Định lý Vi-ét - Cách ứng dụng trong phương trình bậc hai

Trong chương trình Toán học phổ thông, Định lý Vi-ét không đơn thuần chỉ là những công thức khô khan, mà nó là một "ngôn ngữ" kết nối các hệ số và nghiệm số. Việc làm chủ định lý này giúp bạn giải quyết các bài toán chứa tham số $m$, cực trị hay xét dấu nghiệm một cách tinh tế mà không cần phụ thuộc hoàn toàn vào máy tính bỏ túi.  

Định lý Vi-ét là gì? Phát biểu định lý cho phương trình bậc hai

Định lý Vi-ét (đặt theo tên nhà toán học François Viète) thiết lập mối quan hệ giữa các hệ số $a, b, c$ của phương trình đa thức và các nghiệm của nó. Thay vì đi tìm giá trị cụ thể của từng nghiệm, định lý này cho phép chúng ta nhìn thấy "bức tranh tổng thể" về cấu trúc của phương trình.

Phát biểu định lý: Cho phương trình bậc hai dạng $ax^2 + bx + c = 0 \ (a \neq 0)$. Nếu phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$, thì tổng và tích của các nghiệm đó luôn tỉ lệ với các hệ số của phương trình. Đây chính là nền tảng để biến đổi các biểu thức đối xứng trong các bài toán đại số phức tạp.

Công thức Định lý Vi-ét thuận và đảo đầy đủ nhất

Hệ thống Vi-ét gồm hai chiều: chiều thuận dùng để khai thác nghiệm khi đã có phương trình, và chiều đảo dùng để dựng lại phương trình khi biết các giá trị đặc trưng.

1. Định lý Vi-ét thuận:

Với phương trình $ax^2 + bx + c = 0 \ (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$:

• Tổng các nghiệm ($S$): $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Tích các nghiệm ($P$): $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

2. Định lý Vi-ét đảo:

Nếu có hai số $u$ và $v$ thỏa mãn $u + v = S$ và $u \cdot v = P$, thì $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

$$X^2 - SX + P = 0$$

Lưu ý: Điều kiện để tồn tại hai số $u, v$ là $S^2 - 4P \geq 0$.

Cách tính nhẩm nghiệm nhanh không cần dùng Delta

Trong các kỳ thi trắc nghiệm, thời gian là vàng. Việc sử dụng hai trường hợp đặc biệt của định lý Vi-ét sẽ giúp bạn đọc ngay đáp án chỉ trong vài giây mà không cần tính $\Delta$.

• Trường hợp 1: Nếu $a + b + c = 0$, phương trình có hai nghiệm là:
  $$x_1 = 1; \quad x_2 = \frac{c}{a}$$
• Trường hợp 2: Nếu $a - b + c = 0$ (hoặc $a + c = b$), phương trình có hai nghiệm là:
  $$x_1 = -1; \quad x_2 = -\frac{c}{a}$$

Mẹo này đặc biệt hữu ích khi bạn gặp các phương trình có hệ số lớn hoặc chứa tham số $m$ có cấu trúc đặc biệt.

Điều kiện cần và đủ để áp dụng Định lý Vi-ét

Đây là phần quan trọng nhất để tránh bị trừ điểm "oan" trong các bài thi tự luận. Bạn không được phép viết hệ thức Vi-ét nếu chưa chứng minh được sự tồn tại của các nghiệm.

1. Xét hệ số $a$: Phải đảm bảo $a \neq 0$ để phương trình là bậc hai.
2. Xét điều kiện có nghiệm: Tính $\Delta = b^2 - 4ac$ (hoặc $\Delta'$).
• Phương trình có nghiệm khi $\Delta \geq 0$.
• Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$.
3. Kết luận Vi-ét: Sau khi tìm được điều kiện của $m$ (nếu có) để $\Delta \geq 0$, bạn mới bắt đầu viết: "Theo hệ thức Vi-ét ta có...".

Định lý Vi-ét là công cụ vạn năng trong đại số. Chỉ cần ghi nhớ câu thần chú: "Có nghiệm mới có Vi-ét" và nắm vững cách nhẩm nghiệm, bạn sẽ tự tin xử lý mọi bài toán liên quan.

>>> Đừng bỏ lỡ: 

Lý thuyết về định lý Ta-lét trong tam giác - Toán lớp 8

Lý thuyết định lý Py-ta-go: Cách chứng minh định lý Py-ta-go