.Xác định a,b để hàm số : có đạo hàm tại x=0
3.Cho hàm số
Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0
VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Giải bpt : 
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: 
có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt
6. Tìm những giá trị của a để  pt: có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt :
7.Giải pt : 
8.Giải hệ 
9.Giải bất pt 
10.Giải pt :  với tham số 
11. Giải hệ:   
12 Giải pt: với 
13 Giải pt:
14.Giải pt: 
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :  
2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt:  có đúng một nghiêm  
3.Cho hàm số   với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr với mọi   đều tồn tại duy nhất số thực      
 (QG-A-2006)                                                             
4.Cho pt : 
a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn 
5.Tìm m để pt sau có nghiệm: 
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:
7.Tìm m để pt :  có nghiệm.
8.Tìm a đ pt :  đúng 2 nghiệm thuộc 
9.Cho hàm số:
a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt  có đúng hai nghiệm.
10.Chứng minh pt có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho   có 3 nghiệm phân biêt
a)Hỏi pt: có bao nhiêu nghiệm
b)Chứng minh rằng: 
12.Cho pt :  ( n là tham số)
a) Cmr v ới mối số nguy ên  ,pt c ó một nghiệm duy nhất trong khoảng
.k í hiêụ ng đó là 
b)Cm dãy số () có giới hạn
13.Chứng minh pt  có 4 nghiệm phân biệt 
và hãy tính tổng 
VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Tìm a ñeå heä sau coù nghieäm duy nhaát: 
2. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm 
3.Giải hệ 
4.Chứng tỏ rằng với mọi thì hệ sau có nghiệm duy nhất
5.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 
6.Giải hệ: 
7.Giải hệ:   ( QG – A- 2006)  
8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)
    
6.Giải hệ:  ( HSGQG 1999)
7.Giải hệ:     (THTT)
8.Gọi  là nghiệm của hệ pt: ( m là tham số)
Tìm GTLN của biểu thức ,khi m thay đổi

HƯỚNG DẤN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC
I.Bất đẳng thức
4. 
7.
 
20. 
Ta có:
Tương tự suy ra: 
Mà:  Vậy: 
26.    
Ta cm:
29.Đặt:  ta có 
Từ đó suy ra:  (đpcm)
30. Đặt:.Ta có: 
Từ  đó suy ra: .vậy có (đpcm)
31.Đăt: 
Ta có:  .vậy 
38.
 
Chọn 
39.
 
Chọn 
khi 
39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: .với p>0 xác định sau ta có
cộng theo vế :
 Chọn p thỏa : 
Vậy  
43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn  và đường thẳng
.Dễ thấy 
Mà  nên 
Vậy khi 
2.và 3 tương tự
4.Gọi Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
 và đường thẳng :
Khi đó 
Gọi và  lần lượt là tâm và bán kính của 
Lấy đối xứng với I qua thì 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .Trong đó là giao
Của JK với và còn 
Vậy 
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có
.và vì nên có đpcm
4.Hàm số với 
có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
: VN Thì 
: có nghiệm duy nhất  thì vì đồng biến nên  là điểm
cực tiểu vì vậy (đpcm)
8.Đặt  thì (1)
vì f là đa thức bậc n nên .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn
có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại  Thì 
vậy từ (1) suy ra (đpcm)
12. 
 Hàm số:   đồng biến trên 
Và có  nên từ  ta có (đpcm)         
13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của 
Chú ý: 
*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị  là
23. đạt cực đại duy nhất bằng 2  tại x=1
nên  nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.
với t=xy + yz +zx
Vì    do (0<x<4)
Từ đó tìm được min và max của P
41.Tương tự40
42. Lấy ln hai vế ta có   (1)
Nếu  hoặc  thì hiển nhiên đúng
Xét và .Khi đó (1) 
Xét hàm số :  nghịch biến trên Suy ra: 
44,45. Biểu diễn  theo cotgx ta được 
IV  ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
6. xét hàm số  
8.a)   (1) .Giả sử pt có nghiệm 
Xét hàm số  có  .Do đó tồn tại
Sao cho 
Thử lại thấy và  đều thỏa mãn (1)
Vậy pt có hai nghiệm ,
b) . Giả sử pt có nghiệm 
Xét  thì  suy ra pt  có nghiệm có
nghiệm .
c)Đặt  
Ta có pt: 
.Đây là pt bậc hai theo 
nên có không quá hai nghiệm do đó pt  có không  quá 3 nghiệm
Ta thấy là 3 nghiệm của pt…
C) Xét   có đạo hàm cấp hai dương
Và .vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1
9)Viết lại pt dưới dạng   (1)
Dễ thấy ,với mỗi  hàm  liên tục và nghịch biến trên 
Hơn nữa  khi  và  khi .Từ đó suy ra
Với mỗi ,pt(1) có duy nhất nghiệm 
Với mỗi  ,ta có
Từ đó, dohàm trên  nên  với mọi  (2)
Mặt khác hàm  có đạo hàm trên  nên theo định lí Lagrange
Với mỗi tồn tại  sao cho 
Hay
 (3)
từ (2) và (3) :  suy ra (đpcm)
III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
2. 
Tìm miền giá trị của f(x) ta được a cần tìm
3.Hàm số  có miền giá trị trên là 
Do đó chỉ cần cm: ,với mọi 
4
. 
Chú ý: .Do đó lượng giác hóa và đưa về ẩn phụ 
Rồi khảo sát hàm số thu được theo t
5.Tương tự 4
10.
Ta có  với x>0 vậy f Nb
Mà  và
Kết hợp f liên tục trong suy ra pt có nghiệm dương duy nhất