Tổng hợp công thức diện tích hình lăng trụ

Diện tích hình lăng trụlà một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 8. Việc nắm vững các công thức và cách tính diện tích hình lăng trụ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác và hiệu quả.

Lý thuyết hình lăng trụ

Hình lăng trụlà đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.

Diện tích hình lăng trụđược chia thành hai loại:

Diện tích xung quanh:là diện tích tổng cộng của các mặt bên.

Diện tích toàn phần:là diện tích tổng cộng của hai mặt đáy và diện tích xung quanh.

Diện tích xung quanh hình lăng trụ

Công thức:

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:

Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h

Sxq:Diện tích xung quanh

\(c_{đáy}\):Chu vi đáy

h:Chiều cao

Ví dụ:

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC với AB = 4cm, BC = 5cm, AC = 6cm, chiều cao AA’ = 7cm. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ.

Cách giải:

Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = AB + BC + AC = 4 + 5 + 6 = 15cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 15 \(\times\) 7 = 105cm²

Diện tích toàn phần hình lăng trụ

Công thức:

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai mặt đáy:

Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy

Stp:Diện tích toàn phần

Sxq:Diện tích xung quanh

Sđáy:Diện tích một mặt đáy

Ví dụ:

Sử dụng ví dụ về hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ ở trên. Diện tích một mặt đáy ABC là: Sđáy = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) AC \(\times\) sinA = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 4 \(\times\) 6 \(\times\) sin(90°) = 12cm²

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 105 + 2 \(\times\) 12 = 129cm²

Công thức tính diện tích hình lăng trụ 

Hình lăng trụ đứng tứ giác

Diện tích xung quanh: Sxq = (a + b) \(\times\) h

Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy

Hình lăng trụ đứng tam giác đều

Diện tích xung quanh: Sxq = p \(\times\) h

Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy

Hình lăng trụ đứng tam giác vuông

Diện tích xung quanh: Sxq = (a + b + c) \(\times\) h

Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy

Chú ý:

Các công thức trên chỉ áp dụng cho hình lăng trụ đứng.

Đơn vị của diện tích là cm², m², dm², …

Các dạng bài tập về diện tích hình lăng trụ

Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về diện tích hình lăng trụ:

Dạng 1:Cho độ dài các cạnh của hình lăng trụ và tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình lăng trụ.

Ví dụ:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = 4cm, BC = 5cm, AC = 6cm, chiều cao AA’ = 7cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ.

Cách giải:

• Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = AB + BC + AC = 4 + 5 + 6 = 15cm
• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 15 \(\times\) 7 = 105cm²
• Diện tích một mặt đáy ABC là: Sđáy = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) AC \(\times\) sinA = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 4 \(\times\) 6 \(\times\) sin(90°) = 12cm²
• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 105 + 2 \(\times\) 12 = 129cm²

Dạng 2:Cho diện tích xung quanh hoặc diện tích toàn phần của hình lăng trụ và một số yếu tố khác (chiều cao, cạnh đáy), tính các yếu tố còn lại.

Ví dụ:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích xung quanh là 105cm², chiều cao AA’ = 7cm. Biết đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 4cm. Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.

Cách giải:

• Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = Sxq / h = 105 / 7 = 15cm
• Cạnh AC là: AC = √(BC² – AB²) = √(15² – 4²) = 13cm
• Diện tích một mặt đáy ABC là: Sđáy = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) AC = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 4 \(\times\) 13 = 26cm²
• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 105 + 2 \(\times\) 26 = 157cm²

Dạng 3:Cho bài toán thực tế liên quan đến diện tích hình lăng trụ.

Ví dụ:

Một cái hộp hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = 5cm, BC = 7cm, chiều cao AA’ = 10cm. Người ta sơn tất cả các mặt ngoài của hộp. Tính diện tích phần được sơn.

Cách giải:

• Chu vi đáy ABCD là: \(c_{đáy}\) = 2 \(\times\) (AB + BC) = 2 \(\times\) (5 + 7) = 24cm
• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 24 \(\times\) 10 = 240cm²
• Diện tích hai mặt đáy là: 2 \(\times\) Sđáy = 2 \(\times\) (AB \(\times\) BC) = 2 \(\times\) (5 \(\times\) 7) = 70cm²
• Diện tích phần được sơn là: S = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 240 + 70 = 310cm²

Bài tập trắc nghiệm về diện tích hình lăng trụ có lời giải

Câu 1:Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm, AC = 3cm, chiều cao AA’ = 5cm. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:

A. 30cm²

B. 35cm²

C. 40cm²

D. 45cm²

Lời giải:

Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = AB + AC + BC = 4 + 3 + \( \sqrt{(4² + 3²)} \) = 10cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 10 \(\times\) 5 = 50cm²

Đáp án:A

Câu 2:Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = 6cm, BC = 8cm, chiều cao AA’ = 10cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:

A. 280cm²

B. 300cm²

C. 320cm²

D. 340cm²

Lời giải:

Chu vi đáy ABCD là: \(c_{đáy}\) = 2 \(\times\) (AB + BC) = 2 \(\times\) (6 + 8) = 28cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 28 \(\times\) 10 = 280cm²

Diện tích hai mặt đáy là: 2 \(\times\) Sđáy = 2 \(\times\) (AB \(\times\) BC) = 2 \(\times\) (6 \(\times\) 8) = 96cm²

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 280 + 96 = 376cm²

Đáp án:C

Câu 3:Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy AB = 6cm, chiều cao AA’ = 8cm. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:

A. 72cm²

B. 84cm²

C. 96cm²

D. 108cm²

Lời giải:

Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = 3 \(\times\) AB = 3 \(\times\) 6 = 18cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 18 \(\times\) 8 = 144cm²

Đáp án:B

Câu 4:Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm, chiều cao AA’ = 8cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:

A. 276cm²

B. 288cm²

C. 300cm²

D. 312cm²

Lời giải:

Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = AB + AC + BC = 5 + 12 + √(5² + 12²) = 23cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 23 \(\times\) 8 = 184cm²

Diện tích một mặt đáy ABC là: Sđáy = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) AC = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 5 \(\times\) 12 = 30cm²

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 184 + 2 \(\times\) 30 = 244cm²

Đáp án:A

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về diện tích hình lăng trụ và cách tính diện tích hình lăng trụ.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn