Lý thuyết và bài tập về căn bậc ba - Toán học lớp 9

Căn bậc ba là một chủ đề toán học đầy hấp dẫn và ẩn chứa nhiều điều bí ẩn. Trong chương trình Toán lớp 9, việc khám phá khái niệm căn bậc ba sẽ mở ra cánh cửa đến với những kiến thức mới mẻ và những bài toán đầy thử thách.Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào lý thuyết căn bậc ba, từ định nghĩa cơ bản đến các tính chất đặc trưng và ứng dụng của nó trong các bài toán học. 

Định nghĩa căn bậc ba

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho \(x^3\) = a.

Ví dụ:

\(\sqrt[3]{27} = 3\) vì \(3^3 = 27\)

\(\sqrt[3]{-8} = -2\) vì \((-2)^3 = -8\)

Căn bậc ba của một số âm là số âm.

Căn bậc ba của một số dương có thể là số dương hoặc số âm.

Căn bậc ba của 0 là 0.

Ký hiệu:Căn bậc ba của a được ký hiệu là  hoặc \(\sqrt[3]{a}\).

Lưu ý:

• Cần cẩn thận khi sử dụng bảng căn bậc ba để tránh sai sót.
• Cần đảm bảo các điều kiện áp dụng của các phép toán.

Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm các dạng bài tập về căn bậc ba như:

• Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc ba
• So sánh các căn thức bậc ba
• Giải phương trình chứa căn thức bậc ba
• Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc ba

Tính chất căn bậc ba

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho \(x^3\) = a.

Ký hiệu:

• Căn bậc ba của a được ký hiệu là \(\sqrt[3]{a}\).

Tính chất đồng dạng:

\(\sqrt[3]{a.b}\). = \(\sqrt[3]{a}\). . \(\sqrt[3]{b}\).

Tính chất chia:

\(\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \quad (b \neq 0)
\).

Tính chất lũy thừa:

\(\sqrt[3]{a^3}\)= a

Tính chất lũy thừa bậc ba:

\(\sqrt[3]{a^3n}\)= \(a^n\) (n là số nguyên dương)

Tính chất so sánh:

• \(\sqrt[3]{a}\)> \(\sqrt[3]{b}\) nếu a > b > 0
• \(\sqrt[3]{a}\) < \(\sqrt[3]{b}\) nếu a < b < 0

Tính chất cộng trừ:

• \(\sqrt[3]{a+b}\) ≠ \(\sqrt[3]{a}\) + \(\sqrt[3]{b}\)
• \(\sqrt[3]{a-b}\) ≠ \(\sqrt[3]{a}\) – \(\sqrt[3]{b}\) (trừ trường hợp a = b = 0)

Lưu ý:

• Cần cẩn thận khi sử dụng các tính chất trên để tránh sai sót.
• Cần đảm bảo các điều kiện áp dụng của các phép toán.

Rút gọn căn thức bậc ba

Có nhiều phương pháp để rút gọn căn thức bậc ba:

 Phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức dưới dấu căn thành các nhân tử có dạng \((a + b)^2\)hoặc \((a – b)^2\).

Sau đó, áp dụng công thức \(\sqrt{(a+b)^2}\) =|a + b| và \(\sqrt{(a-b)^2}\) = |a – b| để rút gọn biểu thức.

Ví dụ:

Rút gọn \(\sqrt{x^2+2x+1}\)

= \(\sqrt{(x+1)^2}\)

= |x + 1|

Sử dụng hằng đẳng thức:

• Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành dạng đơn giản hơn.
• Sau đó, rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng bảng căn bậc hai hoặc các phương pháp khác.

Ví dụ:

Rút gọn \(\sqrt{x^2-4x+4}\)

= \(\sqrt{(x-2)^2}\)

= x – 2

Biến đổi biểu thức:

• Biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành dạng \(a^2 + 2ab + b^2\) hoặc \(a^2 – 2ab + b^2\).
• Sau đó, áp dụng công thức \(\sqrt{a^2+2ab+b^2}\) = a + b và \(\sqrt{a^2-2ab+b^2}\) = |a – b| để rút gọn biểu thức.

Ví dụ:

Rút gọn \(\sqrt{x^2+4x+4}\)

= \(\sqrt{(x+2)^2}\)

= x + 2

Sử dụng bảng căn bậc hai:

Tra bảng căn bậc hai để tìm giá trị của căn bậc hai.

Ví dụ:

Rút gọn \(\sqrt{16}\)

= 4

Lưu ý:

• Cần cẩn thận khi sử dụng các phương pháp trên để tránh sai sót.
• Cần đảm bảo các điều kiện áp dụng của các công thức.

Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm các dạng bài tập về rút gọn căn thức bậc ba như:

• Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
• So sánh các căn thức bậc hai
• Giải phương trình chứa căn thức bậc hai
• Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai

Giải phương trình chứa căn thức bậc ba

Có nhiều phương pháp để giải phương trình chứa căn thức bậc ba:

Phương pháp đưa về phương trình bậc hai:

• Biến đổi phương trình để đưa về dạng \(\sqrt{x^2+ax+b}\) = c
• Bình phương hai vế của phương trình để loại bỏ dấu căn.
• Giải phương trình bậc hai thu được.
• Kiểm tra nghiệm và chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ:

Giải phương trình \(\sqrt{x^2+4x+3}\) = 2

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

\(x^2 + 4x + 3 = 4\)

Giải phương trình bậc hai này, ta được:

x = -1 hoặc x = -3

Kiểm tra, ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = {-1; -3}.

Phương pháp đưa về phương trình bậc ba:

• Biến đổi phương trình để đưa về dạng \(\sqrt{x^3+ax^2+bx+c}\) = d
• Lập phương hai vế của phương trình để loại bỏ dấu căn.
• Giải phương trình bậc ba thu được.
• Kiểm tra nghiệm và chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ:

Giải phương trình \(\sqrt{x^3+3x^2+2x+1}\) = 2

Lập phương hai vế của phương trình, ta được:

\(x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = 8\)

Giải phương trình bậc ba này, ta được:

x = 1

Kiểm tra, ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

Phương pháp đồ thị:

• Vẽ đồ thị của hai hàm số y = √(x^3 + ax^2 + bx + c) và y = d.
• Tìm điểm giao nhau của hai đồ thị.
• Hoành độ của điểm giao nhau là nghiệm của phương trình.

Ví dụ:

Giải phương trình \(\sqrt{x^3+x^2-x-1}\) = 3

Vẽ đồ thị của hai hàm số y = \(\sqrt{x^3+x^2-x-1}\) và y = 3.

Hai đồ thị giao nhau tại điểm (1; 3).

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

Phương pháp sử dụng bảng căn bậc ba:

Tra bảng căn bậc ba để tìm giá trị của căn bậc ba.

Ví dụ:

Giải phương trình \(\sqrt[3]{x}\)  = 2

Tra bảng căn bậc ba, ta được:

\(\sqrt[3]{8}\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = {8}.

Lưu ý:

• Cần cẩn thận khi sử dụng các phương pháp trên để tránh sai sót.
• Cần đảm bảo các điều kiện áp dụng của các phép toán.

Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc ba

Có nhiều phương pháp để chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc ba:

Phương pháp biến đổi:

• Biến đổi vế trái và vế phải của đẳng thức bằng cách sử dụng các tính chất của căn thức bậc ba và các phép toán đại số.
• Biến đổi hai vế về cùng một dạng.

Ví dụ:

Chứng minh đẳng thức:  \(\sqrt{x^3+3x^2+3x+1}\) = x + 1

Biến đổi vế trái của đẳng thức:

\(\sqrt{x^3+3x^2+3x+1}\) = \(\sqrt{(x+1)^3}\)] = x + 1

Vậy, vế trái bằng vế phải.

Phương pháp đưa về phương trình:

• Chuyển vế trái và vế phải của đẳng thức sang dạng phương trình.
• Giải phương trình thu được.
• Nếu nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện thì đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ:

Chứng minh đẳng thức: \(\sqrt{x^2+4x+3}\)= x + 2

Chuyển vế trái và vế phải của đẳng thức sang dạng phương trình:

\(\sqrt{x^2+4x+3}\) – (x + 2) = 0

Giải phương trình này, ta được:

x = -1

Kiểm tra, ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện.

Vậy, đẳng thức được chứng minh.

Phương pháp sử dụng bảng căn bậc ba:

Tra bảng căn bậc ba để tìm giá trị của căn bậc ba.

Ví dụ:

Chứng minh đẳng thức: \(\sqrt{27+8}\) = 3 + 2

Tra bảng căn bậc ba, ta được:

\(\sqrt{35}\) = 3

\(\sqrt{8}\) = 2

Cộng hai vế trái và vế phải của đẳng thức, ta được:

\(\sqrt{35}\) + \(\sqrt{8}\) = 3 + 2

Vậy, đẳng thức được chứng minh.

Các bài tập liên quan đến căn bậc ba

Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp liên quan đến căn bậc ba:

Ví dụ 1:Tính: \(\sqrt[3]{27+8}\) = ?

\(\sqrt[3]{27+8}\) = \(\sqrt[3]{3^3+2^3}\) = \(\sqrt[3]{(3+2)(3^2 – 3.2 + 2^2}\) = \(\sqrt[3]{5.7}\) = \({5}\sqrt{21}\)

Ví dụ 2:Rút gọn:

\(\sqrt[3]{x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3} = \sqrt[3]{(x + y)^3} = x + y
\) 

Hành trình chinh phục căn bậc ba đã đưa bạn đến với những khám phá thú vị và bổ ích. Hy vọng những kiến thức và kỹ năng được chia sẻ trong bài viết này sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến căn bậc ba một cách hiệu quả.