Công thức lượng giáclà một hệ thống các công thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của các góc trong một tam giác vuông. Các công thức này được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến cạnh và góc của tam giác vuông, cũng như để giải các bài toán liên quan đến chuyển động tròn.
\(sin \alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}\)
\(cos \alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}\)
\(\tan \alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}\)
\(\tan \alpha = \dfrac{sin \alpha}{cos \alpha}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}\)
\(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\)
\(1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{cos^2 \alpha}\)
\(1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{sin^2 \alpha}\)
\(sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b\)
\(sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b\)
\(cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b\)
\(cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b\)
\(\tan (a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}\)
\(\tan (a – b) = \dfrac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b}\)
\(sin 2a = 2 sin a cos a\)
\(cos 2a = cos^2 a – sin^2 a = 2 cos^2 a – 1 = 1 – 2 sin^2 a\)
\(\tan 2a = \dfrac{2 \tan a}{1 – \tan^2 a}\)
\(sin a + sin b = 2 sin \dfrac{a + b}{2} cos \dfrac{a – b}{2}\)
\(sin a – sin b = 2 cos \dfrac{a + b}{2} sin \dfrac{a – b}{2}\)
\(cos a + cos b = 2 cos \dfrac{a + b}{2} cos \dfrac{a – b}{2}\)
\(cos a – cos b = -2 sin \dfrac{a + b}{2} sin \dfrac{a – b}{2}\)
\(cos a cos b = \dfrac{1}{2} (cos (a + b) + cos (a – b))\)
\(sin a sin b = \dfrac{1}{2} (cos (a – b) – cos (a + b))\)
\(cos a – cos b = -2 sin \dfrac{a + b}{2} sin \dfrac{a – b}{2}\)
\(cos x = a \quad \Rightarrow \quad x = \pm \arccos a + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\tan x = a \quad \Rightarrow \quad x = \arctan a + k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
Bài 1:Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 10cm, AC = 6cm. Tính sinB, cosB, tanB và cotB.
\(sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \)
\(cos B = \dfrac{AB}{BC} = \sqrt{1 – sin^2 B} = \sqrt{1 – \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5} \)
\(tan B = \dfrac{sin B}{cos B} = \dfrac{3}{4} \)
\(cot B = \dfrac{1}{\tan B} = \dfrac{4}{3}\)
Bài 2:Chứng minh đẳng thức:
\(\dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\tan^2 a + 1} = sin^2 a\)
Lời giải:
Biến đổi vế trái của đẳng thức, ta có:
\(\dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\tan^2 a + 1} = \dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\dfrac{sin^2 a}{cos^2 a} + 1} \)
\(= \dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\dfrac{sin^2 a}{cos^2 a} + \dfrac{cos^2 a}{cos^2 a}} \)
\(= \dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{cos^2 a}} \)
\(= cos^2 a\)
vì \(cos^2 a = 1 – sin^2 a = sin^2 a\)
Vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức:
\(\dfrac{sin^2 a + cos^2 a}{\tan^2 a + 1} = sin^2 a\)
Bài 3:Một chiếc diều bay cao 30m so với mặt đất, dây diều dài 50m. Tính góc tạo bởi dây diều và mặt đất.
Lời giải:
Gọi góc tạo bởi dây diều và mặt đất làα.
Xét tam giác vuông ABC với AC là chiều cao, BC là cạnh huyền và AB là cạnh huyền.
Áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(sin \alpha = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{30}{50} = \dfrac{3}{5}\)
\( \alpha = \arcsin \dfrac{3}{5} \approx 36,87^o\)
Công thức lượng giáclà một công cụ quan trọng trong toán học và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật, thiên văn học, … Việc nắm vững các công thức lượng giác là rất quan trọng để học tốt toán học và các môn học khác.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
Address: 148/9 Ung Văn Khiêm, Phường 25, Bình Thạnh, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam
Phone: 0988584696
E-Mail: contact@toanhoc.edu.vn