Thể tích hình chóp cụt và các kiến thức quan trọng

Thể tích hình chóp cụt là một hình học không gian có hai đáy là hai hình tròn song song nhau và các cạnh đứng là các đoạn thẳng nối từ một điểm trên đỉnh đến các điểm trên đường tròn của đáy. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính thể tích của hình chóp cụt.

Lý thuyết hình chóp cụt

Hình chóp cụt là phần còn lại của một hình chóp sau khi cắt đi một phần đỉnh bởi một mặt phẳng song song với mặt đáy.

Hình chóp cụt có hai mặt đáy là hai đa giác có cùng số cạnh và các mặt bên là những hình thang.

Đường cao của hình chóp cụt là khoảng cách giữa hai mặt đáy.

Thể tích hình chóp cụt là lượng không gian được giới hạn bởi hai mặt đáy và các mặt bên.

Công thức thể tích hình chóp cụt

Để tính thể tích của hình chóp cụt, chúng ta sử dụng công thức sau:

\[ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + R \cdot r) \]

Trong đó:

– \( V \) là thể tích của hình chóp cụt.

– \( h \) là chiều cao của hình chóp cụt.

– \( R \) là bán kính của đáy lớn.

– \( r \) là bán kính của đáy nhỏ.

 Cách dùng công thức

1. Đầu tiên, xác định các thông số cần thiết của hình chóp cụt, bao gồm chiều cao \( h \), bán kính của đáy lớn \( R \) và bán kính của đáy nhỏ \( r \).
2. Tiếp theo, thay các giá trị vào công thức thể tích của hình chóp cụt.
3. Cuối cùng, tính toán và rút gọn để tìm giá trị thể tích cuối cùng.

Ví dụ

Giả sử chúng ta có một hình chóp cụt với chiều cao \( h = 10 \) cm, bán kính của đáy lớn \( R = 6 \) cm và bán kính của đáy nhỏ \( r = 3 \) cm. Để tính thể tích của hình chóp cụt, chúng ta sử dụng công thức:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 10 \times (6^2 + 3^2 + 6 \times 3) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 10 \times (36 + 9 + 18) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 10 \times 63 \]

\[ V = 210 \pi \]

Do đó, thể tích của hình chóp cụt là \( 210 \pi \) \( \text{cm}^3 \).

Dạng bài tập tính thể tích hình chóp cụt 

Dạng bài tập 1: Cho các thông số của hình chóp cụt, tính thể tích.

Đề bài: Hãy tính thể tích của một hình chóp cụt biết rằng chiều cao của nó là 8 cm và bán kính của đáy lớn và nhỏ lần lượt là 6 cm và 3 cm.

Phương pháp giải:

1. Sử dụng công thức thể tích của hình chóp cụt: \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + R \cdot r) \).
2. Thay các giá trị vào công thức: \( V = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times (6^2 + 3^2 + 6 \times 3) \).
3. Tính toán để tìm giá trị thể tích cuối cùng.

 Dạng bài tập 2: Cho thể tích của hình chóp cụt và một số thông số khác, tìm thông số còn lại.

Đề bài: Một hình chóp cụt có thể tích là \( 150\pi \) \( \text{cm}^3 \). Bán kính đáy lớn của hình chóp là 5 cm và chiều cao của nó là 12 cm. Tính bán kính đáy nhỏ của hình chóp.

Phương pháp giải:

1. Sử dụng công thức thể tích của hình chóp cụt: \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + R \cdot r) \).
2. Thay các giá trị đã biết vào công thức: \( 150\pi = \frac{1}{3} \pi \times 12 \times (5^2 + r^2 + 5 \times r) \).
3. Giải phương trình để tìm giá trị của \( r \), bán kính của đáy nhỏ.

Dạng bài tập 3: Cho diện tích của đáy và chiều cao của hình chóp cụt, tính thể tích.

Đề bài: Một hình chóp cụt có diện tích của đáy là \( 36\pi \) \( \text{cm}^2 \) và chiều cao là 10 cm. Hãy tính thể tích của hình chóp cụt.

Phương pháp giải:

1. Sử dụng diện tích đáy và chiều cao để tìm bán kính của đáy lớn hoặc nhỏ (tuỳ vào cách xây dựng đề bài).
2. Sau đó, sử dụng công thức thể tích của hình chóp cụt: \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + R \cdot r) \).
3. Thay các giá trị đã biết vào công thức và tính toán để tìm giá trị thể tích cuối cùng.

Dạng bài tập 4: Tìm diện tích đáy của hình chóp cụt biết thể tích và chiều cao.

Đề bài: Một hình chóp cụt có thể tích là \( 100\pi \) \( \text{cm}^3 \) và chiều cao là 8 cm. Hãy tính diện tích của đáy của hình chóp.

Phương pháp giải:

1. Sử dụng thể tích và chiều cao để tìm bán kính của đáy lớn hoặc nhỏ (tuỳ vào cách xây dựng đề bài).
2. Sau đó, sử dụng công thức thể tích của hình chóp cụt để tìm diện tích của đáy: \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + R \cdot r) \).
3. Giải phương trình để tìm giá trị của \( R^2 \) hoặc \( r^2 \), sau đó tính diện tích đáy bằng cách lấy căn bậc hai của giá trị đó.

 Bài tập vận dụng

Bài tập 1:

Đề bài: Hãy tính thể tích của một hình chóp cụt biết rằng chiều cao của nó là 8 cm và bán kính của đáy lớn và nhỏ lần lượt là 6 cm và 3 cm.

Lời giải:

1. Sử dụng công thức thể tích của hình chóp cụt: \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + R \cdot r) \).
2. Thay các giá trị vào công thức: 

   \[ V = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times (6^2 + 3^2 + 6 \times 3) \].

3. Tính toán:

   \[ V = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times (36 + 9 + 18) = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times 63 = 1344 \pi \text{ cm}^3 \].

Đáp án: Thể tích của hình chóp cụt là \( 1344 \pi \) \( \text{cm}^3 \).

 Bài tập 2:

Đề bài: Một hình chóp cụt có thể tích là \( 150\pi \) \( \text{cm}^3 \). Bán kính đáy lớn của hình chóp là 5 cm và chiều cao của nó là 12 cm. Tính bán kính đáy nhỏ của hình chóp.

Lời giải:

1. Sử dụng công thức thể tích của hình chóp cụt để tìm bán kính của đáy nhỏ.
2. Thay các giá trị đã biết vào công thức:

   \[ 150\pi = \frac{1}{3} \pi \times 12 \times (5^2 + r^2 + 5 \times r) \].

3. Giải phương trình để tìm giá trị của \( r \), bán kính của đáy nhỏ.

Đáp án: Giải phương trình ta có \( r = 3 \) cm. 

Bài tập 3:

Đề bài: Một hình chóp cụt có diện tích của đáy là \( 36\pi \) \( \text{cm}^2 \) và chiều cao là 10 cm. Hãy tính thể tích của hình chóp cụt.

Lời giải:

1. Sử dụng diện tích đáy và chiều cao để tìm bán kính của đáy lớn hoặc nhỏ (tuỳ vào cách xây dựng đề bài).
2. Sau đó, sử dụng công thức thể tích của hình chóp cụt:

   \[ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + R \cdot r) \].

3. Thay các giá trị đã biết vào công thức và tính toán để tìm giá trị thể tích cuối cùng.

Đáp án: Tính toán thể tích ta có \( V = 600 \pi \) \( \text{cm}^3 \).

Bài viết này đã trình bày cách tính thể tích của hình chóp cụt bằng cách sử dụng công thức phù hợp và cung cấp một ví dụ minh họa cụ thể. Qua đó, hy vọng bạn đã hiểu được cách tính toán thể tích cho hình chóp cụt.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn