Bài viết này được chia làm 2 phần. Phần 1 : các đề , câu hỏi về bất đẳng thức. Phần 2: Đáp án và phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức. Các em chú ý.


.Cmr: 
với m > 0



với 

.Chứng minh tam giác ABC đều



.Chưng minh pt
có ít nhất một nghiệm
.Chứng minh tồn tại
sao cho
và 






.k í hiêụ ng đó là 






khi 
Chọn p thỏa : 
.Dễ thấy 
và đường thẳng
:

.và vì
nên có đpcm
:
VN Thì 
:
có nghiệm duy nhất
thì vì
đồng biến nên
là điểm




.Đây là pt bậc hai theo 
(3)
I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
với a,b,c>0

2.Chứng minh rằng
với a,b,c>0 và abc =1

3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm: 

4.Cho k số không âm
thoả


Cm:
với 


5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn:
.Tìm GTLN của biểu thức


6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 

7.Cho số tự nhiên
.
là các số thực dương


Cmr: 

8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn
.Tìm GTNN của biểu thức


9.Tìm GTNN của
với 


10.Cho n số thực
thuộc đoạn 


Cmr: 

11.Cho n là số nguyên dương;lấy
với mọi i=1,2…,n

Tìm GTLN của 

12.Xét các số thực
thoả 


Tìm GTLN của biểu thức 

13.Cho n số dương
Đặt : 




14.Cho
.Chứng minh rằng: 


15.Cho
.Chứng minh rằng: 


16.Chứng minh
với 


17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
1/

2/

3/

18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh: 

19.Cho
. Cmr:


20.Cho
.Chứng minh rằng: 


21.Cho
.Tìm GTLN của biểu thức
với 



22.Cho
.Tìm GTLN của biểu thức
với 



23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức

24.Cho
.Tìm GTLN của các biểu thức sau :

1/

2/

25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức

26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức

27.Giả sử
>0 thỏa mãn điều kiện
. Cmr: 



28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
. Cmr: 


29. Giả sử
>0 thỏa mãn điều kiện
.Cmr: 



30. (QG-98) Giả sử
>0 thỏa mãn điều kiện 


Cmr: 

31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện 

Cmr: 

33.Cmr:
ta có 


34.Cho
.Cmr: 


35. Cho
.Cmr: 


36.Cho
với i=1,…,2000.Thỏa mãn
Tìm GTLN của 



37.Chứng minh :
Trong đó 


38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức 

39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn :
.Trong đó a là một số dương

cho trước .Tìm GTLN của biểu thức 😛 = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : 

Tìm GTLN và GTNN của : 

41.Cho hàm số
thỏa mãn pt 


Cmr:
( OLP-30-4-99)

II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho
là các số thực thoả mãn
và
.



Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

2.Cho
là các số thực thoả mãn
và
Cmr: 




3(HSG-NA-2005)
là các số thực thoả mãn
và 



Cmr: 

4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : 

Tìm GTNN của 

5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a – 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng : 

6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr: 

7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : 

Cmr: 

8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : 

Cmr: 

9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : 

Cmr:
.Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?

10.Cmr với mọi x,y ta đều có:

11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn 

Cm: 

12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn : 

Cmr: 

13.Cho các số x,y thỏa mãn : 

Cm: 

III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi
ta có


2.Tìm GTNN của hàm số 

3.a)Chứng minh bất đẳng thức: 

b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh :
( A,B,C đo bằng rađian)

4.Cho
Chứng minh rằng



5.Cho hàm số
với 


Chứng minh : 

6.Chứng minh
.với A,B,C là ba góc

của một tam giác.
7.Chứng minh 

8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện 

Cmr: 

9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có

10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:

11.Cho
.Chứng minh rằng : 


12.Cho
.Chứng minh rằng 


13.Cho
.Chứng minh rằng : 


14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: 

15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa
.

Chứng minh rằng:

16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có

17.Cho
.Cmr: 


18Cho số nguyên lẻ
.Cmr:
ta luôn có :



19.với giá trị nào của m thì 

20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : 

21.Cho
là hai số thực thay đổi thỏa mãn 


Tìm GTLN của biểu thức 

22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện 

Chứng minh ta có bất đẳng thức 

23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
1/Tìm cực trị của hàm số 

2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của 

24.Tìm GTNN của 

25. Cho
và
. Cmr: 



26. Cho
và
. Cmr:



27Cho a,b,c>0 .Cmr : 

28. (Olp -2006)Cho
.Cmr:


39.(Olp nhật 1997)Cho
.Cmr: 


40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
.

Tìm GTLN và NN của biểu thức
(QG -B-2004)

41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 

Tìm GTLN và GTNN của
(QG-A-2004)

42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn
và
.Chứng minh rằng



43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 

Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
,
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
QG –B-2003 )



45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
,
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( QG –A-2003)



46.Cho x>0 và
Cmr: 


IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì 

2.Chứng minh rằng nếu
thì 


3.Chứng minh

4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện


thuộc khoảng 

5.Cho pt bậc n:
trong đó 


là số thực thỏa mãn :
.Chứng minh pt đã cho có

ít nhất một nghiệm thuộc khỏang 

6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn 

Chứng minh pt :
có nghiệm thuộc khoảng 


7.Cho hàm số liên tục :
có đạo hàm trên khoảng
Thỏa mãn






8.Giải các pt sau :
a) 

b) 

c) 

d) 

9.Xét phương trình : 

Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là 

b)Cmr dãy số
có giới hạn bằng 4 khi
(QG-A-2002)


10.Cho hàm số
và
đồng biến trên đoạn
,với




Chứng minh rằng tồn tại
phân biệt trong
sao cho 



11.Cho
thoả mãn các điều kiện
và 



Cm:tồn tại dãy số
sao cho 


(n là số nguyên dương
)

12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
CMR: 

V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)
tại x=0

b)
tại x=0

2.Xác định a,b để hàm số :
có đạo hàm tại x=0

3.Cho hàm số

Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0
VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Giải bpt : 

2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất

3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất

4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.

5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: 

có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt

6. Tìm những giá trị của a để pt:
có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt :


7.Giải pt : 

8.Giải hệ 

9.Giải bất pt 

10.Giải pt :
với tham số 


11. Giải hệ:

12 Giải pt:
với 


13 Giải pt:

14.Giải pt: 

VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm : 

2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt:
có đúng một nghiêm 


3.Cho hàm số
với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr với mọi
đều tồn tại duy nhất số thực



(QG-A-2006)
4.Cho pt : 

a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn 

5.Tìm m để pt sau có nghiệm: 

6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:

7.Tìm m để pt :
có nghiệm.

8.Tìm a đ pt :
đúng 2 nghiệm thuộc 


9.Cho hàm số:

a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt
có đúng hai nghiệm.

10.Chứng minh pt
có một nghiệm dương duy nhất

11. Cho
có 3 nghiệm phân biêt

a)Hỏi pt:
có bao nhiêu nghiệm

b)Chứng minh rằng: 

12.Cho pt :
( n là tham số)

a) Cmr v ới mối số nguy ên
,pt c ó một nghiệm duy nhất trong khoảng



b)Cm dãy số (
) có giới hạn

13.Chứng minh pt
có 4 nghiệm phân biệt 


và hãy tính tổng 

VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Tìm a ñeå heä sau coù nghieäm duy nhaát: 

2. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm 

3.Giải hệ 

4.Chứng tỏ rằng với mọi
thì hệ sau có nghiệm duy nhất


5.Tìm a để hệ
có nghiệm duy nhất 


6.Giải hệ: 

7.Giải hệ:
( QG – A- 2006)

8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)

6.Giải hệ:
( HSGQG 1999)

7.Giải hệ:
(THTT)

8.Gọi
là nghiệm của hệ pt:
( m là tham số)


Tìm GTLN của biểu thức
,khi m thay đổi

HƯỚNG DẤN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC
I.Bất đẳng thức
4. 

7.

20. 

Ta có:

Tương tự suy ra: 

Mà:
Vậy: 


26.



Ta cm:

29.Đặt:
ta có 


Từ đó suy ra:
(đpcm)

30. Đặt:
.Ta có: 


Từ đó suy ra:
.vậy có (đpcm)

31.Đăt: 

Ta có:
.vậy 


38.

Chọn 

39.

Chọn 



39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk:
.với p>0 xác định sau ta có

cộng theo vế :


Vậy

43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi
Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn
và đường thẳng




Mà
nên 


Vậy
khi 


2.và 3 tương tự
4.Gọi
Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn




Khi đó 

Gọi
và
lần lượt là tâm và bán kính của 



Lấy
đối xứng với I qua
thì 




Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.Trong đó
là giao


Của JK với
và
còn 



Vậy 

III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có


4.Hàm số
với 


có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm








cực tiểu vì vậy
(đpcm)

8.Đặt
thì
(1)


vì f là đa thức bậc n nên
.Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn

có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại
Thì 


vậy từ (1) suy ra
(đpcm)

12. 

Hàm số:
đồng biến trên 


Và có
nên từ
ta có (đpcm)


13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của 

Chú ý: 

*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị
là


23.
đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1

nên
nhỏ nhất bằng 3

*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.

với t=xy + yz +zx

Vì
do (0<x<4)

Từ đó tìm được min và max của P
41.Tương tự40
42. Lấy ln hai vế ta có
(1)

Nếu
hoặc
thì hiển nhiên đúng


Xét
và
.Khi đó (1) 



Xét hàm số :
nghịch biến trên
Suy ra: 



44,45. Biểu diễn
theo cotgx ta được 


IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
6. xét hàm số 

8.a)
(1) .Giả sử pt có nghiệm 


Xét hàm số
có
.Do đó tồn tại



Sao cho 

Thử lại thấy
và
đều thỏa mãn (1)


Vậy pt có hai nghiệm
,


b)
. Giả sử pt có nghiệm 


Xét
thì
suy ra pt
có nghiệm có



nghiệm
.


c)Đặt

Ta có pt: 



nên có không quá hai nghiệm do đó pt
có không quá 3 nghiệm

Ta thấy
là 3 nghiệm của pt…

C) Xét
có đạo hàm cấp hai dương

Và
.vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1

9)Viết lại pt dưới dạng
(1)

Dễ thấy ,với mỗi
hàm
liên tục và nghịch biến trên 



Hơn nữa
khi
và
khi
.Từ đó suy ra




Với mỗi
,pt(1) có duy nhất nghiệm 


Với mỗi
,ta có


Từ đó, dohàm
trên
nên
với mọi
(2)




Mặt khác hàm
có đạo hàm trên
nên theo định lí Lagrange


Với mỗi
tồn tại
sao cho 



Hay

từ (2) và (3) :
suy ra
(đpcm)


III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
2. 

Tìm miền giá trị của f(x) ta được a cần tìm
3.Hàm số
có miền giá trị trên
là 



Do đó chỉ cần cm:
,với mọi 


4
. 

Chú ý:
.Do đó lượng giác hóa và đưa về ẩn phụ 


Rồi khảo sát hàm số thu được theo t
5.Tương tự 4
10.

Ta có
với x>0 vậy f Nb

Mà
và


Kết hợp f liên tục trong
suy ra pt có nghiệm dương duy nhất
