Hệ thống công thức hàm số lượng giác và bài tập có lời giải chi tiết

Hàm số lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Việc nắm vững các công thức hàm số lượng giác là điều kiện tiên quyết để giải quyết các dạng bài tập liên quan. Bài viết này sẽ hệ thống hóa các công thức cơ bản của hàm số lượng giác lớp 11 và cung cấp các bài tập có lời giải chi tiết để giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức.

Định nghĩa hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác là hàm số có dạng

\(y = f(x) = sinx\)

\(y= f(x) = cosx\)

\(y =f(x) = tanx\)

\(y = f(x) = cotx\)

\(y = f(x) = csc x\)

\(y = f(x) = sec x\)

với x là số thực bất kỳ.

Tập xác định

• Tập xác định của hàm số \(y=sinx\) và \(y=cosx\) là R.
• Tập xác định của hàm số \(y=tanx\) là \(R/{\frac{π}{2}​+kπ,k∈Z}\).
• Tập xác định của hàm số \(y=cot x\) là \(R/{kπ,k∈Z}\).
• Tập xác định của hàm số \(y=csc x\) là \(R/{\frac{π}{2}​​+kπ,k∈Z}\).
• Tập xác định của hàm số \(y=sec x\) là \(R/{kπ,k∈Z}\).

Tập giá trị

• Tập giá trị của hàm số \(y=sin x\) là [−1,1].
• Tập giá trị của hàm số \(y=cos x\) là [−1,1]
• Tập giá trị của hàm số \(y=tan x\) là R
• Tập giá trị của hàm số \(y=cot x\) là R
• Tập giá trị của hàm số \(y=csc x\) là \((−∞,−1]∪[1,∞)\).
• Tập giá trị của hàm số \(y=sec x\) là \((−∞,−1]∪[1,∞)\).

Đồ thị

• Đồ thị hàm số \(y=sin x\) là đường hình sin.
• Đồ thị hàm số \(y=cos x\) là đường hình cos.
• Đồ thị hàm số \(y=tan x\) là đường cong có dạng nhánh cây.
• Đồ thị hàm số \(y=cot x\) là đường cong có dạng nhánh cây.
• Đồ thị hàm số \(y=csc x\) là đường cong có dạng nhánh cây.
• Đồ thị hàm số \(y=sec x\) là đường cong có dạng nhánh cây.

Một số công thức lượng giác quan trọng

• \(sin^2 x + cos^2 x=1\).
• \(tanx=sinx/cosx\)​.
• \(cotx=1/tanx​\).
• \(cscx=1/sinx\)​.
• \(secx=1/cosx​\).

Công thức cộng, trừ:

• \(sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b\)
• \(sin(a−b)=sinacosb−cosasinb\).
• \(cos(a+b)=cosacosb−sinasinb\).
• \(cos(a−b)=cosacosb+sinasinb\).

Công thức nhân đôi:

• \(sin 2x = 2sinx cosx\).
• \(cos^2 x = cos^2 x − sin^2 x = 2cos^2 x−1=1 − 2sin^2 x\).

Ví dụ

Cho hàm số \(y=sinx\). Tìm giá trị của hàm số tại \(x=π/3\)​.

\( x =\frac{​π}{3}\)

Giải:

Thay vào hàm số, ta được:

\(y = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vẽ đồ thị của hàm số\(y = cos x\).

Giải:

Bảng giá trị:

x	y
0	1
4π​	22​​
2π​	0

Áp dụng công thức hàm số lượng giác 

Bài 1. Cho hàm số \(y = sin x. Tìm giá trị của hàm số tại[latex] x =\frac{​π}{3}\)

Giải

Thay\( x =\frac{​π}{3}\)

 vào hàm số, ta được:

\( y = sin x =\frac{​π}{3}\)

= \( \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Bài 2: Giải phương trình sin \(x=\frac{1}{2}\)

Giải

\( sin x=\frac{1}{2} =  sin x =\frac{​π}{6}\)

Do đó, \( x =\frac{​π}{6} + 2k​π\) hoặc \(x=​π-\frac{​π}{6}+ 2k​π\) , với k Z

Vậy nghiệm của phương trình là  \(x=​\frac{​π}{6}+ 2k​π\) hoặc \(x=​π-\frac{​π}{6}+ 2k​π\), với k Z

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2sinx+1\).

Giải:

Ta có:

\(−1 ≤ sin x ≤ 1\).

Do đó, \(1≤ 2sin x+ 1 ≤ 3\).

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là3và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1

Bài tập áp dụng

1. Tìm tập xác định của hàm số

\(y=tanx+cotx\).

2. Chứng minh rằng

\(sin2x=2sinxcosx\).

3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(y=sin2x+3\).

Bài viết này đã hệ thống hóa các công thức cơ bản của hàm số lượng giác lớp 12 và cung cấp các bài tập có lời giải chi tiết. Hy vọng với những kiến thức được cung cấp, các bạn học sinh có thể tự tin giải quyết các dạng bài tập liên quan đến hàm số lượng giác.