Lý thuyết hình tứ giác - Toán lớp 8

Hình tứ giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Đây là nền tảng để học sinh tiếp cận các kiến thức về hình học phẳng ở những cấp học cao hơn.Bài viết này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về hình tứ giác, bao gồm: định nghĩa, phân loại, tính chất và một số dạng toán tập thường gặp.

Định nghĩa hình tứ giác

Hình tứ giác là hình gồm bốn điểm không thẳng hàng, được nối với nhau bởi bốn đoạn thẳng.Hình tứ giác là một dạng hình học phẳng bao gồm bốn cạnh và bốn đỉnh, với mỗi đỉnh được nối với hai đỉnh khác thông qua một đoạn thẳng.

Tổng số góc trong của một hình tứ giác luôn bằng \(360^\circ\). Hình tứ giác có thể được phân loại thành nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào đặc điểm của các cạnh và góc, như hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình thang, và hình thang cân.

Cách vẽ hình tứ giác:

Lấy bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng.

Nối các điểm A, B, C, D với nhau theo thứ tự bằng các đoạn thẳng.

Hình tứ giác có các yếu tố:

• Bốn điểm A, B, C, D.
• Bốn cạnh AB, BC, CD, DA.
• Bốn góc trong  ∠A, ∠B, ∠C,∠D
• Hai đường chéo AC và BD (nếu có).

Lưu ý:

• Hình tứ giác có thể lồi hoặc lõm.
• Hình tứ giác có thể có nhiều dạng khác nhau như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang,…

Phân loại hình tứ giác

Dựa vào tính chất góc:

• Tứ giác lồi: Tứ giác có tất cả các góc trong nhỏ hơn \(180^\circ\).
• Tứ giác lõm: Tứ giác có ít nhất một góc trong lớn hơn hoặc bằng \(180^\circ\).

Dựa vào tính chất cạnh:

• Tứ giác đơn: Tứ giác không có hai cạnh nào cắt nhau.
• Tứ giác kép: Tứ giác có hai cặp cạnh đối cắt nhau.

Dựa vào tính chất cạnh và góc:

• Hình vuông: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông.
• Hình chữ nhật: Tứ giác có bốn góc vuông và hai cạnh đối bằng nhau.
• Hình thoi: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Hình bình hành: Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
• Hình thang: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song.

Ngoài ra, còn có một số dạng tứ giác đặc biệt khác như:

• Hình diều: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường chéo.
• Hình thang cân: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
• Hình thang vuông: Hình thang có một góc vuông.

Bảng phân loại hình tứ giác:

Loại tứ giác	Tính chất
Tứ giác lồi	Mọi góc trong đều nhỏ hơn \(180^\circ\)
Tứ giác lõm	Có ít nhất một góc trong lớn hơn hoặc bằng \(180^\circ\)
Tứ giác đơn	Không có hai cạnh nào cắt nhau
Tứ giác kép	Có hai cặp cạnh đối cắt nhau
Hình vuông	Bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông
Hình chữ nhật	Bốn góc vuông, hai cạnh đối bằng nhau
Hình thoi	Bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo vuông góc
Hình bình hành	Hai cặp cạnh đối song song
Hình thang	Một cặp cạnh đối song song

• Hình vuông là tứ giác lồi, tứ giác đơn, hình thoi.
• Hình chữ nhật là tứ giác lồi, tứ giác đơn, hình bình hành.
• Hình thoi là tứ giác lồi, tứ giác đơn.
• Hình bình hành là tứ giác lồi, tứ giác đơn.
• Hình thang có thể là tứ giác lồi hoặc tứ giác lõm, tứ giác đơn hoặc tứ giác kép.

Tính chất của hình tứ giác

Hình tứ giác có một số tính chất cơ bản sau, áp dụng cho tất cả các loại hình tứ giác, cùng với một số tính chất đặc biệt tùy thuộc vào loại hình tứ giác cụ thể:

Tính chất cơ bản của hình tứ giác:

• Tổng số góc: Tổng các góc trong của một hình tứ giác là \(360^\circ\).
• Số cạnh và đỉnh: Hình tứ giác có bốn cạnh và bốn đỉnh.
• Số đường chéo: Hình tứ giác có hai đường chéo, mỗi đường chéo nối hai đỉnh không kề nhau.

Tính chất đặc biệt theo từng loại hình tứ giác:

Hình vuông:

• Bốn cạnh bằng nhau.
• Bốn góc vuông.
• Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình chữ nhật:

• Các cặp cạnh đối bằng nhau.
• Bốn góc vuông.
• Hai đường chéo bằng nhau.

Hình bình hành:

• Các cặp cạnh đối bằng nhau và song song.
• Các cặp góc đối bằng nhau.
• Đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Hình thoi:

• Bốn cạnh bằng nhau.
• Đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm.
• Các cặp góc đối bằng nhau.

Hình thang:

• Một cặp cạnh song song (được gọi là cạnh đáy).
• Đường chéo không có tính chất đặc biệt như hình bình hành hay hình chữ nhật.

Hình thang cân:

• Một cặp cạnh song song.
• Hai cạnh bên bằng nhau.
• Các góc ở đáy bằng nhau.
• Đường chéo bằng nhau.

Mỗi loại hình tứ giác có một tập hợp các tính chất đặc biệt làm cơ sở cho việc xác định và sử dụng chúng trong hình học và các ứng dụng thực tế khác.

Một số dạng toán thường gặp về tứ giác

Ví dụ 1:

Cho tứ giác ABCD có AB = CD và AC = BD. Chứng minh ABCD là hình bình hành.

Giải:

• Xét tam giác ABC và CDA, ta có:
  • AB = CD (gt)
  • AC = BD (gt)
  • BC chung

Suy ra: ΔABC = ΔCDA (c.c.c)

Suy ra: ∠BAC = ∠CDA (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

• Xét tam giác ABD và CBD, ta có:
  • AB = CD (gt)
  • BD chung
  • AD = BC (do ABCD = ΔCDA)

Suy ra: ΔABD = ΔCBD (c.c.c)

Suy ra: ∠BAD =∠BCD (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Vậy, tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Ví dụ 2:

Cho tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC. Chứng minh ABCD là hình bình hành.

Giải:

• Vì AB // CD nên ∠A +∠C= \(180^\circ\)(hai góc trong cùng phía bù nhau)
• Vì AD // BC nên ∠B +∠D=\(180^\circ\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)
• Ta có: A+B+C+D=360∘(tổng các góc trong tứ giác)

Suy ra:∠A+∠C+∠B+∠D=2(∠A+∠C)=2(∠B+∠D)=\(360^\circ\)

Suy ra: ∠A+∠C=∠B+∠D=\(180^\circ\)

Vậy, tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường chéo.

Tóm lại, hình tứ giác là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững kiến thức về hình tứ giác sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.Ngoài ra, học sinh cần chú ý luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán.